决胜2017中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题
专题38：动态几何之线动形成的等腰三角形存在性问题
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．
动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写线动形成的等腰三角形存在性问题模拟题．
在中考压轴题中，线动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．
原创模拟预测题1．如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C 时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）
A．AE=12cm B．sin∠EBC 7
C．当0＜t≤8时，2
5
16
y t
=D．当t=9s时，△PBQ是等腰三角形
原创模拟预测题2．已知抛物线C1：23 2
y ax bx（0
a≠）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；
（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：
①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；
②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．
原创模拟预测题3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A 向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q 运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（5≈2.24，结果保留一位小数）．
原创模拟预测题4．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．
2018年度中考数学压轴题
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴ QH QB AC AB = ，∴QH=错误!未找到引用源。x ，y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 （10﹣x ）?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x （0＜x ≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′， ∵AP=x ， ∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH ′∽△ABC ， ∴'AQ QH AB BC =，即：' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。，解得：QH ′=错误!未找到引用源。（14﹣x ）， ∴y= 12PB ?QH ′=12（10﹣x ）?35（14﹣x ）=310x 2﹣36 5 x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+<
(完整版)2017中考数学压轴题解题技巧
中考数学压轴题解题技巧 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第22题和23题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第22题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y ＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第23题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想： 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想： 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想： 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几
2017上海历年中考数学压轴题专项训练
24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）
2017-2018学年中考数学压轴题分类练习 代数计算推理专题(无答案)
代数计算推理专题 1．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②4a+b+c=0； ③a ﹣b+c ＜0； ④抛物线的顶点坐标为（2，b ）； ⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的是（ ） A ．①②③ B ．③④⑤ C ．①②④ D ．①④⑤ 2如图9，平面直角坐标系中O 是原点，OABC Y 的顶点,A C 的坐标分别是()()8,0,3,4，点,D E 把线段OB 三等分，延长,CD CE 分别交,OA AB 于点,F G ，连接FG ，则下列结论： ①F 是OA 的中点；②OFD ?与BEG ?相似；③四边形DEGF 的面积是203；④453OD =；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 3．如图，在平面直角坐标系x y O 中，已知直线y kx =（0k >）分别交反比例函数1y x = 和9y x =在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作D x B ⊥轴于点D ，交1y x =的图象于点C ，连结C A ．若C ?AB 是等腰三角形，则k 的值是 ．
4．如图，某日的钱塘江观测信息如下： 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离x （千米）与时间t （分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点)12,0(A ，点B 坐标为)0,(m ，曲线BC 可用二次函数：s=21125 t bt c ++，（c b ,是常数）刻画. （1）求m 值，并求出潮头从甲地到乙地的速度； （2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以48.0千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？ （3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为48.0千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度)30(125 20-+=t v v ，0v 是加速前的速度）. 5．已知函数y kx b =+，k y x = ，k 、b 为整数且1bk =. (1)讨论b,k 的取值. (2)分别画出两种函数的所有图象.(不需列表) (3)求y kx b =+与k y x = 的交点个数.
