狄利克雷和黎曼函数的可积性的证明与推广Dirichlet and Riemann
狄利克雷定理的证明
狄利克雷定理的证明https://www.360docs.net/doc/3b16652925.html,work Information Technology Company.2020YEAR
为证明定理本身，我先证明几个引理。 引理1(Bessel 不等式)：若函数()f x 在[,]ππ-上可积，则有 2222011 ()()2n n n a a b f x dx π π π∞=-++≤∑? 证明：设201 ()(cos sin )2m m n n n a S x a nx b nx == ++∑ 显然：2 2 2[()()]()2()()()m m m f x S x dx f x dx f x S x dx S x dx π π π π π ππ π-- -- -= -+ ???? (*) 其中， 1 ()()()(()cos ()sin )2 m m n n n a f x S x dx f x dx a f x nxdx b f x nxdx π π ππ π πππ=- - - - =++∑???? 由傅立叶级数系数公式可以知道： 2 2201 ()()()2 m m n n n f x S x dx a a b π ππ π=- = ++∑? 2 2 2 222 0011()[(cos sin )]()22m m m n n n n n n a S x dx a nx b nx dx a a b π π ππ ππ==--=++=++∑∑?? 以上各式代入(*)式，可以得到： 2 2 2 2201 0[()()]()()2 m m n n n f x S x dx f x dx a a b π π π π π π=--≤ -= - -+∑?? 另 2 2 2 201()()2m n n n a a b f x dx π π π π=-++≤ ∑? 这个结果对于m N ?∈均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据 此可知“2 2201 ()2m n n n a a b ππ=++∑”这个级数的部分和有界，则引理1成立。 引理2：若函数()f x 是2T π=的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级 数部分和()m S x 可改写为：1 sin()12()() 2sin 2 m m u S x f x u du u ππ π-+=+? 证明：设201 ()(cos sin )2m m n n n a S x a nx b nx == ++∑ 111()[(()cos )cos (()sin )sin ]2m n f x dx f x nxdx nx f x nxdx nx ππππππ ππ=---=++∑??? 111 sin()1 1111 2()[cos ()]()[cos ]() 222sin 2 x m m n n x m u f u n u x du f x t nt dt f x u du u π ππ π ππ π ππ-==----+=+-=++=+∑∑? ??我在下边给出一个比楼主强的结论！ 收敛定理：设()f x 是[,]a b 的按段光滑函数,如果它满足:
海涅定理在函数极限证明中的应用
海涅定理在函数极限证明中的应用 摘要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义。本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。 关键词：海涅定理；函数极限；数列极限 Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical analysis. Study on the method proving existence of function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existence of function limit, but also deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit. Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit 数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理。 海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的。因此，数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。 近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献[1-6]。还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献[7-10]。根据文献[6，8,10] 对海涅定理进行归类整理的。
黎曼假设
黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于素数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。 方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard，1826-1866,德国数学家)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。 几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就 没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德 证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明。1730年，欧拉在研究调和级数： Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(1) 时，发现： Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)...... =Π(1-1/p)^-1。(2) 其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确： Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3) 证明了上式，即证明了黎曼猜想。 在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。
费尔马大定理及其证明
费尔马大定理及其证明 近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。 300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。 费尔马大定理的由来 故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。 1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x^2＋ y^2 ＝z^2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如x^n+y^n=z^n的方程，当n大于2时没有正整数解。 费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。
14第十四讲 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
数学分析第十二章数项级数 阿贝尔判别法狄利克雷判别法 第十四讲
数学分析第十二章数项级数 引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换） 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法. =,(1,2,,),,i i v i n ε 设两组实数若令 =+++=12(1,2,,), k k v v v k n σ 121232111 ()()().(18) n i i n n n n n i v εεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑则有如下分部求和公式成立: 证-==-=111,(2,3,,)k k k v v k n σσσ 以分别乘以 =(1,2,,),k k n ε 整理后就得到所要证的公式(18).
