第1讲-集合的基本概念高一新教材

主题集合的基本概念

教学内容

1. 使学生初步了解“属于”关系的意义；

2. 使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义；

3. 掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。.

一、集合的概念

1、看图片

①一群大象在喝水；②一群鸟在飞翔；③一群学生在热烈欢迎来宾

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是一群大象、一群鸟、一群学生）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。

2、观察下列对象：

①1～20以内的所有质数；

②我国从1991—2003年的13年内所发射的所有人造卫星

③金星汽车厂2003年生产的所有汽车；

④2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；

⑤所有的正方形；

⑥到直线l的距离等于定长d的所有的点；

⑦方程x2+3x—2=0的所有实数根；

2)互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.

3)无序性：集合中的元素没有顺序

4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样

二、集合与元素的关系

【问题】高一（4）班里所有学生组成集合A，a是高一（4）班里的同学，b是高一（5）班的同学，a、b与A分别有什么关系？

引导学生思考上述问题，发表学生自己的看法。

得出结论：①如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A。

②如果b不是集合A的元素，就说b不属于集合A，记作b?A。

再让学生举一些例子说明这种关系。

熟记数学中一些常用的数集及其记法

符号名称含义

N非负数集或自然数集全体非负整数组成的集合

N*或N+正整数集所有正整数组成的集合

Z整数集全体整数组成的集合

Q有理数集全体有理数组成的集合

三、集合的表示方法

列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；

描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}

=满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法.

A x x p

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 下面给出的四类对象中，构成集合的是（D）

A.某班个子较高的同学

B.相当大的实数

C.我国著名数学家

D.倒数等于它本身的数

试一试：下列各项中，不可以组成集合的是（C）A．所有的正数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数

例2. 下列八个关系式 ①{0}=φ ②0∈φ ③φ?{φ} ④φ∈{φ} ⑤{0}?φ

⑥0?{{0}，φ} ⑦{φ}?{0} ⑧φ∈{0}其中正确的个数 （ A ）

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

试一试：若集合*}16|

{N x Z x S ∈-∈=，用列举法表示集合S 。

答案：S ={2，3，4，7}

这个题对于刚开始接触集合的学生来说难度较大，老师也要强调一下记住几个特殊集合的重要性。 例3. 用列举法表示下列集合：

（1）不大于10的非负偶数集；

（2）自然数中不大于10的质数集；

（3）方程 x 2+2x -15=0 的解。

（1）{0，2，4，6，8} （2）{2，3，5，7} （3）{-3，5}

例4. 用描述法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集：

（1）所有被2整除的数；

（2）坐标平面内，x 轴上的点的集合；

（1）{}2,x x k k Z =∈； （2）{}

(,)0,x y x y R =∈两个都是无限集

这里老师可以向学生简单讲解点集的表示，同时也介绍一下集合的分类：有限集，无限集，空集重点介绍空集的符号与表示，这个在下节课中也会重点讲解。 （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 用符号∈或?填空：

（1）2______N

（2）2______Q （3）0____? （4）0______{}0 （5）b ______{},,a b c

（6）0______*N 答案：∈ ? ? ∈ ∈ ?

2. 写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：

（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合

答案：{}2 （2）大于10而小于20的合数组成的集合

答案：{}12,14,15,16,18

3. 用描述法表示下列集合：

（1）被5除余1的正整数所构成的集合

答案：{}|51,x x k k =+∈N

（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合

答案：{}(,)|0,,x y xy x y >∈∈R R

（3）函数221y x x =-+的图像上所有的点

答案：(){}2,|21,,x y y x x x y =-+∈∈R R

（4）12345,,,,34567??????

答案：*,,52n x x n n n ?

?=∈≤??+??

N 4. 用列举法表示下列集合： （1）(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N 答案：()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0

（2）{}2230,x x x x --=∈R 答案：{}3,1-

（3）{}2230,x x x x -+=∈R 答案：?

（3）12,5x x x ?

?∈∈??-??N Z 答案：{}7,1,1,3,4-- 5. 设A ={x |ax +1=0}，}02|{2

=-+=x x x B ，若B A ?，求实数a 的值。

答案：由已知得：B ={1，-2} ∵ B A ?，∴ A =φ或A ={1}或A ={-2}，由A =φ得a =0；由A ={1}得a =-1；由A ={-2}得a =1/2。∴ a 的值为0或-1或1/2。

本节课主要知识点：集合的性质，集合的表示方法，元素与集合的关系 .

【巩固练习】

1. 下列关系中正确的是 ( ) B

A ．0∈{(0，1)}

B ．0∈{0，1}

C ．1∈{(0，1)}

D ．}1 0{1，

? 2. 已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素可构成△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) D A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形

3. 下列命题中正确的是 ( ) C A ．{0}是空集 B ．}N x 6|

Q x {∈∈是有限集 C ．}02x x |Q x {2=++∈是空集 D ．集合N 中最小的数是1

4. 已知A ＝{－2，－１，0，1}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }，则集合B =_________________． {0，1，2}

5. 已知A ＝{1，3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ?B ，则a 的值为__________． 2或－1

6. 已知含有三个元素的集合M ={x ，xy ，x -y }，N ={0，|x |，y }且M =N ，求x 、y 的值。

∵0∈N ，M =N ，∴0∈M ，∵集合M 为含三个元素的集合，∴x ≠xy ，∴x ≠0

∵0∈N ，y ∈N ，根据元素的互异性，∴y ≠0，因此，在集合M 中，只有x -y =0

∴x =y ，所以集合}0,,{2x x M =，集合N ={0，|x |，x }，∴||2x x =，∴x =0，x =±

1 又据元素的互异性可得x =-1，y =-1。

【预习思考】

1. 思考：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？

2. 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？

（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；

（2）设A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；

（3）设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形

（4）{2,4,6},{6,4,2}E F ==.