高中数学完整讲义——二项式定理1.二项展开式1求展开式中的指定项
1．二项式定理
⑴二项式定理
()
()011222...n
n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
011
222
...n
n n n n n
n
n
n
C a C a b C a
b C b --++++叫做()n
a b +的二项展开式，其中的系数
()
0,1,2,...,r n C r n =叫做二
项式系数，式中的r n r r
n
C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r
r n T C a b -+=．
⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式()n
a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．
②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意
①通项1r n r r
r n
T C a b -+=是()n
a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n
b a +的展开式的第1r +项r n r r
n
C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．
③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是()n
a b +这个标准形式下而言的，如()n
a b -的二项展开式的通项公式是
()11r
r n r r
r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的
二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r
r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系
知识内容
求展开式中的指定项
数是不同的概念．
⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......n
r r
n n
n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r
n
C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．
2．二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：
对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：
()
n
a b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数
()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是
()01
211,,112
n n n n n n C C C -===
?， ()()3
12123
n n n n C --=
??，．．．， ()()()
()
112...2123....1k n n n n n k C k ----+=
????-，()()()()
()12...21123...1k
n n n n n k n k C k k
---+-+=
???-，．．．，
1n n C =．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系
数最大的项必在中间．
当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n n
C ．
当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n n
n
C
C
-+=．
③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n n
n n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
024135
1......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．
【例1】 6
32x ?
?
的展开式中的第四项是 ．
【例2】 6
y x ??
的展开式中，3x 的系数等于_ ___．
【例3】 ((3
5
3
121x
x +-的展开式中x 的系数是
A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4
典例分析
【例4】 若9
a x x ?
?- ??
?的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
【例5】 5
a x x ?
?+ ??
?()x ∈R 展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于
A ．1-
B ．
1
2
C ．1
D ．2
【例6】 若2012(12)n n n x a a x a x a x -=++++L ，则2a 的值是（ ）
A ．84
B ．84-
C ．280
D ．280-
【例7】 8(2)x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）
A ．56
B ．56-
C ．28
D ．28-
【例8】 若()5
54541031x a x a x a x a +=++???++，则2a 的值为（ ）
A ．270
B ．2702x
C ． 90
D ．902x
【例9】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．
【例10】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
64(1)(1)x x +x 25
(42)x x ++x
【例11】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
【例12】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
【例13】 求展开式中含项系数．
【例14】 在的展开式中，项的系数是 ．（用数字作答）
【例15】 的展开式中的系数等于________．（用数字作答）
【例16】
展开式中的系数是_______（用数字作答）．
25
(42)x x ++2x 25
(42)x x ++3x 294
(31)(21)x x x +-+2x 26
(1)(1)(1)x x x ++++++L 2x 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-2x 29
1()2x x
-9x
【例17】 在的展开式中的系数是（ ）
A ．?14
B ．14
C ．?28
D ．28
【例18】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A ．15-
B ．85
C ．120-
D ．274
【例19】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字
作答）
【例20】 求展开式中的系数．
【例21】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．
【例22】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
8
(1)(1)x x -+5x (1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----4x 56789
(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-3x 26
(1)x x +-5x 64(1)(1)x x +x 25
(42)x x ++x
【例23】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
【例24】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
【例25】 求展开式中含项系数．
【例26】 在的展开式中，项的系数是 ．（用数字作答）
【例27】 的展开式中的系数等于________．（用数字作答）
25
(42)x x ++2x 25
(42)x x ++3x 294
(31)(21)x x x +-+2x 26
(1)(1)(1)x x x ++++++L 2x 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-2x
【例28】
展开式中的系数是_______（用数字作答）．
【例29】 在的展开式中的系数是（ ）
A ．?14
B ．14
C ．?28
D ．28
【例30】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274
【例31】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字
作答）
【例32】 求展开式中的系数．
【例33】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
29
1()2x x
-9x 8
(1)(1)x x -+5x (1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----4x 56789
(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-3x 26
(1)x x +-5x 5
21x x ?
