整除问题初步知识点

第一讲整除问题初步

1、能被

2、5整除的数的特性：看个位数字能被2、5整除。（1）能被2整除的数的特性：个位数字为0、2、4、6、8。（2）能被5整除的数的特性：个位数字为0、5。

2、能被4、25整除的数的特性：看末两位能被4、25整除。

3、能被8、125整除的数的特性：看末三位能被8、125整除。

4、能被3、9整除的数的特性：各个数位上数字之和能被3、9整

除。

5、能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11

整除。（从右往左数）

6、能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所

有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除。（两位断开再求和）

六年级第一学期第一章数的整除概念

2012学年预备级年第一学期期中考试知识点整理第一章数的整除概念 1、正整数、负整数、整数、自然数：（1）用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 -1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 0、1、2、3、4……，叫做自然数（2）零和正整数统称为自然数，0是最小的自然数，没有最大的自然数。（3）正整数、零和负整数，统称为整数。 2、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或 ÷=也叫整除）。者说b能整除a。（050 整除的条件：（1）除数、被除数都是整数。（2）被除数除以除数，商是整数而且没有余数。 3、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。（1）一个数的因数是有限的。最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的因数通常是成对出现的（用两数相乘去检验是否遗漏）。（2）一个数的倍数的个数是无限的。最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（3）因数与倍数是相互依存的。如果光说谁是倍数，或谁是因数是不完整的。 4、能被特殊的数字整除的特征：（重点掌握前4个）（1）能被2整除的整数，个位上数字为0、2、4、6、8，即：是偶数。（2）能被5整除的整数，个位上数字为0、5。（3）能同时被2和5整除的整数（即能被10整除），个位上数字为0。（4）一个整数的各个位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。（5）一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。注：一个整数能被n和m整除，则这个数能被m·n整除。 5、整数按能否被2整除可以分为：奇数和偶数。在正整数中奇数和偶数都是相邻的。定义：如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数。如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。 6、（1）只含有因数1和本身的整数叫做素数或质数，如果除了1和它本身还有别的因数，

五年级奥数-数的整除

专题一数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。一、基本概念和知识 1.整除例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数）解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数）练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个

第八讲整除特征初步

1. 学会尾数判断法； 2. 学会数字和判断法。 1. 尾数判断法（1）能被2, 5整除的数的特征：看个位。如果一个数的个位能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除。（2）能被4, 25整除的数的特征：看末两位。如果一个数的末两位能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。（3）能被8, 125整除的数的特征：看末三位。如果一个数的末三位能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。 2. 求和判断法能被4, 25整除的数的特征：如果一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数就能被3（或9）整除。 3. 同时满足多个数方法：逐一满足【例 1】下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中，（1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？（2）哪些能被4整除？哪些能被25整除？（3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？（4）这些数除以4的余数分别是多少？【例 2】（1）修改5679中的一个数字，使这个四位数能被5整除，修改后的四位数是多少？（2）修改675479中的一个数字，使这个六位数能被25整除，修改后的六位数是多少？第八讲整除特征初步例题精讲知识点拨教学目标()

【巩固】（1）修改34575中的一个数字，使这个五位数能被4整除，修改后的五位数是多少？（2）修改675447中的一个数字，使这个六位数能被8整除，修改后的六位数是多少？【例 3】有六个自然数：5762；3105；9631；7953；2945；3281 （1）哪些能被3整除？不能被3整除的余数分别是多少？（2）哪些能被9整除？不能被9整除的余数分别是多少？【例 4】 AA能被3整除，求A。（1）四位数31 AA能被9整除，求A。（2）五位数232 【巩固】下面每个数中的字母分别是多少时，这个数能被3整除？都有哪些填法呢？ B563 C618D 162 A541 【例 5】在下面每个数的□里填上一个数字，使它符合所提要求。（1）能被2整除，又能被3整除。（2）能被2整除，又能被3整除。（3）同时能被2、3、5整除。

