华师大版二次函数教案
华师大版二次函数教案 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8
第二十六章 二次函数
[本章知识要点]
1．探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．
3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．
26．1 二次函数
[本课知识要点]
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
[MM 及创新思维]
（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数为什么如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]
例1． m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数
分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：
02≠-m m ．
解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ．
因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．
解 （1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；
（2）由题意，得 )0(42
>=x x y π
，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000?+=x y （x ≥0且是正整数）， 其中y 是x 的一次函数；
（4）由题意，得 )260(132
1
)26(212<<+-=-=x x x x x S ，其中S 是x 的二
次函数．
例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．
解 （1）)215
0(4225415222<<-=-=x x x S ；
（2）当x=3cm 时，189342252=?-=S （cm 2）． [当堂课内练习]
1．下列函数中，哪些是二次函数 （1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y （3）x
x y 12+
= （4）322-+=x x y
2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k
k x k y 为二次函数
3．已知正方形的面积为)(2cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． [本课课外作业]
A 组
1．已知函数7
2
)3(--=m
x m y 是二次函数，求m 的值．
2．已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．
3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱的底面半径x 为3，求此时的y ．
4．用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗请写出半径r 的取值范围．
B 组
5．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ）
A ．22)1(x m y -=
B ．22)1(x m y +=
C ．22)1(x m y +=
D ．22)1(x m y -=
6．下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）模型的是 （ ）
A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关
系（不计空气阻力）
D ．圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]
26．2 二次函数的图象与性质（1）
[本课知识要点]
会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]
我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数x
y 3
=的图象分别是 、
，那么二次函数2x y =的图象是什么呢 （1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值以什么数为中心当x 取互为相反数的值时，y 的
值如何
（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论 [实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点有何不同点
（1）22x y =
（2）22x y -=
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =
…
18
8
2
2
8
18
…
22x y -= …
-18 -8 -2 0 -2 -8 -18
… 图26．2．1．
共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，
曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．
22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，
曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
例2．已知4
2)2(-++=k k x
k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
解 （1）由题意，得???>+=-+0
22
42k k k ， 解得k=2．
（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴． 例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．
分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内．
解 （1）由题意，得)0(16
1
2>=C C S ．
C 2 4 6 8 … 2161C S = 41 1 4
9
4 …
（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ．
（3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2．
回顾与反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）23x y = （2）23x y -= （3）23
1
x y =
2．（1）函数23
2
x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标
是 ；
（2）函数24
1
x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标
是 ．
3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图． [本课课外作业]
A 组
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
（1）24x y -= （2）24
1
x y =
2．填空：
（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线m
m x m y --=2)1(开口向下．
（3）已知函数1
222
)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x
时，y 随x 的增大而增大． 3．已知抛物线10
2
-+=k k
kx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．
4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．
B 组
5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3． 6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．
7．一个函数的图象是以原点为顶点，
y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）．
（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；
（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]
26．2 二次函数的图象与性质（2）
[本课知识要点]
会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]
同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗 ，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗 ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系
． [实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象．
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．
回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 222+=x y
…
20
10
4
2
4
10
20
…
探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的又有哪些不同你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗 例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ．
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．
可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的．
回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．
探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移
例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与2
2
1x y =
相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2），
因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，2112-?=a ， 解得3=a ． 故所求函数关系式为232-=x y ．
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 12+-=x y … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … 12--=x y
…
-10
-5
-2
-1
-2
-5
-10
…
回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、
1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
221x y =， 2212+=x y ， 22
1
2-=x y ．
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位
置．你能说出抛物线k x y +=22