?- ??
?4x 10-105-5
【例34】
的展开式中的系数是______，的系数为______．
【例35】 的展开中含的项的系数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【例36】 的展开式中的系数是（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ． 4
【例37】 求展开式中的系数；
【例38】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【例39】
的展开式中的系数是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
34(12)(1)x x +-x 2x 411(1)x x ??++ ??
?2
x 461012((
6
4
11x
x
+x 4-3-()()310
11x x -+5x 5
21x x ?
?- ??
?4x 10-105-56(2)x +3x 204080160
【例40】 在的展开式中，的系数为 （用数字作答）
【例41】 在的展开式中，的系数为 _____ （用数字作答）
【例42】 的二项展开式中含的项的系数为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【例43】 若的二项展开式中的系数为则 ．（用数字作答）
【例44】 设常数，展开式中的系数为
，则＝_____．
4(1)x x ((
)
3
3
33(1)11x x
x +++++x 9
1x x ??- ??
?3x 36-84-36842
61()x ax +
3x 5
,2
a =0a >24()ax x
3x 3
2
a
【例45】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 ．
【例46】 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等
．
【例47】的二项展开式的第项的系数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【例48】 若的二项展开式中的系数为则．（用数字作答）
【例49】 若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围
是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【例50】 已知，则二项式 展开式中含项的系数是 ．
26
(1)kx +k 8x k =5
(cos 1)x θ+2x 45()4
x +3x cos θ=10
x x 6210-252-210252261()x ax +
3x 5
,2
a =__________21()n x m ++2(1)(*0)n
mx n m +∈≠N ，n x m 12(]23，2
[1)3
，(0)-∞，(0)+∞，()π
sin cos a x x dx =+?
6
x x ?
?
2x
【例51】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么
．
【例52】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于，则______．
【例53】
的展开式中的系数为 ．
【例54】 若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；
【例55】 的展开式中，的系数与的系数之和等于__________．
7
(1)ax +3x 2x 4x 1a >_______a =26
(1)kx +k 8x 120k =4()y x 33x y (1)n
x +3x x 7n 10()x y -73x y 37x y
【例56】 已知为实数，展开式中的系数是，则_______．
【例57】 二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大，求第项的系数．
【例58】 求的二项展开式中含的项的二项式系数与系数．
【例59】 若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为_______．
a 10
()x a +7x 15-a =41n
x x ?
? ??
?4449
1x x ?
?- ??
?3x 12n
x x ?
?+ ??
?4x
【例60】 令为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为．
【例61】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值．
【例62】 已知，则 ．
【例63】 在展开式中，与的系数分别为，如果3a
b =，那么的值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
n a 1
()(1)n n f x x +=+1n x -1{}n
a 2009______7
(1)ax +(1)a >3x 2x 4x a ()5255
1110ax x bx a x +=++++L b =()1n
x +3x 2x a b ，
b 70605540
【例64】 若的展开式中的系数是， 则实数的值是_______．
【例65】 设常数，展开式中的系数为，则 ．
【例66】 若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【例67】 设为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为_____
【例68】 已知展开式的第二项与第三项的系数比是，则________．
5
(1)ax -3x 80-a 0a >4
2ax x ? ?
3
x 32a =12n
x x ?
?- ??
?21x 41x 5-n 46810n a 1()(1)n n f x x +=+1
n x -1n a ??????
n 12n
x x ?
?+ ??
