第13讲：充分、必要条件与子集推出关系

第十三讲：充分、必要条件与子集推出关系

【复习要求】

1．理解命题的概念。

2．理解四种命题之间的内在联系；

3．掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义及判定；

【复习重点】

1. 充分条件、必要条件的概念。

2. 子集与推出关系等价性的理解与应用；

3. 掌握判断命题推出关系的方法。

【复习难点】

1. 判断命题的充分条件、必要条件。

2. 子集与推出关系等价性的证明；

3. 确定参数范围和判断推出关系。

【知识梳理】

一、充分条件与必要条件

我们在上一节课学习了命题与推出的关系，命题的四种形式，等价命题，你能分别概括出它们的内容和性质吗？

如：写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？ （1）若2

2

x a b >+，则2x ab >, （2）若0ab =，则0a =. 易得出结论；命题(1)为真命题，命题(2)为假命题．

讨论：对于命题“若p ，则q ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？ 我们将由此推出关系，引入新的概念：

给出定义：命题“若p ，则q ” 为真命题，是指由p 经过推理能推出q ，也就是说，如果p 成立，那么q 一定成立．

换句话说，只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，这时我们称条件p 是q 成立的充分条件．

一般地，“若p ，则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ．这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ?q ． 1、充分与必要条件的概念：

（1）充分条件：若αβ?，则α是β的充分条件； （2）必要条件：若βα?，则α是β的必要条件；

（3）充要条件：若既有αβ?，又有βα?，则α是β的充分必要条件，简称充要条件，

β也是α的充要条件。

2、推出关系具有传递性：若αβ?，βγ?，则αγ?，若αβ?，βα?，则αβ?，称α与β等价。

3、充要条件的证明：

证明过程必须是“双向”的，即：既要由条件推出结论（充分性），又要由结论推出条件（必要性）。

4、四种命题形式

如果原命题或原命题的逆否命题成立，则原命题的条件是结论成立的充分条件； 如果原命题的否命题或逆命题成立，则原命题的条件是结论成立的必要条件； 如果四种命题形式都成立，那么原命题的条件是结论成立的充要条件；

若四种命题形式都不成立，那么原命题的条件是结论成立的既不充分也不必要条件。

二、子集与推出关系 思考：

问题1：用“?”，“?”，“?”，“?”填空：

A =｛x ︱1x >｝；

B =｛x ︱3x >｝ 命题α：1x >；命题β：3x >

A ?

B ；命题α ? 命题β

提问：通过以上例题，对集合间关系和推出关系你能得出什么结论？ 问题2:

命题α: 2

1x =是命题β:(1)(1)(2)0x x x -+-=的 充分不必要 条件 命题α: 2

1x =是命题β: 1x =-的 必要不充分 条件 问题3：请写出:3x β>的一个充分条件α:

请写出:3x β>的一个必要条件γ:

提问：你是如何找到这个条件的？

（学生容易得出“小范围的能推出大范围的”这一直观朴素的结论，这种口语化的表述还需进一步用准确的数学语言来表达，引导学生用集合间的 “包含”或“包含于”的关系来刻画“范围”的大小关系）

从上面的例子我们发现:5x α>是:3x β>的充分条件，即αβ?，如果将满足5x >的元素组成集合A ，即{5}A x x =>,将满足3x >的元素组成集合B ，即{3}B x x =>,可以得到：

如果A B ?，那么αβ?，反之亦然。所以子集和推出关系之间有着必然的联系，这就是本节课研究的子集与推出关系。 4、子集与推出关系：

设{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质，则 A B ? 与 αβ? 等价。 5、子集与推出关系的各种表述形式：

已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质 ①若,B A ?则α是β的充分条件； ②若,A B ü则α是β的充分不必要条件； ③若,B A ?则α是β的必要条件； ④若,A B Y则α是β的必要不充分条件； ⑤若A B =，则α是β的充要条件；

⑥若A B B A ??,则α是β的既不充分也不必要条件；

6、推出关系具有传递性：若αβ?，βγ?，则αγ?，若αβ?，βα?，则αβ?，称α与β等价。

设{}|A a a α=具有性质，{}

|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示：

例1、若命题p 的否命题是q ，命题q 的逆命题是r ，则r 是p 的逆命题的（ D ）

A 原命题

B 逆否命题

C 逆命题

D 否命题

例2、已知p ：12,x x 是方程2560x x +-=的两根，q ：125x x +=-，则p 是q 的（ A ）

A ．充分但不必要条件

B ．必要但不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

例3、判断下列各命题中p 是q 成立的什么条件：

（1）p ：2>x ；q ：2≥x ； （2）p ：2

1x =；q ：1x = （3）:1p x ≠或2y ≠；:3q x y +≠；

（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，p ：x A x B ∈∈或 ，q ：x A B ∈? （5）已知{1,2,3,4,5,6}A =，:p x A ∈；:6q x A -∈。

