郑州市2017—2018高二下期期末数学(文)

2017-2018学年下期期末考试 高二数学（文）试题卷

第I 卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）

1. 复数

111i

i

-++的虚部是（ ） A. i - B. 1- C. 1i - D. 1

2. 用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A. ,,a b c 都是奇数 B. ,,a b c 都是偶数

C. ,,a b c 中至少有两个偶数

D. ,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数 3. 在下列说法中，真命题的个数时（ ）

①随机误差是引起预报值与真实值之间误差的原因之一； ②残差平方和越小，预报精度越高；

③用相关指数来刻画回归的效果，2R 的值越接近1，说明模型的拟合效果越好； ④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.（选修4—4：坐标系与参数方程）下列极坐标方程表示圆的是（ ） A. 1ρ= B. 2

πθ=

C. sin 1ρθ=

D.

()sin cos 1ρθθ+=

（选修4—5：不等式选讲）不等式113x <+<的解集为（ ）

A. ()()4,20,2--U

B. ()()2,02,4-U

C. ()4,0-

D. ()0,2

5. 某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y bx a e =++（单位：亿元），其中0.8b =，2a =，

0.5e ≤，如果今年该地区财政收入是10亿元，年支出预计不会超过（ ）

A. 9亿元

B. 9.5亿元

C. 10亿元

D. 10.5亿元

6. 设1111333b a

????

<<< ? ?????

，则（ ）

A. a

b

a

a a

b << B. a

a

b

a b a << C. b

a

a

a a

b << D. b

a

a

a b a << 7. 若z C ∈且221z i +-=，则22z i --的最小值是（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5 8. （选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线:1

x t

l y t =??

=+?（t 为参数），圆:2cos C ρθ=，则圆心C

到直线l 的距离是（ ） A. 2 B.

3 C. 2 D. 1

（选修4—5：不等式选讲）已知01a b <<<，下面不等式中一定成立的是（ ） A. log log 20a b b a ++> B. log log 20a b b a +-> C. log log 20a b b a ++≤ D. log log 20a b b a ++≥ 9. 下面是电影《达芬奇密码》中的一个片段，女主角欲输入一个由十个数字按一定规律组成的密码，但当她果断地输入了前八个数字，欲输入最后两个数字时她犹豫了，也许是她真的忘了最后的两个数字，也许……. 请你依据上述相关信息推测最后的两个数字最有可能是（ ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 31 10. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

11.（选修4—4：坐标系与参数方程）若()2,1P -为圆15cos :5sin x O y θ

θ=+??=?

（02θπ≤<）的弦的中点，

则该弦所在直线l 的方程是（ ）

A. 30x y --=

B. 20x y +=

C. 10x y +-=

D. 250x y --= （选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为三角形的三边，且2

2

2

S a b c =++，P ab bc ca =++，则（ ）

A. 2P S P ≤<

B. 2P S P <<

C. S P >

D. 2S P ≥ 12. 已知()3,3,x a x a

f x x a x a

-++≥?=?

-+

若关于x 的不等式()()f x g x >至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 133,

4??

- ???

B. 13,34??

- ???

C. ()3,3-

D. 1313,44??- ???

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 某饮料店的日销售收入y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：C ?）之间有下列数据：

甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x 与y 之间的三个线性回归方程：①

?3y x =-+；②? 2.8y x =-+；③? 2.6y x =-+；④? 2.8y x =+，其中正确方程的序号是 .

14. 在复平面上，复数

()

2

3

2i -对应的点到原点的距离为 .

15. ,a b R ∈，若112a b a b ++-+-≤，则a b +的取值范围为 .

16. 近几年来，人工智能技术得到了迅猛发展，某公司制造了一个机器人，程序设计师设计的程序是让机器人每一秒钟前进一步或后退一步，并且以先前进3步，然后再后退2步的规律前进. 如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上前进（1步的距离为1个单位长度）. 令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且()00P =，则下列结论中正确的是 . （请将正确的序号填在横线上） ①()33P =； ②()51P =； ③()()20182019P P <； ④()()20172018P P <； ⑤()()20032018P P =.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17. 已知z 是复数，2z i +，

2z i

-均为实数（i 为虚数单位），且复数()2

z mi +在复平面上对应的点在第一象限.

（I ）求复数z ；（II ）求实数m 的取值范围.

18. 随着炎热的夏天到来，在海边旅游的人们都喜欢潜水这项活动. 某潜水中心调查了200名男性与200名女性下潜至距离水面5米时是否会耳鸣，如图为其等高条形图：

（I ）绘出22?列联表；

（II ）利用独立性检验的方法，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与耳鸣有关？ 参考数据及公式：

19. 选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程为2x a t y t =-??=?（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θ

θ=??=?

（θ为参数）.

（I ）求直线l 和圆C 的普通方程； （II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.

选修4—5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.

（I ）若对任意,,a b c R ∈()a c ≠，都有()a b b c

f x a c

-+-≤-恒成立，求x 的取值范围；

（II ）解不等式()3f x x ≤.

20. 证明：（I ）已知,a b 为实数，且1,1a b <<，求证：1ab a b +>+；

（II ）已知,,a b c 均为实数，且1,1,1a b c <<<，求证：2abc a b c +>++. （提示：可利用第一问的结论进行证明）

21. 选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C

的极坐标方程为

4πρθ??

=+

??

?

，直线l

的参数方程为1x t

y =???

=-+??t 为参数），用直线l 和圆C 交于,A B 两

点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.

（I ）求圆心的极坐标； （II ）求PAB ?面积的最大值.