?1:2n =
【例69】 在的展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则第项为______
【例70】 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是．
【例71】 已知展开式中最后三项的系数的和是方程的正数解，它的中
间项是，求的值．
【例72】 设数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项． ⑴用表示通项与前项和；
⑵若用表示
220
(1)x -4r 2r +4r 10
(1)x +_____lg lg 2
(21)x n x ++2lg(7272)0y y --=42
10
+x {}n a 31
1232C m m m a +-=Αq 4
2
1()4x x +
n x ，n a n n S 1212C C C n
n n n n n A S S S =+++L n x ，n A
高中数学知识点：二项分布
高中数学知识点：二项分布 导读：升上高中，你仿佛是一片小方舟进入了知识的大海洋，要学校的东西成倍的增长，让你一刻也不得松懈。然而，并不是你学习就很吸收了这些知识，因为它们内容之相似、系统之庞大、结构之复杂，让查字典数学网小编都为之汗颜。那么，小编末宝就给大家讲讲高中数学曾经的那些相似之处。 提到二项分布很多同学马上会联想到二项定理，这两者在公式上虽然有一定的相似性，但二者却是不同的两个概念。 二项分布描述的是若干次的放回抽样中求概率，其抽样中每一次抽样结果都有两个即发生或不发生，而且事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变即每次是等概率的，前一次不影响后一次的概率。 如10个小球里面有3个黑的，7个白的。从中抽取3次，有X个黑球。如果每次抽出都放回去，第二次再抽，显然每次抽到黑球概率都是3/10，这一次与其他次都互相独立，这种抽样对应的模型就是二项分布。 超几何分布 超几何分布是一种不放回抽样中求概率情形，其抽样中每一次抽样结果任然有两个即发生或不发生，但每次不是是等概率的，前一次会影响后一次的概率，一般在数目不是很大的情况下，利用二项分布和超几何分布公式计算概率会不
同，但抽取对象数目较大时，两者计算的概率会近似相等。 ★把一个分布看成二项分布或超几何分布时，期望始终是相同的，这种巧合使超几何分布的期望计算大大简化。 ★若放回或不放回较难区分时，一般可通过数量来区分，从总体中抽取或数量较多时抽取一般为二项分布。 老鼠老虎傻傻分不清楚，满卷零分失败的被俘虏，心豪赌想做就别怕苦，学不清楚迟早高考落榜。想知道更多数学资讯，尽在查字典数学网。 末宝带你游数学： 高中数学题：X1+X2+...+Xn=M的简单应用 每日一练：双曲线方程问题 高考数学题：三角函数的几个注意事项 数学高频考点：全国I卷试卷结构
高中数学专题——二项分布
二项分布 【知识网络】 1、条件概率的概念、公式、性质，并能运用它们计算事件的概率； 2、两个事件相互独立的概念，判断两个事件是否是相互独立事件； 3、理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 【典型例题】 例1：（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率 ) (B A P 等于 （ ） A 、9160 B 、21 C 、185 D 、21691 答案：A 。 解析：1515519115460()60(),()3,(|)666666216666216()91 P AB P B P AB P A B P B = +?+??==???=∴==。 （2）某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,至少有2次命中目标的概率为 ( ) A.12584 B. 12581 C. 12536 D. 12527 答案：B 。解析： 12581)53(52)53(333225= +?C C 。 （3）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是71 ，现在甲、乙两人从 袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是 （ ） A 、73 B 、356 C 、351 D 、3522 答案：D 。解析：设白球有n 个，227 1 ,3,7 n C n C = =∴P 甲= 34334321227765765435+??+???=。 （4）某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______(精确 到0.01) 。 答案：0.74。解析： 74.08.02.08.0)(5 55445≈?+??=C C A P 。 （5）在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第 一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是 。 答案：95 。解析：设“第一次摸到红球”为事件A ，“第二次摸到红球”为事件B ，则
高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析
选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内
(推荐)高一数学必修一复习资料
第一章 §1.1 集合 1. 关于集合的元素的特征 （1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流） （2）互异性 （3）无序性 集合相等：构成两个集合的元素完全一样 (1)若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记 作A=B. (2) B A A B B A =???, 例：已知A={1,1+d ，1+2d}，B={1，q ，q 2}，若A=B ，求的，d ，q 的值。 解：d=－，q=－ 2. 元素与集合的关系； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ?A 子集与真子集：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，或Q 不包含P.记作 Q P ? 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集. B A ?或A B ?. 子集与真子集的性质：传递性：若B A ?，C B ?，则C A ? 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 3. 常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 4. 集合的表示方法 （1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…； （2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{} 内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或
高中数学二项分布及其应用知识点+练习
3 2 5 --------------- \ 事件的独立性 “ ----------------- 厂 丿 r ] 厂 独立重复实验 二项分布 高考要求 二项分布及 其应用 要求层次 重难点 条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念， 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布， 并能解决一些 简单的实际问题. 事件的独立性 A n 次独立重复试验与二项 分布 B 21山迄例题精讲 板块一：条件概率 （一） 知识内容 条件概率 对于任何两个事件 A 和B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P （B|A ） ”来表示.把由事件 A 与B 的交（或积），记做D=A“B （或D 二AB ）. （二）典例分析: 【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出 2个球，在第1次摸出 红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ） D . 知识框架 二项分布及其应用
