导数大题 题型总结

导数大题 1．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31

()(10)10

V t H t =-（H 为常数）

，其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为

3(m /h)v . 那么瞬时融化速度等于3(m /h)v 的时刻

是图中的（ ）

（A ）1t

（B ）2t

（C ）3t （D ）4t

2．函数3()e x

f x x =的极值点0x = ，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程是 .

3．已知函数2

()ln f x a x bx =-，a ，b ∈R .

（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线1

2

y =-

相切，求a ，b 的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()f x 在1[,e]e

上的

最大值；

（Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，

2(e,e ]x ∈都成立，求a 的取值范围.

解：（Ⅰ）()2a

f x bx x

'=

-. 由函数()f x 在1x =处与直线1

2

y =-

相切，得(1)0,1(1).2f f '=???=-??即20,1.2

a b b -=??

?-=-??

解

得

a b ??

??? (2)

，定义域为此时()f x x x '=-2=x

x

.令

()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得

1x >．

所以()f x 在（

1

e

，1）上单调递增，在（1，e ）上单调递减，

所以

()f x 在1

[,e]e

上的最大值为

1

(1)2

f =-． ……………………

…………8分

（Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的

(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，

即

2ln a x bx x

-≥对所有的

(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，

即2ln a x x bx -≥对所有的(,0]b ∈-∞，

2(e,e ]x ∈都成立，

即

ln 0

a x x -≥对

2(e,e ]

x ∈恒成

立． …………………11分

即ln x

a x

≥

对2(e,e ]x ∈恒成立， 即a 大于或等于ln x

x

在区间2(e,e ]上的

最大值．

令()ln x h x x =，则2ln 1(=(ln )x h x x -'），当2(e,e ]x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，

所以()ln x h x x

=，2

(e,e ]x ∈的最大值为

22

e (e )2h =．即2

e 2

a ≥．

所以

a

的取值范围是

2

e [,)2

+∞． ………………………………14分

4．已知函数2()e x

f x x =． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）证明：1x ?，2(,0]x ∈-∞，

122

4()()e f x f x -≤

； （Ⅲ）写出集合{()0}x f x b ∈-=R （b 为常数且b ∈R ）中元素的个数（只需写出结论）．

解：（Ⅰ）()(2)x

f x x x e '=+．

令()(2)0x

f x x x e '=+=，则12x =-，

20x =．

)

所以函数()f x 的单调递减区间为

(2,0)-，单调递增区间为 (,2)-∞-,(0,)+∞．

…………………4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()f x 的单调递增区间

为(,2)-∞-，单调递减区间为(2,0)-， 所

以

当

(,0]x ∈-∞时，

()=f x 最大值2

4

(2)f e -=

．

因为当(,2]x ∈-∞-时，()0f x >，

(0)0f =，

所

以

当

(,0]x ∈-∞时，

()=f x 最小值(0)0f =．

所以()f x 最大值-()=

f x 最小值24e

． 所以对1x ?，2(,0]x ∈-∞，都有

12()()f x f x -≤()f x 最大值-()=

f x 最小值2

4e ． ……………………10分

（Ⅲ）当0b <时，集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为0；

当0b =或2

4

b e >

时，集合

{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为1；

当24

b e =

时，集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为2；

当

2

40b e <<

时

，

{()0}x f x b ∈-=R 的元素3． …………13分

5．已知函数1

()ln ()f x a x a R x

=+

∈. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点

(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）如果函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，求a 的取值范围；

（Ⅲ）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数．

解：（Ⅰ）当2a =时，1

()2ln f x x x

=+，(1)1f =，

所以221

()f x x x

'=-，(1)1f '=．

所

以

切

线

方

程

为

y x

=． ……………………3分

（Ⅱ）因为()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，

等价于21

()20a g x x x

'=--≤在

(0,)+∞恒成立，

变形得1

2a x x

≤+ (0)x >恒成立， 而12x x +≥=（当且仅当1

2x x

=

，即2x =时，等

号成立）．

所

以

a ≤．

……………………8分

（Ⅲ）2

1

()ax f x x

-'=． 令()0f x '=，得1x =

． 所

以

min 1()=()f x f a

=1

ln (1ln )a a a a a +=-．

（ⅰ）当0a e <<时，min ()0f x >，所

以()f x 在定义域内无零点；

（ⅱ）当a e =时，min ()0f x =，所以

()f x 在定义域内有唯一的零点；

（ⅲ）当a e >时，min ()0f x <， ① 因为(1)10f =>，所以()f x 在增

区间1(,)a

+∞内有唯一零点；

② 21

()(2ln )f a a a a

=-，

设()2ln h a a a =-，则2

()1h a a

'=-

， 因为a e >，所以()0h a '>，即()h a 在

(,)e +∞上单调递增，

所以()()0h a h e >>，即2

1

(

)0f a >，所以()f x 在减区间1(0,)a

内有唯一的零点．

所以a e >时()f x 在定义域内有两个

零点．

综上所述：当0a e <<时，()f x 在定

义域内无零点； 当a e =时，()f x 在定义域内有唯一的

零点；

当a e >时，()f x 在定义域内有两个零

点． ……………………13分 6．已知函数

32

5()2f x x x ax b =+

++ ,327

()ln 2g x x x x b =+++，

（a ，b 为常数）． （Ⅰ）若()g x 在1x =处的切线过点(0,5)-，求

b 的值；

（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()f x '，若关于x 的

方程()()f x x xf x '-=有唯一解，求实数b 的取值范围；

（Ⅲ）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围．

解：（Ⅰ）设()g x 在1x =处的切线方程为

5y kx =-，

因

为

21

()37,(1)11g x x x g x

''=++

=， 所以11k =，故切线方程为

115y x =-.

当1x =时，6y =，将(1,6) 代入

32

7()ln 2

g x x x x b =+

++， 得

32

b =

． …………………………3分 （Ⅱ）()2

'35f x x x a =++，

由

题

意

得

方

程

32

325352

x x ax b x x ax x +

++=+++有唯一解，

（Ⅲ）2

()ln ,F x ax x x =-- 所以

221

'()x ax F x x

-+=-.

因为()F x 存在极值，所以

221

'()0x ax F x x

-+=-=在),0(+∞上有根，

即方程0122

=+-ax x

在),0(+∞上有

根，则有2=80a ?-≥.

显然当=0?时，()F x 无极值，不合题意； 所以方程必有两个不等正根． 记方程0122

=+-ax x

的两根为21,x x ，

则1212

1022

x x a x x ?=>????+=??，，

2212121212()()()()(ln ln )

F x F x a x x x x x x +=+-+-+

2

1ln 14222-+-=a a >

15ln 2

- ,

解得162>a ，满足0?>. 又1202

a

x x +=

>，即0a >， 故所求a 的取值范围是

),4(+∞． ……

……………………14分