09-10华南农业大学《概率论》期末考试试卷(A卷)及答案

2009－2010 学年第1学期 概率论（A 卷）

考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

一、填空题（每空3分，共24分） 1.设两事件,A B 满足条件()()P A B P A B =

，且()(01P A p p =<<，则

()P B =________________.

2.设1(),F x 2(),F x 3()F x 分别是随机变量1,X 2,X 3X 的分布函数，为使

12

3

()()()()F x a F

x b F x

c F x

=++是某一随机变量的分布函数，则a+b+c= . 3.设随机变量

X

服从泊松分布()P λ，且{1}

{2P X P X ===，则λ=___________;{3}P X == .

4. 设(0,1),21,X N Y X =+ 则{|1|2}P Y -<=______________.

5. 若随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程2

10X X ξ++=有实根的概率为_______. 6. 设随机变量,X Y 相互独立，其中X 在[2,4]-上服从均匀分布，Y 服从参数为1

3

的指数分布，则(2)E X Y -=_______________; (2)D X Y -=_______________.

二、选择题（每小题3分，本题共15分）

1. 对两事件A 和B ，下列命题成立的是( ). A 、如果A 、B 相容，则A B 、也相容； B 、如果P(AB)=0，则A 、B 不相容；

C 、如果A 、B 相互独立，则()

()P B A P B =成立；

D 、如果A 、B 对立，则事件A 、B 相互独立.

2. 设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，且()(),,f x f x x R -=∈又设X 的分布函数

为()F x ，则对任意正实数,()a F a -等于( ).

(A) 0

1();a

f x dx -

?

(B) 0

1

();2a f x dx -? (C) ();F a (D) 2() 1.F a -

3. 当随机变量X 的可能值充满区间 时，则函数()cos()F x x =才可以成为随机变量

X 的分布函数.( ) (A)0,

2π??????; (B),2ππ??????; (C)[]0,π; (D)3,22ππ??

????

. 4. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为

1

0.30.7

X P

1

0.30.7

Y

P

则有( ).

（A ）()0;P X Y == （B ）()0.5;P X Y == （C ）()0.58;P X Y == （D ）() 1.P X Y == 5. 随机变量X 的概率密度函数为21

(),(1)

X f x x R x π=∈+，则Y=3X 的密度函数为( )

A 、

21,(1)y R y π∈+； B 、23,(9)y R y π∈+； C 、2

1,(1)

9

y R y

π∈+； D 、21,.(19)y R y π∈+ 三、解答题（15分）

设随机变量X 与Y 相互独立，它们的密度函数分别为：

1

,02

()20,X x f x ?≤≤?=???其他

; 44,0()0,0y Y e y f y y -?>=?≤?.

试求：

(1) (X,Y)的联合密度函数；（4分） (2) (2)P Y X <；（5分） (3) ()2D X Y -.（6分）

四、简答题（10分）

某人考公务员接连参加同一课程的笔试和口试，笔试及格的概率为p ，若笔试及格则口试及格的概率也为p ，若笔试不及格则口试及格的概率为

2

p . (1)如果笔试和口试中至少有一个及格，则他能取得某种资格，求他能取得该资格的概率.(5分)

(2)如果已知他口试已经及格，求他笔试及格的概率.(5分)

五、解答题（15分）

设平面区域为{

}

2

(,)01,D x y x x y x =≤≤≤≤，二维随机变量(X,Y)在该区域上服从均匀分布；

(1) 求(X,Y)的联合密度函数；（4分）

(2) 求关于X 和关于Y 的边缘密度函数(),()X Y f x f y ，并问X 、Y 是否独立？（7分） (3) 求1

().3

P X ≤（4分）

六、简答题（10分）

某仪器装有三支独立工作的同型号电子元件，其寿命X （单位为小时）都服从同一指数分布，概率密度为

600

1,0()600

0,0x

e x

f x x -?>?

=??≤?

， 求：（1）{200}P X <；(4分)

（2）在仪器使用的最初200小时内，至少有一支电子元件损坏的概率.（6分）

七、简答题（11分）

一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3。假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望EX与方差DX.

2009－2010学年第1学期 概率论(A 卷)参考答案

考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟

四、填空题（每空3分，共24分）

1. 1-p ;

2. 1 ；

3. 2 ，

2

4(0.1804)3

e -或； 4.2(1)10.6827Φ-或；

5． 4/5 ；

6． -1 ， 21 .

五、选择题（每题3分，本题共15分） 1～5：C 、B 、D 、C 、B ； 六、解答题（15分） 解：（1）因为随机变量X ，Y 相互独立，……………………………………………………1分 所以它们的联合密度函数为：

42,02,0

(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -?≤≤>==?