（6）已知,x y R ∈，2

2

:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=

解：(1)设{}2>=x x A ，{}

2≥=x x B ， ∵ A ?B, ∴p 是q 的充分非必要条件。

（2）设{}

12

==x x A ，{}

1==x x B ，∵{

}1,1-=A ,{}1=B ，A ?B, ∴ p 是q 的必要非充分条件。（3）必要非充分条件； （4）p 是q 的必要不充分条件

（5）既不充分也不必要条件

（6）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠

?，

所以，p 是q 的充分非必要条件．

例4、已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什么条件？

分析 画出关系图1－21，观察求解． 解 s 是q 的充要条件；(s r q ，q s)

r 是q 的充要条件；(r q ，q s

r) p 是q 的必要条件；(q

s

r

p)

例5、求证：关于x 的方程2

0ax bx c ++=有一个根为1的充要条件是0a b c ++= 证明略

例6、设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈，α是β的充分条件，求m 的范围。 解：设{}|13A x x =≤≤，{}|124B x m x m =+≤≤+ 因为α是β的充分条件，即αβ?，所以A B ? 由右图可得11324

m m +≤??

≤+?，解得1

02m -≤≤

所以m 的取值范围是1

02

m -≤≤。 变式练习：

设:23,:11,x x m x m m R αβ≤<≤->+∈或，α是β的充分条件，求m 的范围。 解：设{}|23A x x =≤<，{}|11,B x x m x m m R =≤->+∈或

α是β的充分条件，即αβ?，A B ∴?

画数轴分析可得13m -≥或12m +<，解得4m ≥或1m < 所以m 的取值范围是4m ≥或1m <。

例7、试用子集与推出关系判断α是β（甲是乙）的什么条件： （1）α：2>x ；β：2≥x （2）α：2

1x =；β：1x =

（3）甲：2

2

0x y +=，乙：0,0x y ==

11324m m x ++

（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，甲：x A x B ∈∈或 ，乙：x A B ∈? 解：(1)设{}2>=x x A ，{}

2≥=x x B ， ∵ A ?B, ∴ α是β的充分非必要条件。 (2) 设{}12==x x A ，{}

1==x x B ，

∵{

}1,1-=A ,{}1=B ，A ?B, ∴ α是β的必要非充分条件。 （3）甲是乙的充分必要条件 （4）甲是乙的必要不充分条件

例8、利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件。 写出31x -<<的充分条件 写出31x -<<的必要条件 写出31x -<<的充要条件 解：答案不唯一

例9、判断集合{}

*,5N k k n n A ∈==，{}

5,n Z B n n =∈的个位数是之间的关系。 解：设*

,5:N k k n ∈=α，: 5 n β是个位数是的整数，

αβ?Θ，∴B A ?。

例10、设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤ ，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ B ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 例11、“22x -<<”是“2

60x x --<”的（ A ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

例12、若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______ 条件。

解：设命题α对应的集合为A ，命题β对应的集合为B ，命题γ对应的集合为C

α是β的充要条件，A B ∴=

又β是γ的必要非充分条件，C B ∴?

C A ∴?，γα?，所以γ是α的充分非必要条件。

A=B C

例13、设A 、B 、C 三个集合，A B 是A

(B ∪C)的[ A ]

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．

∴A

(B ∪C)．

但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A

(B ∪C)，但A

B 不成立， 综上所述：“A B”“A (B ∪C)”，而

“A (B ∪C)”“A

B”．

即“A

B”是“A

(B ∪C)”的充分条件(不必要)．

【课后作业】充分与必要条件

A 组

1．1"=x 或"2=x 的一个充分非必要条件是（ B ）

（A ）1-=x （B ）1=x （C ）12

=x （D ）()()021=--x x

2．若条件p:53x -≤≤，条件2

:56q x x <-，则q 是p 的 （ A ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

3．设则或或,12:,11:>-<>-

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4. 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的（ B ）

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 5. 试说明α是β的什么条件。

（1）:1x α=且2y = ； :3x y β+= （2）:0a b α+> ；

:0,0a b β>>

（3）:0xy α> ；

:x y x y β+=+

解：（1）充分非必要条件；（2）必要非充分条件；（3）充分非必要条件

6． 设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围。 解：4m ≥

7．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2

230x x -->的充分条件？ （2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2

230x x -->的必要条件？

解：欲使得20x m +<是2

230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12

m

x x x x <-

?<-或3}x >，则只要12

m

-≤-即2m ≥， 故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2

230x x -->的充分条件．

（2）欲使20x m +<是2

230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12

m

x x x x <-

?<-或3}x >，则这是不可能的，故不存在实数m 时，使20x m +<是2

230x x -->的必要条件．

8. 已知0,ab ≠求证：3322

1

0a b a b ab a b +=++--=的充要条件是 必要性：1,1a b b a +==-Q 即，3322

a b ab a b ∴++-- =3

3

2

2

(1)(1)(1)a a a a a a +-+----

323222

133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=

充分性：3322

0a b ab a b ++--=Q ，即()

2222()()0a b a ab b a ab b +-+--+=

2

2

(1)()0a b a ab b ∴+--+=得10a b +-=或22

a a

b b -+=0

0,0,0ab a b ≠≠≠Q 即 2

22

2

3024b b a ab b a ?