【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是土 ,刮风的概率是2,既刮风又下雨的概率是丄, 15 15 10 设A=刮风”，8=下雨”，求P(B A , P(A B). 【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率. 【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=第一次出现正面”，事件B=第二次出现反面”， 则P(B A)二_____ . 【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为_________________________ . 【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品， 任取一件产品是一等品的概率是_________ . 【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=点数不同”，8=至少有一个是6点”，求P(A|B)与P(B|A). 【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名?设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率 【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率.
高中数学教材选修2-2知识点
高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8)
高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式
常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)
慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________.
新编人教A高中数学选修2-1全册导学案
人教版高中数学选修2-1 全册导学案
目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2四种命题的关系 1.2.1充分条件 1.2.2充要条件 1.3.1逻辑联结词1 1.3.2简单的逻辑联结词2 1.4全称量词与存在量词 2.1.1曲线与方程(1)学案 2.1.2曲线与方程(2)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案 2.3.1双曲线及其标准方程学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案 2.4.2抛物线的简单几何性质（1） 2.4.2抛物线的简单几何性质（2） 2.5曲线与与方程学案 第二章圆锥曲线与方程复习学案 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法一 3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离 3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角 3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法
§1.1.1 命题及四种命题 一．自主学习 预习课本2—6页完成下列问题 1、命题：； 2、真命题：假命题：。 3、命题的数学形式：。 4、四种命题：。 （1）互逆命题：。（2）互否命题：。 （3）互为逆否命题：。 注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。 二、自主探究： 〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？ x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行； （5）215 > （7）明天下雨；（8）312 〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。 （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。 〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。 课堂小结
高一数学必修一讲义1.1集合
本讲主要学习集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有_______和_______两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。 一、重难点知识归纳 (一)元素与集合的含义 元素: 研究的对象 集合概念: 一些________组成的总体(简称集) 属于: 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作________。 (二)列举法与描述法 列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法: 用集合所含元素的_________表示集合的方法称为描述法. 在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用_________，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用_________表示。 (三)子集、真子集、空集
子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的_______元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的________，记作________,读做“A包含于B”(或“__________”). 真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的_________，记作____________ 空集:_________的集合叫做空集，记作________，并规定：空集是任何集合的___________ Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 学习这几个概念时，应注意一下几点： ①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的_________，反之则不一定。 ②若集合A与集合B中的元素是一样的，则集合A与集合B________。 ③元素与集合之间是__________关系，而集合与集合之间则是___________关系，如设A={a},B={a,b}，则有a____B，A_____B ④集合中元素的特征:_________；_________；_________ 5、如果集合A中有n个元素，则A的子集个数是__________，真子集个数是___________。 (四)并集、交集、补集
2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