小数除法知识点总结

第一单元小数除法 1.小数的四则混合运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。 2.循环小数： A、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。如，0.1.4135等。 B、小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。如5.3…7.145145…等。 C、一个数的小数部分，从某位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。(如5.3…3.12323…5.7171…) D、一个循环小数的小数部分，依次不断重复的数字，叫做小数的循环节。(如5.333…的循环节是3，4.6767…的循环节是67，6.9258258…的循环节是258) E、用简便方法写循环小数的方法： ①只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点 ②例如：只有一个数字循环节的，就在这个数字上面记一个小圆点，5.333…写作5.3；有两位小数循环的，就在这两位数字上面，记上小圆点，7.4343…写作7.43；有三位或以上小数循环的，在首位和末位记上小数点，10.732732…写作10.732 3.小数除法的验算方法： ①商×除数=被除数(通用)②被除数÷商=除数 4.商的近似数：根据要求要保留的小数位数，决定商要除出几位小数，再根据“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。例如：要求保留一位小数的，商除到第二位小数可停下来;要求保留两位小数的，商除到第三位小数停下来…… 如此类推。 1、连除的算式可以写成被除数除以几个数的积，但除以几个数的积时，必须给这个相乘的式子加上小括号。 2、除数是整数的小数除法计算法则：除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余

四年级奥数第一讲---数的整除问题

第一讲数的整除问题一、基本概念和知识： 1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a 的因数（或约数），a是b（c）的倍数. 提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。练习：写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________；

5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（３）0和１既不是质数，也不是合数。、

小学数学思维-整除问题初步与进阶

整除问题初步与进阶知识精讲一、整除的定义如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b丨a 如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a。二、整除的一些基本性质 1.尾数判断法（1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除（2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除（3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除2.数字求和法能被3、9整除的数的特性：各位数字之和能被3、9整除 3.奇偶位求差法能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，……，统称为偶数位。我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶数和”。例1.判断下面11个数的整除性：23487、3568、8875、6765、

5880、7538、198954、6512、864、407. （1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？练习1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？

如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还是能被3整除，同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除，从中我们可以总结出如下规律：和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a整除，则它们的和与差也能被a整除。例2. 173□是一个四位数，毛老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除。”问：毛老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？练习2.在23□的方框内先后填入3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除。

第26讲整数整除的概念和性质

第二十六讲整数整除的概念和性质对于整数和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a＝bm+n(0≤n

数的整除知识点总结精品

【关键字】方法、条件、继续、建立、特点、基础、需要、关系、检验、拓展一. 数的分类第一种分法 : 树状图韦恩图整数第二种分法整数第三种分法：正整数一些关于数的结论: 1.0是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数 2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数 3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除 1.整除定义（概念）：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a 注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a 相当于被除数，b 相当于除数 2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数 2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a 能被 b 整除,则a 一定能被b 除尽，反之则不一定（即a 能被b 除尽，则a 不一定能被b 整除）。如4÷2=2, 4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8, 4能被5除尽，却不能说4能被5整除三．因数与倍数

1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除，a 就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约数）。注意点：1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。如：6÷3=2，不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3是6的因数。 2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷0.2=20，一般是不说4是0.2 的倍数，0.2是4的因数。 2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。如16=1×16=2×8=4×4，那么 16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。 4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5……（即正整数）得到的积就是这个数的倍数。若用n表示所有的正整数，则2的倍数可表示为 2n, 5的倍数可表示为5n 四．能被2、5、3整除的数的特点 1.能被2整除的数（即2的倍数）个位上的数字是0、2、4、6、8，反之，个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除 2.能被5整除的数（即5的倍数）个位上的数字是0、5，反之，个位上的数字是0、5的数都能被5整除 3.能被3整除的数（即3的倍数）各个位数上的数字之和是3的倍数，反之，各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被3整除 4.能被2、5同时整除的数的个位数字都是0，个位数字为0的数也能被10整除，能被10整除的数一定能被2或5其中的一个或两个同时整除。五．奇数、偶数 1.奇数与偶数的定义：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。（按照能否被2整除来划分奇数与偶数） 2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9 偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、8 3.在连续的正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数，与偶数相邻的两个数是奇数 4.相邻的奇数或偶数数字相差2，奇数可用2n-1或2n+1表示，偶数可用2n表示。 5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数利用此结论可检验一些运算是否正确，同时也要注意结论的逆向运用，如偶数（奇数）可拆成哪些奇数或偶数的和、积六.素数、合数 1.素数与合数定义：一个正整数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（质数），如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的，素数只有2个因数（1和本身），合数至少有三个因数；任何一个数（除1外）都有1和它本身两个因数。 2. 1既不是素数也不是合数。 3．最小的素数是2，最小的合数是4