?∴-+=-+≠ ??

?

只有10a b +-=，既有1a b +=

综上所述 3322

1

0a b a b ab a b +=++--=的充要条件是 9. 已知命题α：24x << 命题β：31m x m -≤≤-，且α是β的充分条件，求实数m 的取值范围。

解： 3m-1≤2 -m>4 3m-1<-m

m ≤1 m<-4 m<12

综上所述：m ≤-4 10. 求证：x y >，0xy >是

11

x y

<的什么条件？ 解：1）将充要条件和不等式同解变形相联系2）可用分类讨论求解，注意不重不漏。 可得为充分条件，证明略

11. 设m ＞0，且为常数，已知条件p ：22m x m -+<<+，条件q ：3＜x ＜5或－5＜x ＜－3，若q 是p 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围.

解：设集合A ＝{x |2－m ＜x ＜2＋m }，B ＝{x |3＜x ＜5或－5＜x ＜－3}. 由题设有p ?q 且q 不能推出p ，所以A ?B . 因为m ＞0，所以(2－m ，2＋m )?(3，5)，

故由2＋m ≤5且2－m ≥3?0＜m ≤5－2，故实数m 的取值范围为(0，5－2].

B 组

1. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假，则p 是q 的（ A ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件

2. “,,0a b c 三个数中有且只有一个为”的否定是（ D ） A. ,,0a b c 三个数全为 B. ,,0a b c 三个数中有两个为

C. ,,0a b c 三个数没有一个为

D. ,,00a b c 三个数至少有两个为，或没有一个为 3. 命题P“如果1,1x x ≥>那么”的否命题是（ C ） A. 1,1x x >≥如果那么 B. 1,1x x ≤<如果那么 C. 1,1x x <≤如果那么 D. 1,1x x ≥≤如果那么 4. 下列各组的两个命题互为等价命题的是（ A ）

A. A B A B B ??=与

B. a A a A B ∈∈?与

C. a A B a B ∈?∈与

D. a A B a A B ∈?∈?与 5. 设,A B 是两个集合，下列四个命题：

①B ,A x A x B ?∈?不包含于对任意有 ②B A A B ??=?不包含于 ③B A A ?不包含于不包含B ④B ,A x A x B ?∈?不包含于存在 其中真命题的序号是_____________； ③④ 解：①反例：{}{}1,2,3,2,3,4A B ==

6. 条件甲：()2

00ax bx c a ++=≠的两根，10x >，20x >，条件乙：0b a -

> 且0c

a

>，

则甲是乙的（ A ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

7. 0x ≥是2x x ≤的___必要不充分________条件．

8. 已知:210p x -≤≤，()2

2

:2100q x x m m -+->≤，若q 是p 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．

解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤． 由210x -≤≤，

由q 是p 的必要而不充分条件知

01203110.m m m m >??

--?

≥≤≤，，

故m 的取值范围为03m <≤．

9. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤，{}

23B y y x x A ==+∈，，

{}

2C z z x x A ==∈，，求使C B ?的充要条件．

答案：

1

32

a ≤≤． 10. 求方程2210ax x -+=有实根的充要条件． 答案：1a ≤．

11. 已知关于x 的一元二次方程：2

2

2

(1)440,(2)44450mx x x mx m m -+=-+--= 求方程（1）和（2）都有整数解的充要条件。（m Z ∈） 解：（1）有解，则1m ≤，（2）有解，则5

4

m ≥-，又m Z ∈，1,0,1m =- 检验后：1m =

12、已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1+m ，若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。 解：9m ≥

【课后作业】子集推出关系

A 组

1．若非空集合M N ?，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈?”的 条件． 必要非充分

2. 一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ A ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

3. 如果,,a b c 都是实数，那么p ：0ac < ，是q ：关于x 的方程2

0ax bx c ++=有一个正根和一个负根的（ C ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 4. p 是q 的充要条件的是：（ C ）

A ．p ：1a > ，q ：二元一次方程组1

1x y ax y +=??+=?

有唯一解

B. p ：两条对角线互相垂直平分 ，q ：四边形是正方形 C ．p ：325x +> ，q ：325x --<-

D. p ：两个三角形相似 ，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比

5. 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 （ ）

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 分析 通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ． 解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ①

∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ?

由①③得A

C ④ 由②④得A

D ．

∴D 是A 成立的必要条件．选B ．

6. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ B ） Ａ．1

32

x -<< Ｂ．142x -

<< Ｃ．1

32

x -<< Ｄ．12x -<<

7. （1）“()2

00ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；

（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________． 答案：（1）必要不充分条件， （2）充分不必要条件

8. 已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ?是E 的充分条件，D 是C 是必要条