二项式展开式专题
二项式展开式专题
一、基础知识：
1、二项式()()n
a b n N *+∈展开式
()
011222n
n n n r n r r
n n
n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们
可以发现这样几个特点
（1）()n
a b +完全展开后的项数为()1n +
（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n
（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n
x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n
a b +-????进行展开
（4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项）
2、二项式系数：项前面的01,,,n
n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的
和为2n
二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n
a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。
3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数
注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的r n C ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：()5
21x +展开式中第三项为()3
223521T C x =??，其中25C 为该项的二项式系数，而()3
223352180T C x x =??= 化简后的结果80为该项的系数
（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同。例如()5
1x + 展开式的第三项为 ()3
22351T C x =??，可以计算出二项式系数与系数均为10
3、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如21
2,5x x
就是有理项，
就不是有理项。
4、()n
a b +与()n
a b -的联系：首先观察他们的通项公式：
()n a b +：1r n r r r n T C a b -+= ()n a b -：()()'11r r
r n r r n r r r n n T C a b C a b --+=-=-
两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。其绝对值相等。所以在考虑()n
a b -系数的绝对值问题时，可将其转化为求
()n
a b +系数的问题
5、二项式系数的最大值：在01,,,n n n n C C C 中，数值最大的位于这列数的
中间位置。若n 为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如5n =时，最大项为2355C C =，若n 为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如6n =时，最大项为36C
证明：在01,,,n n n n C C C 中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最
大项为r
n C ，则有()()()()()()1
1
!!11!!1!1!1!!11!!11!1!r r n n r r n n n n r n r r n r C C r n r n n C C r n r n r r r n r -+??≥≥?----????≥?????+-?????≥????≥
≥??--+?+-+?
???? 所以解得：1
2
12
n r n r +?
≤??
?
-?≥??
即1122n n r -+≤≤ 所以当n 为奇数时（21n k =-），不等式变为1k r k -≤≤，即1r k =-或r k =为中间项
当n 为偶数时（2n k =），不等式变为11+22
k r k -≤≤，即r k =为中间项 6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要计算所得，大致分为两种情况：
()__n
+型：不妨设项1r T +的系数为1r P + ，则理念与二项式系数最值类似，
最大值首先要比相邻项大，所以有112
r r
r r P P P P +++≥??≥?，再根据通项公式代入解
不等式即可
()__n
-型：
其展开式的特点为项的符号有正有负，所以在解决此类问题时有两种方法：一种是只选取其中的正项进行比较，但序数相隔。即
11
13
r r r r P P P P +-++≥??
≥?，在运算上较为复杂；一种是先考虑系数绝对值的最大值，从而把问题转化为()__n
+的最大值问题，然后在考虑符号确定系数最大值。
例1
：二项式8
2x ?- ?
展开式中的常数项是_________
方法一：思路：考虑先求出此二项式展开式的通项公式，令x 的指数为0，求出r 的值再代入计算即可
解：()
881183
3
188
1122r
r
r
r r
r r
r
r x T C x C x
x
-----+????
??=-=-?? ? ?
???
??
??
依题意可得：18063
r r r --=?=
∴ 常数项为()2
66
781172T C ??=?-= ???
方法二：思路：对8
2x ?- ?中的8
个2x ? ?
因式所出的项进行分配，若最后结果为常数项，则需要两个式子出2x
，六个式子出-
所以常数项为：6
2
2872x C ???= ? ???
答案：7
小炼有话说：通过本题说明求二项式展开式中某项的两种主流方法：一是通过通项公式，先化简通项公式，再利用题目中所求项的特征求出r 的值，进而求解；二是分析展开式中每一项构成的本质，即每一个因式仅出一项，然后相乘得到，从而将寻找所求项需要的出项方案，将其作为一个组合问题求解。
例2：在6
2
1x x ??+ ??