1．1集__合 1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义 集合的概念 [提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工； (2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点； (3)不等式组? ???? x ＋1≥3， x 2≤9的整数解； (4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学． 问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定． 问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？ 提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念 定义 表示 元素 一般地，我们把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示 集合 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示
[化解疑难] 准确认识集合的含义 (1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的． (2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 元素的特性及集合相等 [提出问题] 问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？ 提示：相等． [导入新知] 1．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等． 2．集合元素的特性 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． [化解疑难] 对集合中元素特性的理解 (1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的． (2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素． (3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合. 元素与集合的关系及常用数集的记法[ 某中学2017年高一年级20个班构成一个集合． 问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？ 提示：是这个集合的元素．
高中数学二项分布及其应用知识点+练习
二项分布及其应用 要求层次 重难点 条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题． 事件的独立性 A n 次独立重复试验与二项 分布 B （一） 知识容 条件概率 对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）． （二）典例分析： 【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出 红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ） 知识框架 例题精讲 高考要求 条件概率 事件的独立性 独立重复实验 二项分布 二项分布及其应用 板块一：条件概率
A．3 5 B． 2 3 C． 5 9 D． 1 3 【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 4 15 ，刮风的概率是 2 15 ，既刮风又下雨的概率是 1 10 ， 设A=“刮风”，B=“下雨”，求()() P B A P A B ，． 【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率． 【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则()_____ P B A=． 【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为． 【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品， 任取一件产品是一等品的概率是_____． 【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，求(|) P A B与(|) P B A． 【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率? 【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的—数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率．
(完整word版)高中数学选修2-2知识点总结(最全版)
高中数学选修2-2知识点总结 第一章、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y = 在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() .用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()
2020高一数学必修一：必修一总复习(1对1讲义)
必修一复习一、知识结构 集合 集合表示法 集 合 的 运 算集 合 的 关 系 列举法描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子集 交 集 并 集 补 集 函数 函 数 及 其 表 示 函 数 基 本 性 质 单 调 性 与 最 值 函 数 的 概 念 函 数 的 奇 偶 性 函 数 的 表 示 法 映射 映 射 的 概 念 集合与函数概念 基本初等函数(Ⅰ) 幂函数 有理指数幂整数指数幂 无理指数幂 运算性质 定义 对数 指数 对数函数 指数函数 互为反函数 图像与性质 定义定义 图像与性质 函数的应用 函数模型及其应用 函数与方程 对数函数 指数函数 几类不同增长的函数模型 二分法 函数的零点 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型
二、考点解析 考点一：集合的定义及其关系 考点分析： 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 例1.定义集合运算：．设 ，则集合的所有元素之和为（ ） A ．0； B ．2； C ．3； D ．6 考点二、集合间的基本关系 ，（） 经典考题： 例2.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A ． B. C. D. 考点三、集合间的基本运算 考点分析 {}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==A B *A B A ?φφB φ≠B B A ?C B ?C B A =I A C B =Y
高中数学必修一第一章复习讲义
集合 21 {1,2,},x x x ∈=例已知则 {}{} 22.2 ,, A y y x B x y x A B ====?例求 {}{}2 |60,|10,,.A x x x B x mx A B A m =+-==+==例3设且求的值的集合 {}41{0,1,2,3,4},{0,1,2,3},{2,3},. (2){13},0,2,,.I A I A B C B C B A x x B x x x A B A B ====-<≤=≤≥??例（）已知，求已知或求 {}{}{}{}U U U 5 U=1,2,3,4,5,A B=2,(C A)B=4,(C A)(C B)=1,5, A.???例设若求 6 {|12},{|0} (1),(2),A x x B x x k A B k A B A k =-<≤=-≤≠?=例已知集合若求的取值范围 若求的取值范围 练习： 1.设{}{}222|40,|2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=,如果A B B ?=，求实数a 的取值范围 2.设全集为R ，集合{}{}|13,|242A x x B x x x =-≤≤=-≥- （1）求A ∪B ，C R (A ∩B)； （2）若集合{}|2x a>0C x =+,满足B C C ?=，求实数a 的取值范围. 3.集合A={1,0,x},且x 2∈A,则x ＝ 4.已知集合集合{}{}21,1,2,|,M N y y x x M =-==∈, 则M ∩N 是( ) 5.满足{1,2}?A ?{1,2,3,4}的集合A 的个数有 个 函数 一、定义域 22(1)()()log (1)(3)()f x f x x f x ==-=例1.求下列函数的定义域 0213(1)()(3)log (21)22y y x y x x =+=--=+-练习：求下列函数的定义域 例2.（1）已知函数y=f(x)的定义域是[1，3]，求f(2x-1)的定义域