2017挑战中考数学压轴题(第七版精选)
k 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 1.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小； （3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 图1 2.如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x = -++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说 明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任 意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1
3.如图1，已知抛物线的方程C1： 1 (2)() y x x m m =-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y 轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 图1 4.如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 图1 图2
河北省中考数学压轴题汇总
2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 - x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y =x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N . ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= 21 8 ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．． 写出t 的取值范围. 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，△ABC 的面积S △ABC = ； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD =0）
中考数学压轴题专题训练
2018中考数学压轴专题一、动点与面积问题 例1 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A (－1, 0)，B (4, 0)两点，与y 轴交于点C (0, 2)．点M (m , n )是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M 作x 轴的平行线交y 轴于点Q ，交抛物线于另一点E ，直线BM 交y 轴于点F ． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当S △MFQ ∶S △MEB ＝1∶3时，求点M 的坐标． 例2如图，已知抛物线2 12 y x bx c = ++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)． （1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）； （2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围； ②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个． 例3如图，已知二次函数的图象过点O (0,0)、A (4，0)、B (43 2,3 -)，M 是OA 的中点． （1）求此二次函数的解析式； （2）设P 是抛物线上的一点，过P 作x 轴的平行线与抛物线交于另一点Q ，要使四边形PQAM 是菱形，求点P 的坐标； （3）将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得曲线OB ′A （B ′为B 关于x 轴的对称点），在原抛物线x 轴的上方部分取一点C ，连结CM ，CM 与翻折后的曲线OB ′A 交于点D ，若△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍，这样的点C 是否存在？若存在求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 例4如图，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x = (x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平 行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和m y x =-(x ＜0)于M 、N 两点． （1）求m 的值及直线l 的解析式； （2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；
2017年挑战中考数学压轴题(全套)
第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1 因动点产生的相似三角形问题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题§1．3 因动点产生的直角三角形问题§1．4 因动点产生的平行四边形问题§1．5 因动点产生的面积问题§1．6因动点产生的相切问题§1．7因动点产生的线段和差问题 第二部分图形运动中的函数关系问题 §2．1 由比例线段产生的函数关系问题 第三部分图形运动中的计算说理问题 §3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 §3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 第四部分图形的平移、翻折与旋转 §4．1 图形的平移§4．2 图形的翻折§4．3 图形的旋转§4．4三角形§4．5 四边形§4．6 圆§4．7函数的图象及性质§1．1 因动点产生的相似三角形问题 课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两 边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和 AB DF AC DE =两种情况列方程． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？ 我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减． 图1 图1 图2 例 1 湖南省衡阳市中考第28题 二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）； （2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值； （3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？
决胜2017中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题 专题38：动态几何之线动形成的等腰三角形存在性问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写线动形成的等腰三角形存在性问题模拟题． 在中考压轴题中，线动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类． 原创模拟预测题1．如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C 时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（） A．AE=12cm B．sin∠EBC 7 C．当0＜t≤8时，2 5 16 y t =D．当t=9s时，△PBQ是等腰三角形 原创模拟预测题2．已知抛物线C1：23 2 y ax bx（0 a≠）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标； （2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
2017全国中考数学压轴题——解答题部分(三)
2017全国中考数学压轴题一一解答题部分(三) 2 41. (河南省23)如图，直线y=—3X+ c与x轴交于点A(3, 0)，与y轴交于点B,抛物 (1) 求点B的坐标和抛物线的解析式； ⑵M(m, 0)为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于 点P、N, ①点M在线段OA上运动，若以B, P, N为顶点的三角形与?APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M, P, N中恰有一点是其它两点所连线段的中点 (三点重合除外)，则称M , P, N三点为“共谐点” ?请直接写出使得M , P, N三点成为“共谐点”的m的值. 42. (黑龙江大庆28)如图，直角？ABC中，/ A为直角，AB = 6, AC= 8 ?点P, Q, R 分别在AB , BC, CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R 由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中： (1) 求证：？APR, ?BPQ, ?CQR的面积相等； ⑵求?PQR面积的最小值； (3)用t(秒)(0 w t w 2)表示运动时间，是否存在t，使/ PQR= 90。，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由. 43. (黑龙江哈尔滨26)已知：AB是O O的弦，点C是AB的中点，连接OB、OC, OC
交AB于点D . ⑴如图1,求证：AD = BD; (2) 如图2,过点B作O O的切线交0C的延长线于点M，点P是AC上一点，连接AP、BP,求证：/ APB-Z OMB = 90° ⑶如图3,在⑵的条件下，连接DP、MP，延长MP交O O于点Q,若MQ = 6DP , sin Z ABO = 5,求MQ 的值? 44. (黑龙江哈尔滨27)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y= x2+ bx+ c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C,直线y = x- 3经过B、C两点. (1) 求抛物线的解析式； (2) 过点C作直线CD丄y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个 动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE丄x轴于点E, PE交CD于点F,交BC 于点M，连接AC,过点M作MN丄AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)； ⑶在⑵的条件下，连接PC,过点B作BQ丄PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD 于点T,连接OQ交CD于点S,当ST= TD时，求线段MN的长. 45. (黑龙江龙东28)如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段 OA、OC的长度满足方程|x—15| + y- 13 = O(OA>OC)，直线y = kx+ b分别与x 轴、y轴交于M、N两点，将△ BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D 3 处，且tan Z CBD = 7 4
2017-2018学年中考数学压轴题分类练习 动点直角三角形专题(无答案)
动点直角三角形专题 1.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12OA A 的直角边1OA 在y 轴的正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作第三个等腰直角三角形20172018OA A ，则点2017A 的坐标为 ． 2.如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为 ． 3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22 ++=bx ax y 过点)0,2(-A ，，与y 轴交于点C . （1）求抛物线22 ++=bx ax y 的函数表达式； （2）若点D 在抛物线22 ++=bx ax y 的对称轴上，求ACD ?的周长的最小值； （3）在抛物线22 ++=bx ax y 的对称轴上是否存在点P ，使ACP ?是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.