?的展开式中，3x 的系数是____________ 思路一：考虑二项展开的通项公式：
()
()()626211231666r
r
r r r r r r r T C x x C x C x -----+===
由所求可得：12333r r -=?= 3334620T C x x ∴==
思路二：可将其视为6个因式出项的问题，若要凑成3x ，需要3个2x ，
3个1x
所以该项为：()
3
3
3236120C x x x ???= ???
答案：20
小炼有话说：利用二项式定理求某项，通常两种思路：一种是利用二项式展开的通项公式，结合条件求出r 的值再求出该项；另一种是将问题转化为因式如何安排出项的问题。
例3：若二项式7
1x x ??
- ??
?的展开式中的第四项等于7，则x 的值是____________
思路：条件中涉及到项的序数，那么只能考虑利用通项公式：
717
1r r
r
r T C x
x -+??=- ???，第四项中3r =，3
344717T C x x ??=-= ???
，解得：15x =- 答案：1
5
x =-
例4：已知9
1x ax ??+ ??
?的展开式中3
x 项的系数为212-，则实数a 的值为__________
思路：先利用通项公式求出3x 的项，在利用系数的条件求出a 的值即可 解：99219911r r
r r
r r
r T C x
C x ax a --+????== ? ?
????
9233r r ∴-=?= 333
3493
184T C x x a a ??∴== ???
3842122a a ∴=-?=- 答案：2a =-
例5：已知二项式2()n x x
+的展开式中各项二项式系数和是16，则展开
式中的常数项是____
思路：要想求得展开式的某项，首先要先确定n 的取值，先利用二项式系数和求出n ：216n =即4n =，再求42()x x
+展开式的常数项为
2
224224C x x ??= ???
答案：24
例6：()()5
211x x x ++-的展开式中，4x 项的系数为___________
思路：已知表达式展开式中的每一项由两部分相乘而成，要想凑得4x ，不妨从其中一个式子切入进行分类讨论（以()21x x ++为例） 1：()21x x ++出1，则()5
1x -出4x ，该项为：()4
445115C x x ???-=
2：()21x x ++出x ，则()5
1x -出3x ，该项为：()3
3245110x C x x ???-=-
3：()21x x ++出2x ，则()5
1x -出2x ，该项为：()2
22345110x C x x ???-=
综上所述：合并后的4x 项的系数为5
例7：()10
2
1x x -+ 展开式中3x 项的系数为（ ）
A. 210-
B. 210
C. 30
D. 30-
思路：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为10个因式如何分配所出项的问题：若要凑成3x 有以下几种可能：
（1）：1个2x ，1个()x -，8个1，所得项为：()121
8831098190C x C x C x ?-?=- （2）：3个()x -，7个1，所得项为：()3
37731071120C x C x -?=-
所以3x 项的系数为210- 答案：A
例8
：二项式24
展开式中，有理项的项数共有（ ）项
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
思路：有理项是指变量的指数是整数，所以考虑从通项公式入手：
2424
1
13
6424
2424r
r
r r r C x x C x
---??
??== ?
???
??
，其中0,1,2,,24
r =，r 的取值只需要让364
r Z -∈，则0,4,8,12,16,20,24r =，所以共有7个有理项 小炼有话说：在整理通项公式时可将x 的根式（或倒数）转化为分数指数幂，方便进行化简。
例9：二项式()8
21x +展开式中系数最大的项为___________
思路：考虑()8
21x +展开式的通项公式为88182r r r r T C x --+=，其系数设为1r P +，
即818
=2r
r
r P C -+，若要1r P +最大，则首先要大于相邻项，即112
r r
r r P P P P +++≥??≥? ，代
入解得r 的范围即可确定出r 的值，从而求出该项 解：()888188212r
r r r r r r T C x C x ---+=?= 设1r T +项的系数为818=2r r r P C -+
若1r P +最大，则()()81818818+18+1
12882222
r r r
r r r r r r r r r C C P P P P C C ----+--++?≥≥?????≥≥??? ()()()()()()89878!8!1222!8!1!9!98!8!2122!8!1!7!81r r r r r r r r r r
r r r r r r ----??≥≥??---??-∴?????≥≥
??-+--+??