高中数学选修21知识点总结
高二数学选修2－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假
高考数学最全总结高中数学选修2-1知识点总结清单
高中数学选修2-1 知识点 第一章：命题与逻辑结构 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若?p ，则?q ”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若?q ，则?p ”。 6、四种命题的真假性： 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假 四种命题的真假性之间的关系： (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关 系．7、若p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p?q，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∧q ． 当p 、q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∨q ． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p ∨q 是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作?p ． 若p 是真命题，则?p 必是假命题；若p 是假命题，则?p 必是真命题．
高中数学必修一讲义
高中数学必修一讲义 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：(&&&&&) 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系， A?（或B?Ａ） 称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．?相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) 或若集合A?B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。 ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B
高中数学课时作业：二项分布与正态分布
课时作业69 二项分布与正态分布 一、选择题 1．打靶时甲每打10次,可中靶8次；乙每打10次,可中靶7次．若两人同时射击一个目标,则它们都中靶的概率是( D ) A.35 B.34 C.1225 D.1425 解析：由题意知甲中靶的概率为45,乙中靶的概率为7 10,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P ＝45×710＝1425. 2．两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和3 4,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B ) A.12 B.512 C.14 D.16 解析：恰有一个一等品即一个是一等品,另一个不是一等品,则情形为两种,所 以P ＝23×? ????1－34＋? ?? ??1－23×34＝512. 3．(广东珠海一模)夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江,历经三千多公里的溯流搏击,回到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( C ) A ．0.05 B ．0.007 5 C.13 D.16 解析：设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟,事件B 为雌性个体成功溯流产卵繁殖,由题意可知P (A )＝0.15,P (AB )＝0.05,∴P (B |A )＝
P (AB )P (A )＝0.050.15＝1 3 .故选C. 4．甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1,σ21),N (μ2,σ2 2),其 正态分布密度曲线如图所示,则下列说法错误的是( D ) A ．甲类水果的平均质量为0.4 kg B ．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右 C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 解析：由图象可知甲的正态曲线关于直线x ＝0.4对称,乙的正态曲线关于直线x ＝0.8对称,所以μ1＝0.4,μ2＝0.8,故A 正确,C 正确．由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右,故B 正确．因为乙的正态曲线的最大值为1.99,即12πσ2 ＝1.99,所以σ2≠1.99,故D 错误,于是选D. 5．若同时抛掷两枚骰子,当至少有5点或6点出现时,就说这次试验成功,则在3次试验中至少有1次成功的概率是( C ) A.125729 B.80243 C.665729 D.100243 解析：一次试验中,至少有5点或6点出现的概率为1－? ????1－13×? ????1－13＝1－49＝5 9,设X 为3次试验中成功的次数,则X ～B ? ?? ??3，59,故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 0 3×? ????590×? ?? ??493＝665 729,故选C. 6．为向国际化大都市目标迈进,某市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相
人教A版高中数学选修2-2知识点
数学选修2-2知识点总结 导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即 0()f x '=000()()lim x f x x f x x ?→+?-? 例1． 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t(单位： s)存在函数关系 2() 4.9 6.510h t t t =-++ 运动员在t=2s 时的瞬时速度是多少？ 解：根据定义 0(2)(2)(2)lim 13.1x h x h v h x ?→+?-'===-? 即该运动员在t=2s 是13.1m/s,符号说明方向向下 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即 0000 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. () y f x =的导函数有时也记作y ',即 0()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 1.函数()y f x c ==的导数 2.函数()y f x x ==的导数 3.函数2()y f x x ==的导数