选修4—5：不等式选讲

设关于x 的不等式2324x a x x -++≥+的解集为A . （I ）若1a =，求A ； （II ）若A R =，求a 的取值范围.

22. 某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费，需要了解年宣传费x （单位：万元），对年销售量y （单位：t ）和年利润z （万元）的影响，为此，该公司对近7年宣传费i x 和年销售量i y ()1,2,,7i =…的数据进行了初步处理，得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值.

其中ln i i k y =，7

1

17i i k k ==∑.

（I ）根据散点图判断，y bx a =+与21c x

y c e

=哪一个更适宜作为年销量y 关于年宣传费x 的回归方程

类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （III ）已知这种产品年利润z 与x ，y 的关系为2,5

0.110z e y x -=-+，当年宣传费为28万元时，年

销售量及年利润的预报值分别为多少？

附：①对于一组具有线性相关关系的数据()(),1,2,3,,i i u v i n =…,其回归直线v u βα=+的斜率和

截距的最小二乘估计分别为： ^

^^

1

2

1

()()

,()

n

i

i

i n

i

i u u v v v u u u βαβ==--=

=--∑∑

②

2017-2018学年下期高二数学（文科）评分参考

一、选择题：1—12 BDCAD CBCCB AB

二、填空题： 13.②;14.3

5; 15. [0，2]; 16.①②④．

三、计算题：

17、解：（I ）设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，

则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ……2分 ∵

z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15

(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋1

5(x －4)i.由题意得x ＝4，……4分

∴z ＝4－2i. ……………5分 （II ）∴(z ＋m i)2＝(12＋4m －m 2)＋8(m －2)i. ……………6分

由于(z ＋m i)2在复平面上对应的点在第一象限，

∴24120,

8(2)0,

m m m ?-++>?

->?解得2＜m ＜6.

∴实数m 的取值范围是(2,6)． ……………10分 18.解： (I)由男女生各200人及等高条形图可知耳鸣的男生有200×0.3=60人,

耳鸣的女生有200×0.5=100人,所以无耳鸣的男生有200-60=140(人), 无耳鸣的女生有200-100=100(人),所以2×2列联表如下: ………4分

……………6分

(II)由公式计算K 2的观测值:

2400(60100140100)16.667200200160240

k ??-?=≈???>10.828,……………10分

所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与耳鸣有关.………12分 19（选修4－4：坐标系与参数方程）

解 (I)直线l 的普通方程为2x+y －2a ＝0，……………3分 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.……………6分 (II)因为直线l 与圆C 有公共点，

故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |

5

≤4. ……………9分

解得－25≤a ≤2 5..……………12分 选修4-5：不等式选讲

解 (1)∵|a －b |＋|b －c |≥|a －b ＋b －c |＝|a －c |.

当且仅当(a －b )(b －c )≥0取“＝”，∴|a －b |＋|b －c |

|a －c |≥1，……………3分

∴f (x )≤1，即|2x －1|≤1，∴－1≤2x －1≤1，∴x ∈[0，1]．……………6分

(2)①?????2x －1≥0，2x －1≤3x 或②?

????2x －1＜0，1－2x ≤3x .……………9分

由①得x ≥12，由②得15≤x ＜12

.

综上，原不等式的解集为?

??

?

??x |x ≥15..……………12分

20.证明：(1)左－右=ab ＋1－(a ＋b ) ……………2分

＝(a －1)(b －1).……………4分

∵|a |<1，|b |<1，故a －1<0，b －1<0，即(a －1)(b －1) >0.得证.……………6分 (2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ，……………8分

∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c .………12分 21（选修4－4：坐标系与参数方程）

解：(1)由圆C 的极坐标方程为 ρ＝22cos(θ＋π

4)，得

ρ2＝22(

22ρcos θ－2

2

ρsin θ)，……………2分 把?????

x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ

代入可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.. ……………4分

∴圆心坐标为(1，－1)，∴圆心的极坐标为(2，7π

4).……………6分

(2)由题意，得直线l 的直角坐标方程为22x －y －1＝0. ∴圆心(1，－1)到直线l 的距离d ＝

|22＋1－1|22

2＋

－1

2

＝

22

3

， ………8分 ∴AB ＝2r 2－d 2＝2

2－89＝2103

. 点P 到直线l 的距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝52

3，……………10分

∴S max ＝12×2103×523＝105

9.……………12分

选修4-5：不等式选讲

解 (1)当x ≥1

2

时，2x －1＋x ＋3≥2x ＋4，∴x ≥2；……………2分

当－3＜x ＜1

2时， 1－2x ＋x ＋3≥2x ＋4，∴－3＜x ≤0；……………4分

当x ≤－3时，1－2x －x －3≥2x ＋4，∴x ≤－3.

综上，原不等式的解集A ＝{x |x ≤0，或x ≥2}．……………6分 (2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．……………8分 当x ＞－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，即|2x －a |≥x ＋1， 得x ≥a ＋1或x ≤a －13，所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －1

3

，

得a ≤－2，………11分

综上，a 的取值范围为(－∞，－2]．……………12分 22解：（1）21c x y C e =适宜.……………………2分

（2）由21c x y C e =得21ln ln ,y C x C =+

令21ln ,,ln ,y k C C βα===……………………4分

由图表中的数据可知3513

??,.14044

βα

===- ……………………6分 13?.44

k

x ∴=- y ∴关于x 的回归方程为3

44

.x y e

-=……………………8分

（3）当28x =时，由回归方程得

?1096.630.472333,y

=÷≈，

?0.082333 2.810194.z

=?-+= ……………………11分 即年宣传费为28万元时，年销售量量的预报值约为2333t ， 年利润的预报值约为194万元.……………………12分