解得：23r ≤≤ 2r ∴=或3r =
∴经检验：系数最大的项为5341792T T x ==
二项式定理知识点总结
二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求9 1()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数
二项式定理(通项公式)
六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②
二项式定理(通项公式).
二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=， 即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等，且同 时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f
二项式展开定理
二项式展开定理 一、 定理及基本概念 1. *)()(110N n n C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ; 2. 项数:一共项; 3. 通项:;一定注意两点: 1) 涉及“第几项”得时候,一定严格按照通项公式; 2) 注意项数与系数得关系。 4. 二项式系数与各项系数之间得联系与区别。 二、 性质 1. 二项式系数得对称性:; 2. 二项式系数与:; 3. 奇数项二项式系数与=偶数项二项式系数之与=; 4. 二项式系数最大项: 1) 当就是偶数时,此时项数就是奇数,中间项得二项式系数最大; 2) 当就是奇数时,此时项数就是偶数,中间两项得二项式系数=最大。 5. 系数最大项:注意系数最大与二项式系数最大得区别。 基本题型解题思路及步骤 一、 利用通项公式求某项系数 1. 写出通项公式得时候注意: 1) 所有得系数写在最前面,包括符号; 2) 所有根式都写出分数次数形式;
3)明白什么就是有理项; 4)注意得取值范围。 2.只有一个式子:写出通项公式,根据系数关系,确定满足条件得项。 3.有两个式子相乘: 1)分别用通项公式打开,组合后瞧满足条件得项; 2)只打开一个,观察另一个得形式,判断满足条件得项;一定注意系数; 3)有多个得,注意各自得取值范围与相互之间得关系。 二、赋值求系数与 1.常用得赋值就是令,具体要通过所求得式子来判断赋值; 2.所有系数之与:令;二项式系数之与:; 3.所有系数绝对值之与:令;变换原来式子里得符号,边为相加;再令; 4.求导与积分得形式。 三、对二项式定理得理解:组合项、整除 1.二项式定理得理解:都表示一个整体; 2.根据所求得问题,对前面得进行重新组合。 例题讲解 一、求某项得系数 1.求展开式中第几项为常数项,并求常数项得值。 解:直接用通项公式打开:;(注意系数都放一起) 常数项即得次数为0,也即:;所以常数项为第4项; 且常数项为:
排列数、组合数公式及二项式定理的应用
排列数、组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 刘 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?+ +?=+-. 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 6、二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈ 【注】： 1．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
高中数学讲义 求二项式的展开项
微专题82 求二项式展开后的某项 一、基础知识： 1、二项式() ()n a b n N * +∈展开式 () 011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ，从恒等式中我们可以发 现这样几个特点 （1）()n a b +完全展开后的项数为()1n + （2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n a b +-????进行展开 （4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项） 2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C L 称为二项式系数，二项式系数的和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意 味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。 3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数 注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的 r n C ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。而系数是指展开并化简后最后项前面 的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：()5 21x +展开式中第三项为()3 2 2 3521T C x =??，其中2 5C 为该项的二项式系数，而()3 2 23 352180T C x x =??= 化简后的结果80为该项的系数
二项式定理
二项式定理 性质：说课稿 一、教材分析 1.教材的地位和作用 二项式定理一节，分四个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于： （1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数以及计数原理的认识. （3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 2.教学的重点·难点 根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下： 重点：二项定理的推导及运用 难点：二项式定理及通项公式的运用 二、三维教学目标分析 知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 能力目标通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识.