?

其他………………………………………3分 （2）{}22(,)y x

P Y X f x y dxdy <<=

??

2

240

2x

y e dydx -=?

?

……………………………………………………2分

2242800011()(1)22y x

x e dx e dx --=-=-?? ………………………………1分 8216011151()281616x x e e --=+=+ ………………………………………1分 ()161

1516

e -=+ ………………………………………………………1分 （3）2

01

12EX xdx =

=?； ()22232

00114263

E X x dx x ===?；

所以()()22

41133

DX E X EX =-=-=；………………………………………………2分

4444000011444

y y y

y EY y e dy ye e dy e ∞∞--∞--∞=?=-+=-=?? 22424400024216

y y y

EY y e dy y e ye dy ∞∞--∞-=?=-+=??

()()

2

2

2211

16416

DY E Y EY ??=-=-= ??? ………………………………………………2分 所以

1167

(2)4.31648

D X Y -=?+= …………………………………………………………2分

七、简答题（10分）

解：1A “笔试”，2A “口试”，A “他能取得该种资格”。

由已知条件得：p A P =)(1，p A P -=1)(1，p A A P =)(12，2

)(12p

A A P =。 （1）)()()()()()(112211211A P A A P p A A P A P A A A P A P +=+=?= 22

1

23)1(2p p p p p -=-+= …………..5分 （2）p

p

A P A A P A P A A P A P A A P A P A A P A A P +=

+==

12)()()()()()()()()(11211211222121 …………10分

八、解答题（15分） 解：（1）先求出区域D 的面积A 。

1201

().6

A x x dx =-=?…………………………………………………………2分

所以，(X,Y)的联合密度函数为

26,(,)0,x y x

f x y ?≤≤=??

其他.……………………………………………………2分

（2）关于X 的边缘密度函数()X f x 为

226,01,6(),01,

()(,)0,.0,.

x

x X dy x x x x f x f x y dy ∞

-∞

??≤≤-≤≤?===??

?????

其他其他……………………3分 关于Y 的边缘密度函数()Y f y 为

,01,),01,

()(,)0,.0,.

y Y dx y y y f y f x y dx ∞

-∞

??≤≤≤≤??

===???????

其他其他…………………3分

显然，(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X 与Y 不相互独立。……………………2分

（3）方法1 111

223333

01117()()6()6[].32327

X P X f x dx x x dx x x -∞≤==-=-=??

方法2

2211

2

330011

223330011()(;)(,)633

117

6()6[].

2327

x x x x P X P X X Y X dx f x y dy dx dy

x x dx x x ≤=≤≤≤===-=-=?????…………4分

九、简答题（10分）

解：(1) {200}P X <=1

200

600

30

11600

x e dx e --=-?

。……………………………4分 (2) 设Y 为3个元件在最初200小时损坏的个数，则13

~(3,1)Y B e -

-，……3分

3

113{1}1{0}11P Y P Y e e --??

≥=-==-=- ???

。………………………………… 3分

十、简答题（11分）

解法一：X 的取值为调整的部件数，显然为非负整数，又每一部件是否需要调整只有两种可能结果（调整与不调整），于是，引入随机变量X i .为此设三大部件中第i 个部件需要调整的事件为Ai(i=1,2,3),令

10i i i A X A ?=?

?，若发生

，若不发生

………………………………2分 则i X 的分布律为

1分

因而

2()(),()().(1,2,3)i i i i E X p A E X P A i ===;………………2分 22()()[()]()(1()).i i i i i D X E X E X p A p A =-=-………………2分

因23i X X X X =++,且123,,X X X 相互独立,有

123111()()()()()()()0.10.20.30.6.

E X E X E X E X p A p A p A =++=++=++=……2分

123()()()()0.10.90.20.80.30.70.46.

D X D X D X D X =++=?+?+?=……………………2分

解法二: 设三大部件中第i 个部件需要调整的事件为Ai(i=1,2,3),则………1分

123(0)()0.90.80.70.504.P X P A A A ===??=………………1分

123123123(1)()()()0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398.P X P A A A P A A A P A A A ==++=??+??+??=………………1分

123123123(2)()()()0.10.20.70.10.80.30.90.20.30.092.

P X P A A A P A A A P A A A ==++=??+??+??=………………1分

123(3)()0.10.20.30.006.P X P A A A ===??=………………………1分

所以

()00.50410.39820.09230.0060.6.E X =?+?+?+?=………2分

22222()00.50410.39820.09230.0060.82.E X =?+?+?+?=………………2分 22()()()0.820.60.60.46.D X E X EX =-=-?=………………………2分