4.如图1，抛物线c bx ax y ++=2经过平行四边形ABCD 的顶点)30(， A 、)01(，- B 、)32(，D ，抛物线与x 轴的另一交点为E .经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点P .点P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t . （1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，t 的面积最大?并求最大值的立方根； （3）是否存在点P 使PAE ?为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由. 5.如图，已知线段AB=2，MN ⊥AB 于点M ，且AM=BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是PA ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点C （点C 在线段BD 上），连结AC ，DE ． （1）当∠APB=28°时，求∠B 和CM 的度数； （2）求证：AC=AB 。 （3）在点P 的运动过程中 ①当MP=4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且
2017中考数学压轴题福建历年中考压轴精选
25．（12分）已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：2222 PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图（2）、图（3）中的位置时，2 2 2 2 PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论． 答：对图（2）的探究结论为____________________________________． 对图（3）的探究结论为_____________________________________． 证明：如图（2） 26．（14分）如图：抛物线经过A （－3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点． （1） 求抛物线的解析式． （2）已知AD ＝ AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． （注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a =-）
21．（满分12分） 如图9，等边ABC ?边长为4，E 是边BC 上动点， AC EH ⊥于H ，过E 作EF ∥AC ，交线段AB 于点F ， 在线段AC 上取点P ，使EB PE =。设 )20(≤<=x x EC 。 （1） 请直接写出图中与线段EF 相等的两条线段（不再 另外添加辅助线）； （2） Q 是线段AC 上的动点，当四边形EFPQ 是平行四边形时,求 EFPQ 的面积 （用含x 的代数式表示）； （3） 当（2）中 的EFPQ 面积最大值时，以E 为圆心，r 为半径作圆，根据⊙E 与此时EFPQ 四条边交点的总个数，求相应的r 的取值围。 22．（满分14分） 已知直线l ：y =－x+m （m≠0）交x 轴、y 轴于A 、B 两点， 点C 、M 分别在线段OA 、AB 上，且OC=2CA ，AM=2MB ， 连接MC ，将△ACM 绕点M 旋转180°，得到△FEM ，则 点E 在y 轴上, 点F 在直线l 上;取线段EO 中点N,将ACM 沿 MN 所在直线翻折，得到△PMG ，其中P 与A 为对称点.记： 过点F 的双曲线为1C ，过点M 且以B 为顶点的抛物线为2C ， 过点P 且以M 为顶点的抛物线为3C . (1) 如图10，当m=6时，①直接写出点M 、F 的坐标， ②求1C 、2C 的函数解析式； （2）当m 发生变化时， ①在1C 的每一支上，y 随x 的增大如何变化？请说明理由。 ②若2C 、3C 中的y 都随着x 的增大而减小,写出x 的取值围。 图10
中考数学压轴题代数综合题(PDF版)
1.如图，已知A （﹣4，n ），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b 和反比例函数y=的图象的两个交点． x m （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出方程kx+b ﹣=0的解； x m （3）求△AOB 的面积； （4）观察图象，直接写出不等式kx+b ﹣＜0的解集． x m 解：（1）∵B （2，﹣4）在y=上， ∴m=﹣8． ∴反比例函数的解析式为y=﹣． ∵点A （﹣4，n ）在y=﹣上， ∴n=2． ∴A （﹣4，2）． ∵y=kx+b 经过A （﹣4，2），B （2，﹣4）， ∴．解得：． ∴一次函数的解析式为y=﹣x ﹣2． （2）：∵A （﹣4，n ），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数 y=的图象的两个交点， x m ∴方程kx+b ﹣=0的解是x 1=﹣4，x 2=2． x m （3）∵当x=0时，y=﹣2． ∴点C （0，﹣2）． ∴OC=2． ∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =×2×4+×2×2=6； （4）不等式kx+b ﹣＜0的解集为﹣4＜x ＜0或x ＞2．x m