三、教法分析： 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 四、教学过程： （一）创设情境，激发兴趣 提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？” 设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发学生的求知欲望. （二）问题初探 （1）、从具体问题入手，启发学生将这个问题转化成一个数学问题：“求810被7除的余数是多少？”因为8=7+1，82=（7+1）2=72+2﹡ 7+1，83=（7+1）3=73+3 72+3 ﹡7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b） 2、（a+b） 3、（a+b）4的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？（a+b）100、（a+b）n呢？对于这个问题，我们如何解决？
(完整版)二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类 似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
高考数学 《二项式定理》
二项式定理 主标题：二项式定理 副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：二项式定理，二项式系数，项系数 难度：2 重要程度：4 考点剖析： 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向： 1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数． 规律总结： 1个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项； (2)通项公式中a，b的位置不能颠倒； (3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”． 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”； (2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．
知 识 梳 理 1．二项式定理 二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式 的通项公式 T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0 n ，C 1n ，…，C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时，第n 2 ＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，第n ＋1 2项和n ＋3 2项的二项式系数最大，最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1.
二项式展开式专题
二项式展开式专题 一、基础知识： 1、二项式()()n a b n N *+∈展开式 () 011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们 可以发现这样几个特点 （1）()n a b +完全展开后的项数为()1n + （2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n a b +-????进行展开 （4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项） 2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的 和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。
二项式定理中的特殊项问题
《二项式定理中的特殊项问题》导学案 学习目标： 1． 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式； 2． 学会利用“赋值”的方法解决有关问题。 学习重点：二项式系数性质的应用； 学习难点：二项式系数性质的应用。 学习过程： 学习提纲： n n n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+--ΛΛ，是二项式展开式定理， 主要研究了以下几个方面的问题： （1）展开式；（2）通项公式；（3）二项式系数及其有关性质。 1．求5 2 3 )12()1(+-x x 的展开式中2 x 项的系数。 变式1：9()a x x -的展开式中3x 的系数是84-，求a 的值。 2． 求二项式3 5 2 1()x x - 的展开式中的常数项。 3． 求11 的展开式中的有理项。 4． 已知22)()n n N x ∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。 （1） 求展开式中各项系数的和； （2） 求展开式中含32 x 的项； （3） 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。 5． 若82 80128()x a a a x a x a x -=++++g g g ，且556a =，求0128a a a a ++++g g g 的值。 当堂检测：
1．（2011 陕西高考）6 (42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是（ ） .20A - .15B - .15C .20D 2．若4234 01234(1)x a a x a x a x a x -=++++，则024a a a ++的值为 。 3．若(0)x ∈+∞，，则15 (12)x +的二项展开式中系数最大的项为 。 4．已知(1)n x -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1)n x -的展开式中系数最小的项是 。 5．若1(3)n x x +的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。 作业：课本 40P A 组1～9题；B 组1～5题 附加题：若4 1()2n x x +展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项． 补充作业： 1．若016 6777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(，求 （1）1237a a a a ++++g g g ； （2）7531a +a +a +a ； （3）01237||||||||||a a a a a +++++L 2．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ） A ．160 B ．240 C ．360 D ．800 3．已知2()n i x x - 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式 中系数为实数且最大的项为（ ） A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第5项或第6项 4．设()(1)(1)m n f x x x =+++（m 、n ∈N*），若其开展式中关于x 一次项的系数和为11，问m 、n 为何值时，含x 项的系数取最小值并求这个最小值．
二项式定理解题技巧
二项式定理 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括 二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0 n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++= ， 变形式1 221r n n n n n n C C C C +++++=- 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-= ， 从而得到：0 2421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
