高中数学知识要点重温之数列综合篇

高中数学知识要点重温之数列综合篇

江苏 郑邦锁

1. 遇到数列前n 项和S n 与通项a n 的关系的咨询题应利用??

?≥-==-)

2(,)

1(,11n S S n S a n n n

使用那个结论的程序是：写出S n 的表达式，再〝后退〞一步〔降标〕得S n-1的表达式，作差；得a n 的表达式。注意：n ≥2的要求切不可疏忽！假设S n 的表达式无法写出，亦可将a n 表示成S n -S n-1，得到一个关于S n 的递推关系后，进一步求解。

[举例1] 数列{}n a 的前n 项和n S =a n +b,(a ≠0, 且a ≠1),那么数列{}n a 成等比数列的充要条件是__________

解析：降标得：1-n S =a n-1+b, (n ≥2),作差得：a n =a n

- a n-1= a n-1(a-1), (n ≥2) 再〝升标〞得：a n+1= a n (a-1)；∴

a a a n

n =+1

，(n ≥2)，∴数列{}n a 成等比数列的充要条件是： a a a =12，即?=+-a b

a a a )

1(b= –1。 [举例2]数列{}n a 中，a 1=1，S n 为数列{n a }的前n 项和，n ≥2时n a =3S n ，那么S n = 。

解析：思路一：同[举例1]得：a n –a n-1=3a n (n ≥3)?

2

1

1-=-n n a a (n ≥3) ∴数列{}n a 从第二项开始成等比数列〔注意：不是从第三项开始〕，又a 2=3〔a 1+a 2〕得a 2=2

3

-,∴n ≥2时

n a = a 2q n-2

=(23-)(21-)n-2(那个地点极容易出错)，即n a =?????≥--=-)2(,)21)(2

3()

1(,12

n n n ∴S n =31n a =???

??≥-=-)2(,)21()

1(,11n n n ，注意到n=1和n ≥2能够统一，∴S n =1)21(--n 。〔冗长烦琐，

步步荆棘！〕思路二：要求的不是n a 而是S n ，能够考虑在n a =3S n 中用S n -S n-1代换n a 〔表达

的是〝消元〞的思想，思路一是加减消元，消去S n ；思路二是代入消元，消去n a 〕得：S n -S n-1=3S n ， 〔n ≥2〕，即

211-=-n n S S ，〔n ≥2〕，又S 1=1，∴S n =1

)2

1(--n 。 [巩固1]数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满足：

)(,311*+∈+==N n b a b b n n n . 〔Ⅰ〕证明数列{a n }为等比数列；〔Ⅱ〕求数列{b n }的前n 项和T n 。

[巩固2]等差数列{}n a 的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分不为等比数列}{n b 的第二项、第三项、第四项 （1） 求数列{}n a 与}{n b 的通项公式； （2） 设数列}{n c 对任意整数n 都有122

11+=+++n n

n a b c b c b c 成立, 求c 1+c 2+…+c 2007的值.

2.形如：n n a a =+1+)(n f 的递推数列，求通项时先〝移项〞得n n a a -+1=)(n f 后，再用叠加〔消项〕法；形如：

)(1

n g a a n

n =+的递推数列，求通项用连乘〔约项〕法；形如：a n+1= q a n +p (a 1=a ，p 、q 为常数)的递推数列求通项公式能够逐项递推出通项〔在递推的过程中把握规律〕或用待定系数法构造等比数列〔公比为q 〕；形如：1

1+=+n n

n da a a 〔d 为常数〕

的递推数列求通项，先〝取倒数〞，可得数列{

n

a 1

}是等差数列〔公差为d 〕。 [举例]①数列{a n }满足a 1=1,a n+1=a n +2n

-1,那么a 10 ；

解析：a n+1-a n =2n

-1，分不取n=1，2，…9，叠加得：a 10-a 1=〔2+22

+…+29

〕-9=210

-11

? a 10=210-10.