五年级奥数.数论.整除性(A级).教师版

九进制乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。拿破仑1816年战败，希特勒1945年战败，相隔129年。拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938 年攻人维也纳，也是相隔129年。拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔 129年后进攻苏联。美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。两人同在星期五并在女人的参与下被刺遇害。接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。更巧的是，杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔又是100年。兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；29的余数，这个计算过程被称作是“弃9法”。懂得了弃9法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该10个10个地数数，也不应该12个12个数数，而应该9个9个地数数，实行9进制。课前预习数论之整除性

数的整除知识点

精品文档数的整除知识点数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。数的整除 1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a. 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。 2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。精品文档．精品文档性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800

奥数数的整除讲义、练习含答案(推荐文档)

数的整除（1）性质、特征、奇偶性知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a—b）也能被c整除。 2）如果数a 能被自然数b 整除，自然数b 能被自然数c 整除，则数 a 必能被数c 整除。 3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。 4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。 2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。 3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3 或9）整除。 4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被11 整除。 5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。

奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数 ±偶奇数X 奇数二奇数（5）偶数X 偶数二偶数（6）奇数X 偶典型例题】例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是 17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2: 1?200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个? 奇偶性：（1）数 =奇数（ 4）数=偶数（ 7）奇数一奇数二奇数（8）…

例3 ：任意取出1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例4：有“ 1”，“ 2 ”，“ 3 ”4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？

5年级上第2讲整除问题初步

五年级上册 1

整除问题初步如果整数 a 除以整数 b （ b 0 ），除得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，也可以说 b 能整除 a ，记作b | a ．如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被 b 整除，也可以说 b 不能整除 a ．能被 3、9 整除的数的特征：各位数字之和能被 3 或 9 整除．第二讲整除初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论．什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠。一、整除的定义二、整除的一些基本性质 1. 尾数判断法（1）（2）（3） 2. 数字求和法 3. 奇偶位求差法我们把一个数从右往左数的第 1 位、第 3 位、第 5 位，??统称为奇数位，把一个数从右往左数的第 2 位、第 4 位、第 6 位，??统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质．能被 11 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被 11 整除．能被 8、125 整除的数的特征：末三位能被 8 或 125 整除．能被 4、25 整除的数的特征：末两位能被 4 或 25 整除．能被 2、5 整除的数的特征：个位数字能被 2 或 5 整除．

整除的概念

§1.3整除的概念注： 1. 在[]P x 中，加、减、乘封闭，但除法不封闭，整除是一种特殊关系． 2. 和中学中所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式。引例，设 32()3456f x x x x =+-+ 2()31g x x x =-+. 我们可以按下面的格式来做除法： 2323222313 456313 3931386133913317 x x x x x x x x x x x x x x -++-++-+-+-+- 于是求得商为3x+13，余式为3x-7.所得结果可以写成 3223456(313)(31)(317)x x x x x x x +-+=+-++- 这个求法实际上是具有一般性，下面就按这个想法来证明一元多项式环的一个基本性质。一. 带余除法

对(),()[]f x g x P x ?∈，()0g x ≠，一定存在(),()[]q x r x P x ∈，使 ()()()()f x q x g x r x =+ * 成立，其中(())(())r x g x ??10，由归纳假设，存在11(),()q x r x ，使得 ()()()()111f x q x g x r x =+ 其中 ()()()1()f x

数的整除单元知识点总结

数的整除单元练习一. 学习重点和难点：系统梳理本单元基本概念二. 教学过程 1. 梳理本单元基本概念，并请独立写出每一个概念的意义。 2. 运用基本概念回答下面各题。（1）填空。 ①6和12，（12）能被（6）整除，6是12的（约数），12是6的（倍数）。 ②12和15的公约数有（1，3），最大公约数是（3）。 ③（2）既是偶数，又是质数。（1）既不是质数，又不是合数。 ④在7、21、111三个数中，（7）和（111）是互质。 ⑤把435分解质因数。（435＝3×5×29） ⑥在1～100中，能同时被3，5整除的最小两位偶数是（30）。能同时被2，3，5整除的最大数是（90）。 ⑦一个非零自然数，除以4，除以7，除以8都得整数而没有余数，这个数最小是（56）。