求二项式的展开项
求二项式展开后的某项 一、基础知识： 1、二项式()()n a b n N *+∈展开式 () 011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们 可以发现这样几个特点 （1）()n a b +完全展开后的项数为()1n + （2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n a b +-????进行展开 （4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项） 2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的 和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。
例说二项式定理的常见题型及解法
例说二项式定理的常见题型及解法 二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。 一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x x + 的展开式； 解：原式=4 )1 3( x x +=2 4)13(x x + = ])3()3()3()3([144342 243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(1 2342++++x x x x x =541 12848122++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(x x - 的展开式； 分析：解决此题，只需要把4)13(x x - 改写成4)]1(3[x x -+的形式然后按照二项展开式的格式展 开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 解：原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 33 22 11 -=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
二项式定理(通项公式)
1 1 1 1 例 5 化简：(x" y 2) (x 4 yj 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 （a b ）n C 0a n C ：a n B L C ：a n k b k L C ；b n , k 以上展开式共n+1项，其中C n 叫做二项式系数, （请同学完成下列二项展开式） (a b)n C 0a n C ：a n 1b 1 L ( 1)k C ：a n k b k L (1)n C ：b n , T k 1 k k n k k (1) C n a b (1 x)n C 0 C ：x L C'x k L C ；x n ① (2x 1)n C 0 (2x)n C n (2x)n1 L k n k C n (2x) L C ； 1(2x) 1 n n 1 i a n x a n 1x L a n n k k x L a 1x a 。 ② 一、指数函数运算 知识点：1整数指数幕的概念. a n a a a a(n N*) 六、二项式定理 a 0 1(a 0) 1 a n -(a 0,n N*) * a n 2 ?运算性质： a m a n a m n (m,n Z) , (a m )n a mn (m,n Z) , (ab) 3.注意 ① m a a n 可看作a m a n m ??? a n m a =a a n m n =a + ② (a )n 可看作a n b n .,a 、n J …(_) =a n n a b = n ? b b b m 4、a 下 Va m ( a >0, m n € N,且 n > 1) * n 个a n a n b n (n Z) 例题: 例1求值： 2 1 3 SoQ 3 碍八 例2用分数指数幕的形式表示下列各式: 1) a 2 二项式定理中展开式系数的六类题型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） 二项式定理六类题型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(* ∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） 二项式定理例题讲解 分 类 计 数 原 理 分 步 计 数 原理 做一件事，完成它有n 类不同的办法。第一类办 法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方 法……，第n 类办法中有mn 种方法，则完成这件 事共有：N=m1+m2+…+mn 种方法。 做一件事，完成它需要分成n 个步骤。第一步中有m1种方法， 第二步中有m2种方法……，第n 步中有mn 种方法，则完成 这件事共有：N=m1 m2 … mn 种方法。 注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。 排列 组合 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的排列。 从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的组合。 排列数 组合数 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的 排列数，记为Pnm 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记为Cnm 选排列数 全排列数 二项式定理 二项展开式的性质 (1)项数：n+1项 (2)指数：各项中的a 的指数由n 起依次减少1，直至0为止；b 的指出从0起依次增加1，直至n 为止。而每项中a 与b 的指数之和均等于n 。 (3)二项式系数： 各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和 例1．试求： （1）(x 3－ 22x )5 的展开式中x 5的系数； （2）(2x 2－x 1 )6的展开式中的常数项； （3）(x －1)9的展开式中系数最大的项； （4）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数． 解：（1）T r ＋1＝r r r r r r x C x x C 51552535)2()2() (---=- 依题意15－5r ＝5，解得r ＝2 故(－2)2r C 5＝40为所求x 5的系数 （2）T r ＋1＝r C 6(2x 2)6 － r r x )1(-＝(－1)r ·26－ r ·r r x C 3126- 依题意12－3r ＝0，解得r ＝4 故4 )1(-·222 6C ＝60为所求的常数项． （3）T r ＋1＝r )1(-r r x C -99 ∵1265 949==C C ，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1 ∴ T 5＝126x 5是所求系数最大的项 （4）T r ＋1＝r r r r r r r x C x C -- -??=1003 2 50100 3 100100 23 )2() 3(, 要使x 的系数为有理数，指数50－ 2r 与3 r 都必须是整数， 因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ）， 又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤16 3 2 （k ∈Z ） ∴x 的系数为有理数的项共有17项． 评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分． 排列组合及二项式定理概念及公式总结 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定 0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+==或 )! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且二项式定理中展开式系数的六种类型
二项式定理中展开式系数的六种类型
二项式定理公式、各种例题讲解及练习
计数原理及二项式定理概念公式总结