②假设数列{a n }满足a 1=3

1，112---=n n n a a a 〔n ≥2〕, 那么a n = ；

解析：〝取倒数〞得：1211-=-n n a a 〔n ≥2〕，记数列{n a 1+λ}为等比数列，且公比为2， 〔λ为常数〕，那么n a 1+λ=2〔11-n a +λ〕?λ+=-121n n a a 〔n ≥2〕，可见λ=-1，而1

1

a -1=2

∴n a 1-1=2n , n a 1=2n +1, a n =1

21+n 。注：〔ⅰ〕λ有时能够看、猜、试出来，未必非要〝待定系数〞。〔ⅱ〕数列{n a 1+λ}为等比数列，其首项是1

1a +λ而不是a 1，同样，通项是n a 1

+λ

而不是a n ，这是专门容易出错的一个地点。〔ⅲ〕假设递推关系变为a n+1= qa n +p n

,那么λ也

相应变为λp n

，其他做法不变。

③数列{a n }满足：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =a n+1且a 2=2， 那么a n 。 解析：〝降标〞得a 1+2a 2+3a 3+…+〔n-1〕a n-1=a n ，〔n ≥2〕 作差得(n+1)a n =a n+1〔n ≥2〕?

11

+=+n a a n

n 〔n ≥2〕分不取n=2，3，…，n-1, 连乘得： n a a n ???= 432，又a 2=2得a n =n! 〔n ≥2〕而a 1=a 2,∴a n =?

??≥=)2(,!)1(,2n n n 。 [提高]某顾客购买一件售价为1万元的商品，拟采纳分期付款的方式在一年内分12次等额付清，即在购买后1个月第一次付款，以后每月付款一次，假设商场按0.8%的月利率受取利息(计复利),那么该顾客每月付款的数额为______

3. 应把握数列求和的常用方法：应用公式〔必须要记住几个常见数列的前n 项和〕、折项分组〔几个数列的和、差〕、裂项相消〔〝裂〞成某个数列的相邻两项差后叠加〕、错位相减

R n =1×22+2×23+3×24

+…+ n ×1

2+n -〕2R n = 1×23+2×24+…+〔n-1〕×12+n + n ×2

2+n - R n =1×22+1×23+1×24+…+ 1×12+n - n ×2

2+n 〔适用于一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的数列〕、倒序相加等，要依照不同数列的特点合理选择求和方法〔其中最重要、最常见的是裂项〕。 [举例]①数列{}n a 中，假设1

,111+=

=+n n

n a a a a ，数列}{n b 满足1+=n n n a a b ，那么数列}{n b 的前n 项和为 。

解析：求n a 的过程请读者自己完成。 n

a n 1

=?n b =

111)1(1+-=+n n n n ， ∴数列}{n b 的前n 项和为：

1

+n n

。一样地：通项为分式的数列求和多用〝裂项〞，〝裂项〞是〝通分〞的逆运算，能够先〝裂开〞再回头通分〝凑〞系数。

②n a =n

2，S n 为数列{n a }的前n 项和，n b =nS n ，求数列{n b }的前n 项和T n ； 解析：S n =12

+n -2?n b =n ×1

2

+n -2n, T n =1×22

+2×23

+3×24

+…+ n ×1

2

+n -2〔1+2+3+…+n 〕

(视数列{n b }的前n 项和为两个数列的前n 项和的差，此即〝分组求和〞)记： R n =1×22

+2×23

+3×24

+…+ n ×12+n ，求R n 用〝错位相减〞法：

- R n =2n+2-4-n ×2n+2=-(n-1) 2n+2-4,∴R n =(n-1) 2n+2+4? T n =(n-1) 2n+2+4-n(n+1)。 注：〝错位相减〞法在中学数学中除推倒等比数列的求和公式外就仅此一用。〝相减〞后的n+1项中，〝掐头去尾〞中间的n-1项成等比数列。

③n

n n n n n n nC C n C C C +-++++-1321)1(32 =

解析：S=n n n n n n n nC C n C C C +-++++-1321)1(32 =1

2102)1(--+++-+n n n n n n C C C n nC 用〝倒序相加〞：得2S=n n n n n n n nC nC nC nC nC +++++-1210 =n2n

, ∴S=n2n-1

。

[巩固]设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项之和为n S ，331S 与44

1

S 的等比中项为

551S ，且331S 与44

1

S 的等差中项为1。(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)假设数列{}n b 的前项之和为n T ，其中1