2.如图，反比例函数y ＝的图象与一次函数 y ＝kx+b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，6)，点B 的坐标为m x (n ，1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝10，求点E 的坐标． 解：(1)把点A(2，6)代入y ＝，得m ＝12，则y ＝． m x 12 x 把点B(n ，1)代入y ＝，得n ＝12，则点B 的坐标为(12，1)． 12 x 由直线y ＝kx+b 过点A(2，6)，点B(12，1)得，解得， 26 121k b k b 1 27k b 则所求一次函数的表达式为y ＝x+7． 1 2(2)如图，直线AB 与y 轴的交点为P ，设点E 的坐标为(0，m)，连接AE ，BE ， 则点P 的坐标为(0，7)．∴PE ＝|m －7|． ∵S △AEB ＝S △BEP －S △AEP ＝10，∴×｜m －7|×(12－2)＝10． 1 2∴|m －7|＝2．∴m 1＝5，m 2＝9． ∴点E 的坐标为(0，5)或(0，9)． 3.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边AB 垂直与x 轴，垂足为点B ，反比例函数y=（ x ＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ，OB=4，AD=3， （1）求反比例函数y=的解析式； （2）求cos ∠OAB 的值； （3）求经过C 、D 两点的一次函数解析式． 解：（1）设点D 的坐标为（4，m ）（m ＞0），则点A 的坐标为（4， 3+m ）， ∵点C 为线段AO 的中点， ∴点C 的坐标为（2，）．
2017年中考数学压轴题练习《正方形问题》
1 如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG 和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接 MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x， 正方形DMNK的边长为y． （1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当△NPF的面积为32时，求x的值； （3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由． 解析：（1）∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD ∴∠E＝∠F＝90O，AE∥MC，MC∥NK ∴AE∥NK，∴∠KNA＝∠EAF ∴△KNA∽△EAF，∴NK EA＝ KA EF，即 y x＋6＝ y－6 x ∴y＝x＋6（0＜x≤6） （2）由（1）知NK＝AE，∴AN＝AF ∵正方形DMNK，∴AP∥NM，∴FP PM＝ AF AN＝1 ∴FP＝PM，∴S△MNP ＝S△NPF ＝32 ∴S正方形DMNK ＝2S△MNP ＝64 ∴y＝8，∴x＝2 （3）连接PG，延长FG交AD于点H，则GH⊥AD 易知：AP＝y 2，AH＝x，PH＝ y 2－x，HG＝6；PG＝AP＋GF＝ y 2＋x ①当两圆外切时 在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(y 2－x)2＋62＝( y 2＋x)2 解得：x＝－3－33（舍去）或x＝－3＋3 3 ②当两圆内切时 在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(y 2－x)2＋62＝( y 2－x)2 方程无解 所以，当x＝33－3时，两圆相切N K G C E D F A B P M
2 已知：正方形ABCD 的边长为1，射线AE 与射线BC 交于点E ，射线AF 与射线CD 交于点F ，∠EAF ＝45°，连接EF ． （1）如图1，当点E 在线段BC 上时，试猜想线段EF 、BE 、DF 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （2）设BE ＝x ，DF ＝y ，当点E 在线段BC 上运动时（不包括点B 、C ），求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围； （3）当点E 在射线BC 上运动时（不含端点B ），点F 在射线CD 上运动．试判断以E 为圆心，以BE 为半径的⊙E 和以F 为圆心，以FD 为半径的⊙F 之间的位置关系； （4）如图2，当点E 在BC 的延长线上时，设AE 与CD 交于点G ．问：△EGF 与△EFA 能否相似？若能相似，求出BE 的长，若不可能相似，请说明理由． 解析： （1）猜想：EF ＝BE ＋DF 证明：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABF ′，易知点F ′、B 、E 在同一直线上（如.图1） ∵AF ′＝AF ∠F ′AE ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－45°＝45°＝∠EAF 又AE ＝AE ，∴△AF ′E ≌△AFE ∴EF ＝F ′E ＝BE ＋BF ＝BE ＋DF （2）在Rt △EFC 中，EC 2＋FC 2＝EF 2 ∵EC ＝1－x ，FC ＝1－y ，EF ＝x ＋y ∴( 1－x )2＋( 1－y )2＝( x ＋y )2 A B D C E F 图1 A B D C E F G 图2 A B D C E F 图1 F ′ 1 2