⑧如果a＝2×3×5，b＝3×5×7 （a，b）＝15 [a，b]＝210 （2）判断，对的在（）里画“√”，错的画“×”。 ①一个自然数，不是奇数就是偶数。（√） ②如果甲数除以乙数，商7。那么乙数一定是甲数的约数。（√） ③能同时被2，3整除的最小三位数是120。（×） ④在1—20的自然数中，合数有12个。（×）（3）选择题。把正确答案的序号填在（）里。 ①11乘以一个质数，积一定是（B） A. 质数 B. 合数 C. 奇数 D. 偶数 ②已知A＝2×2×3×7，B＝2×3×3×5×7，那么A和B的最大公约数是（C） A. 7 B. 21 C. 42 （4）直接写出各组数的最大公约数。（5，7）＝1 （9，10）＝1（9，18）＝9 （4，6）＝2（6，9）＝3（14，28）＝14 （5）直接写出各组数的最小公倍数。 [6，8]＝24 [4，8，32]＝32 [4，6，24]＝24 [11，33]＝33 [5，2，7]＝70 [3，4，5]＝60 （6）用短除法计算。

数的整除知识点总结

数的整除知识点总结导读：数的整除知识点总结1 数的整除知识点总结2 一、基本概念和符号： 1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。 2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；二、整除判断方法： 1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。 2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6. 能被11整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7. 能被13整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质： 1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。 3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。【数的整除知识点总结】 1.数的整除教学总结反思 2.数的整除教案 3.数的整除教学反思 4.数的整除参考教案 5.数的整除的教学反思 6.数学数的整除复习题 7.能被3整除的数的教学与反思 8.数的整除复习优秀教案

五年级数学小数除法知识点与习题

姓名：五年级数学一：小数除法 1.小数除法的意义：与整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另个一个因数的运算。 2.小数除法的计算法则：（1）除数是整数：①按照整数除法的法则去除； ②商的小数点要和被除数的小数点对齐（重点！） ③每一位商都要写在被除数相同数位的上面。 ④如果除到末尾仍有余数，在被除数的个位数的右边点上小数点，再在被除数的后面添上“0”继续除，直到除尽为止。 ⑤除得的商的哪一数位上不够商，就在那一位上写0占位。例一：（1）97.6÷8 （2）5.4÷6 （3）511÷14 （4）306÷75 习题一：列竖式计算。（1）6.78÷6 （2）43.4÷14 （3）6÷15 （4）8.4÷8

（2）除数是小数：①先看除数中有几位小数，就把除数和被除数的小数点向右移动相同的位置，使除数变成整数，当被除数数位不够时，用0补足； ②然后按照除数是整数的小数除法计算。例二：（1）7.36÷3.2 （2）7.8÷0.12 习题二：列竖式计算。（1）4.5÷0.04 （2）21÷2.8 3、商不变的规律：被除数扩大a倍（或缩小）除数也扩大（或缩小）a倍，商不变。简言之，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。例三：（1）0.34÷0.68=（）÷68 （2）0.54÷18=（）÷18 习题三：（1）4.32÷0.48=（）÷48 （2）0.238÷0.34=（）÷34 4、被除数不变，除数扩大（或缩小）a倍，商缩小（或扩大）a倍。被除数扩大（或缩小a倍，除数不变，商扩大（或缩小）倍。例四：（1）13.5÷30 = （2）180÷25= 13.5÷3 = 18÷25= 13.5÷0.3= 1.8÷25 习题四：（1）2.92÷2= （2）4.8÷8= 2.92÷20= 48÷8= 2.92÷200= 480÷8=

奥数数的整除讲义及答案

数的整除（1）性质、特征、奇偶性教室：姓名：学号：【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）…【典型例题】例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是858. 例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？解：1～200中，能被6整除的数共有33个（200÷6=33…），能被8整除的数共有25个（200÷8=25）.但［6，8］=24，200÷24=8……8，即1～200中，有8个数既被6整除，又被8整除。故总共有：33+25－8=50。