1

+=

n n n a a b ，咨询是否存在实数M ，使得M T n ≤对任意正整数n 都成立？假设存在，试求出实数M 的范畴；假设不存在，试讲明理由。 4.与数列相关的不等式咨询题多用〝放缩法〞或数列的单调性解决。

[举例1]在数列{}n a 中，21=a ，1

21+=

+n n

n a a a ， 〔Ⅰ〕证明数列{

n

a 1

-1}是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕求证：

3)1(1

<-∑=i

i n

i a

a

解析：〔Ⅰ〕留给读者自己完成〔参看第2条[举例]②〕，1

22-=n n

n a ；〔Ⅱ〕

1

21

121)12)(12(2)22)(12(2)12(2)1(1112--

-=--=--<-=----i i i i i i i i i i i i a a 〔i ≥2〕 ∴

)1(1

-∑=i i n i a a =2+)1(2

-∑=i i n

i a a <2+1-1

21

-n

<3. [巩固] 在数列{}n a 的前n 和为S n ,且对一切正整数n 都有S n =n 2+2

1a n , 〔Ⅰ〕求证：a n+1+ a n =4n+2; 〔Ⅱ〕求数列{}n a 的通项公式；

〔Ⅲ〕是否存在实数a ，使不等式1

223

2)11()11)(11(221+-<

---n a a a a a n 对一切正整数n 都成立？假设存在，求出a 的取值范畴；假设不存在，请讲明理由。

5．在解以数列为数学模型的应用题时，要选择好研究对象，即选择好以〝哪一个量〞作为数列的〝项〞，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的咨询题可直截了当查找〝项〞与〝项数〞的关系，对较复杂的咨询题可先研究前后项之间的关系〔即数列的递推关系〕，然后再求通项。

[举例] 从盛满729升纯酒精的容器里倒出a 升，然后用水填满，再倒出a 升混合溶液，用

水填满，如此连续进行，一共倒了6次，这时容器里还含有64升纯酒精，那么a 的值为 .

解析：记：倒了n 次后容器里还含有a n 升纯酒精,那么7291n n n a a a -=+a ?n n a a 1+=729

729a

-，

数列{}n a 为等比数列，公比为

729729a - ，a 1=729-a ,∴5

6)729

729)(

729(a a a --= ?64×7295=(729-a )6, ?2×35=729-a ? a=343。

[巩固]在占地3250亩的荒山上建筑森林公园,2000年春季植树100亩,以后每年春季植树面

积都比上一年多植树50亩,直到荒山全部绿化为止. (1) 到哪一年春季才能将荒山全部绿化完?

(2) 假如新植树木的每亩木材量为2m 3

,树木每年自然增长率为20%,到全部绿化完的那年春

季,该森林公园的木材总量是多少?(精确到1m 3,1.29

≈1.56)

简答

1. [巩固1]b n =2n-1+2,T n =2n +2n-1,[巩固2] (1)a n =2n-1,b n =3n-1,(2)32007,

2. [提高]记每次还款x 万元，那么第一次还款后尚欠商场1.008-x 万元, 第二次还款后尚欠商场(1.008-x)1.008-x=1.0082-1.008x-x 万元,…, 第12次还款后尚欠商场1.00812-1.00811x-1.00810x-…-1.008x-x=0,得x=

1

008.1)008.01(008.012

12-+, 3. [巩固]a n =532

512+-n ,对数列{b n }〝裂项〞求得n T =20

125

41(125-+

-

n 〕 〔n T 〕max =1T =325∴M ≥32

5

；4.，[巩固] 〔Ⅱ〕a n =2n ，

〔Ⅲ〕记)(n f =a

a n a a a n 23

212)11()11)(11(221-<

+--- 去证)(n f 递增，a

a 2322->()(n f )max =)1(f =23得a>3或-23

5. [巩固](1)2018年，〔2〕第n 年〔2000年为第一年〕该森林木材总量T n =

200×1.29+300×1.28+400×1.27

+…+1000×1.2+1100，错位相减得T n =100〔42×1.29-85〕≈13172.