1
的开口方向及对称轴、顶点的位置吗
2．抛物线94
1
2-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标
是 ，它可以看作是由抛物线241
x y =向 平移 个单位得到的．
3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． [本课课外作业]
A 组
1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 23
1
2-=x y ．
（1）分别画出它们的图象；
（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）试说出函数53
1
2+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
2．不画图象，说出函数34
1
2+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明
它是由函数241
x y -=通过怎样的平移得到的．
3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值是多少
B 组
4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )
5．已知二次函数
7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴写出其函数关系式． [本课学习体会]
26．2 二次函数的图象与性质（3）
[本课知识要点]
会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]
我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下
平移所得，那么函数2)2(21-=
x y 的图象，是否也可以由函数22
1
x y =平移而得呢画图试一试，你能从中发现什么规律吗 [实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21
-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和
顶点坐标． 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．
x … -3 -2 -1
0 1 2 3 …
221x y = (29)
2 21 0 21 2 2
9 …
2)2(21+=x y …
21 0 2
1 2 225 8 225
… 2)2(21-=x y … 225 8 29
2
21 0 2
1 …
它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是
（0，0），（-2，0），（2，0）．
回顾与反思 对于抛物线2)2(2
1
+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大
而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(2
1
-=x y 分别是由抛物线221x y =向
左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(2
1
-=x y ，应将抛物线
221
x y =作怎样的平移
例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗 解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）．
因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的．
回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称
[当堂课内练习]
1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和
顶点坐标．
[本课课外作业]
A 组
1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(2
1
--=x y ．
（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．
2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线2
2
1
x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(2
1
--=x y
3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．
B 组
5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点
（1，3），求a 的值． [本课学习体会]
26．2 二次函数的图象与性质（4）
[本课知识要点]
1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；
2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[MM 及创新思维]
由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(21
2--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和
顶点坐标．
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图
26．2．6所示．
它们的开口方向都向 ，对称轴
分别
为 、 、 ，顶点坐标分别
为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方2)(h x a y -=+k 开口方向
对称轴
顶点坐标
0>a
0 例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值． 分析 抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值． 解 c bx x y ++=2 c b b bx x +-++=44222 4 )2(2 2b c b x -++=． 22 1x y = (2) 9 2 2 1 0 2 1 2 2 9 … 2)1(2 1 -= x y … 8 2 9 2 2 1 0 2 1 2 … 2)1(2 1 2--= x y … 6 2 5 0 2 3- -2 2 3- 0 … 向上平移2个单位，得到24)2(2 2+- ++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24 )42(22 +- +++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24 ,42(2 +- --b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则 ??? ????=+-=--024042 2 b c b 解得 ???=-=14 8 c b 探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试． [当堂课内练习] 1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线22 3 x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物 线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线22 1 x y -=向 平移 个单位，再 向 平移 个单位而得到． [本课课外作业] A 组 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴 和顶点坐标． 2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式． 3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线322 1 2++-=x x y B 组 4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有 （ ） A ．b =3，c=7 B ．b= -9，c= -15 C ．b=3，c=3 D ．b= -9，c=21 5．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值． 6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（5） [本课知识要点] 1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标； 2．会利用对称性画出二次函数的图象． [MM 及创新思维] 我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗 [实践与探索] 例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图． 解 6422++-=x x y [ ] 8 )1(26 1)1(26)112(26)2(222 22+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）． x … -2 -1 0 1 2 3 4 … 6422++-=x x y … -10 0 6 8 6 0 -10 … 回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，． （2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点． 探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ． 例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值． 分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0． 解 9)2(2 ++-=x a x y 4 )2(9)22(2 2+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是?? ????+-+4)2(9,222a a ． 当顶点在x 轴上时，有 02 2 =+- a ， 解得 2-=a ． 当顶点在y 轴上时，有 04 )2(92 =+- a ， 解得 4=a 或8-=a ． 所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8． [当堂课内练习] 1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ． （2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小． （3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ． 2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,3 1 (-，则a 、c 的值是多少 [本课课外作业] A 组 1．已知抛物线2 5 3212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的 图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）162++-=x x y （2）4322+-=x x y （3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=2 3．已知6 22 )2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大． （1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．