2017年中考数学压轴题专题《函数》
【典例探究】已知抛物线2 2y x x =+- （1） 求抛物线与x 轴的交点坐标； （2） 将抛物线2 2y x x =+-沿y 轴向上平移，平移后与直线y=x+2的一个交点为点P ， 与y 轴相交于点Q ，当PQ ∥x 轴时，求抛物线平移了几个单位； （3） 2 2y x x =+-将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部 分保持不变,翻折后的图象与原图象x 轴上方的部分组成一个“W ”形状的新图象若直线1 2y x b = +与该新图象恰好有三个公共点，求b 的值. 分析：（1）令y=0，得到关于x 的方程，解方程即可求得； （2）设平移后的抛物线为2 2y x x n =+-+，求得与y 轴的交点坐标，根据题意，把交点纵坐标代入2y x =+，求得点P 的坐标，把P 点坐标代入抛物线的解析式可求得n 的值； （3）由图象可得当直线12y x b = +与抛物线219 ()(21)24 y x x =-++-≤≤相切时，直线12y x b = +与该新函数恰好有三个公共点，即2191 ()242 x x b -++=+有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时b 的值。 解：（1）令y=0，2 20x x +-=，解得122,1,x x =-=∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-2， 0），（1，0）； （2）设抛物线向上平移了n 个单位，则平移后的抛物线为2 2y x x n =+-+，如图1， ∵抛物线2 2y x x n =+-+与y 轴的交点为（0，n-2），∴(4,2),P n n --
∴抛物线2 2y x x n =+-+的对称轴为22 n x = -，由抛物线22y x x n =+-+的对称轴为1,2x =- ∴1 2,22 n -=-解得n=3， ∴当PQ ∥x 轴时抛物线平移了3个单位； （3）∵2 2192()24y x x x =+-=+ -，∴抛物线的定点坐标为19 (,)24 -- 则翻折部分的抛物线解析式为2 1 9()(21)2 4y x x =-++ -≤≤，如图2，把直线12 y x =向上平移，当平移后的直线12y x b = +过点A 时，直线1 2 y x b =+与该新图象恰好有三个公共点，所以 1 (2)0,2 b ?-+=解得b=1； 当直线12y x b = +与抛物线219()(21)24y x x =-++-≤≤相切时，直线12 y x b =+与该新函数恰好有三个公共点，即2191 ()242 x x b -+ +=+有相等的实数解，整理得223320,()4(2)0,22x x b b + +-=?=--=解得41 ,16 b = 所以b 的值为1或 41 .16
2017届中考数学压轴题专项汇编专题9费马点
2017届中考数学压轴题专项汇编专题9费马点 破解策略 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． 1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点 证明： 如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP ＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP 所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点
2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点． 如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点 证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠B OC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心 例1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－6，0），点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（6，），延长AC至点D使得CD＝AC，过点DE作DE//AB，交BC的延长线于点E，设G为y轴上的一点，点P从直线y＝x＋与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G，再沿GA到达点A，若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度