小学数学《整除问题初步》练习题

整除问题初步 1、20137囗是一个六位数，小高在框中填了一个数字，使得它能被25整除；墨墨也在框中填了一个数字，而且填的数字比5大，这样该六位数就能被4整除。那么，他俩所填的数字相加，和为___________。 2、20145囗是一个六位数，小高在框中填了一个数字，使得它能被25整除；墨墨也在框中填了一个数字，而且填的数字比5大，这样该六位数就能被4整除。那么，他俩所填的数字相减（大减小），差为___________。 3、20152囗是一个六位数，小高在框中填了一个数字，使得它能被25整除；墨墨也在框中填了一个数字，而且填的数字比5大，这样该六位数就能被4整除。那么，他俩所填的数字相乘，积为___________。 4、371AB5是一个能被125整除的六位数，那这个六位数最大等于___________。 5、516A5B是一个能被125整除的六位数，那这个六位数最大等于___________。 6、492A2B是一个能被125整除的六位数，那这个六位数最大等于___________。 7、371A9B是一个能被8整除的六位数，那把这个六位数所有可能的答案从小到大排成一排，第5个是___________。 8、三位数45囗能被9整除，则"囗"中可以填___________。

9、三位数7囗8能被3整除，则"囗"中不可以填___________。 10、三位数12囗能被9整除，则"囗"中填___________。 11、六位数A2035A能被3整除但不能被9整除，则A是___________。 12、六位数A2013A能被3整除但不能被9整除，则A是___________。 13、六位数A2014A能被3整除但不能被9整除，则A是___________。 14、已知各位数字互不相同的六位数2014AB能被3整除但不能被9整除，那这个六位数的最大值减它的最小值，差等于________。 15、多位数314159263囗11能被9整除，则"囗"中可以填___________。 16、多位数5265914056囗能被9整除，则"囗"中可以填___________。 17、多位数31415囗01113能被3整除，则"囗"中可以填___________。 18、7758521囗1113能被3整除，则"囗"中可填的数有___________个。

(完整word版)数的整除相关概念

小学数学：因数和倍数相关概念1、自然数：在数物体的时候，用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5……叫做自然数。 2、自然数都是整数。 3、整除的意义：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除。 4、因数与倍数：如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 5、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它的本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 6、能被2、3、5整除的数的特征：能被2整除的数的特征：个位上的数是0、2、4、6、8的数。能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数。能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。能被2、3整除的数的特征：个位上的数是0、2、4、6、 8，且各个数位上的数的和能被3整除的数能被2、5整除的数的特征：个位上的数是0的数。能被3、5整除的数的特征：个位上是0或者5，且各个数位上的数的和能被3整除的数。能被2、3、5整除的数的特征：个位上的数是0，且各个数位上的数的和能被3整除的数。 7、偶数与奇数：能被2整除的数叫做偶数。如果a是自然数，偶数可以用2a表示。不能被2整除的数叫做奇数。如果a是自然数，奇数可以用2a－1(2a+1)表示。奇数自然数（能否被2整除分为）偶数8、奇数与偶数的运算特点：加法：偶+奇=奇偶+偶=偶奇+奇=奇减法：偶-奇=奇偶-偶=偶奇-奇=偶偶-奇=奇乘法：奇×偶=偶偶×偶=偶奇×奇=奇 9、在自然数中，无最大的奇数，最小的奇数是1。在自然数中，无最大的偶数，最小的偶数是2。10、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。质数——只有两个因数。自然数（按因数的个数分为）合数——两个以上的因数 1——只有1个因数 11、100以内的质数表： 2 3 5 7和11，13 17和19，23 29 31，37 41和43，47 53 59，61 67 71，73 79 83，89和97。共25个。 12、质因数和分解质因数每个合数都可以写成几个质因数相乘形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 13、分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止；然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。 14、一个数的质因数和这个数的因数的关系：把一个合数分解质因数后，每个质因数都是这个合数的因数；两个或两个以上质因数相乘的积，也是这个合数的因数。 15、公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。