数学分析第十二章数项级数 推论（阿贝尔引理） =12(i),,,max{};n k k εεεεε 是单调数组,记(ii)(1),k k k n A σ对任一正整数有则有 ≤≤≤=≤∑1 3.(19) n k k k v A ε ε12231,,,n n εεεεεε ----若证由(i)知都是同号的. 121232111 ()()()n k k n n n n n k v ε εεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑12231()()()n n n A A εεεεεεε-≤-+-++-+1n n A A εεε=-+1(2)n A εε≤+3. A ε≤于是由分部求和公式及条件(ii)推得
数学分析第十二章数项级数 定理12.15（阿贝尔判别法） 且级数∑n b 收敛, {}n a 0,. n M a M 使>≤证由于数列单调有界,使当n >N 时,对任一正整数p ,都有 +=<∑. n p k k n b ε若{}n a 为单调有界数列,故存在,收敛又由于∑n b ,ε数依柯西准则，对任意正存在 正数N ,n n a b ∑则级数收敛. +=≤∑3. n p k k k n a b M ε(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到这就说明级数收敛. n n a b ∑
定义证明二重极限_1
定义证明二重极限 定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P 入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7
黎曼猜想简介
黎曼猜想简介 数学是自然科学的女皇，数论是数学的女皇。 -----K.F.Gauss 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想 20 世纪70 年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠，仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，可是那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。但就在1995年，英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了358 年悬而未决的费马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。 当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶上的明珠。而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近160 年历史的黎曼猜想。 让我们从1858 年讲起吧。 1858 年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上，忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做“论不大于一个给定值的素数的个数”。论文于1859 年发表，这是黎曼生前发表的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。 黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于1826 年9 月17 日出生在德国汉诺威的布列斯伦茨。他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在6 个兄弟姐妹中排行老二。黎曼 6 岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。10 岁时，他的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。 14 岁时，黎曼进入文科中学，文科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的859 页的大 4 开本《数论》，并用 6 天时间
黎曼ζ函数
黎曼ζ函数 最小值马克斯 再保险-15年15 即时通讯-15年15 黎曼ζ函数是非常重要的特殊函数出现的数学和物理的集成和与周围很深的结果密切相关素数定理。虽然许多这个函数的性质进行了调查,仍有重要的基本猜想(最明显黎曼假设),还有待证实。黎曼ζ函数是为一个复杂的变量定义在复平面,通常表示是哪一个(而不是通常的)考虑到所使用的符号黎曼在他1859年的论文,创立了这个函数的研究(黎曼1859)。它的实现Wolfram语言作为ζ[s]。 上面的图显示了“山脊”为和。山脊的事实似乎减少单调并不是一个巧合,因为它证明,单调减少意味着黎曼假设(Zvengrowski和Saidak 2003;Borwein贝利,2003年,页95 - 96)。 在实线与,黎曼ζ函数可以定义的积分 (1)在哪里是γ函数。如果是一个整数,那么我们的身份 (2) (3)
(4)所以 (5)评估,让这和代入上述身份获得 (6) (7) (8)集成的最后表达(8)给取消的因素并给出了最常见的黎曼ζ函数, (9)这是有时被称为p系列. 黎曼ζ函数也可以定义的多重积分通过 (10)作为一个梅林变换通过 (11)为,在那里是小数部分(Balazard和赛亚于2000)。 它出现在单位平方积分 (12)有效期为(Guillera和Sondow 2005)。为一个非负整数,这个公式是由于Hadjicostas(2002),和特殊的情况和是由于Beukers(1979)。 请注意,ζ函数有一个奇点中,它可以减少发散调和级数. 黎曼ζ函数满足反射函数方程 (13) (哈代1999年,p . 14;“将军”1999,p . 160),一个类似的形式由欧拉猜想(欧拉、读取1749年,1768年出版,Ayoub 1974;Havil 2003,p . 193)。这种函数方程的对称形式给出 (14) (1974年Ayoub),证明了黎曼复杂(黎曼1859)。 如上所述,ζ函数与一个复数被定义为。然而,有一个独特的解析延拓对整个复平面,不包括,对应于一个简单的极与复杂的残渣1(“将军”1999年,p . 1999)。特别是,作为 ,遵循 (15)
函数的性质综合应用
一、选择题 1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x | C ．y ＝x 1 2 D ．y ＝x 3 2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ????2 0152等于( ) ＋1 －1 C ．－3－1 D ．－3＋1 3．(2016·西安模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ????13
A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2 第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广 与牛顿-莱布尼茨积分不同，柯西-黎曼积分是建立在近代极限理论的基础上。由于本篇中暂时避开了近代极限理论，所以我们也只能用“无限接近”的说法来定义柯西-黎曼积分。同样，关于柯西-黎曼积分的性质，我们也只能用几何图形来说明。 §4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质 1.柯西-黎曼积分的定义 设函数)(x f 定义在区间[,]a b 上.首先用分点： 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= 把区间[,]a b 划分成n 个小区间，并用n x ?表示最大小区间的长度。柯西在19世纪初，建 议把函数)(x f 在区间],[b a 上的积分定义为“极限” 110 1 lim ()()()d n n b i i i x a i f x x x f x x --?→=-= ∑? （图4-1） 【注意】不能把其中的0n x ?→改写为n →∞，因为n →∞时不一定有0n x ?→。 后来，德国数学家黎曼(Riemann ，1826─1866 )又把柯西关于积分的定义做了修改。现在，国内多数教科书中都采用黎曼关于积分的下述定义(图4-2)： 设函数)(x f 定义在有限(开、闭或半开半闭)区间b a ,上。 第一步，用任意划分方法(记为P )把区间,a b 划分成n 个小区间： 图4-1 1n -1x 图4-2 n -1 i -1i 1 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= 第二步，在每一个小区间上都任意取一点，如在第i 个小区间],[1i i x x -上取的那一点记为i ξ，做出积分和 121 (P;,,,)()n n n n i i i f x σσξξξξ=== ?∑ 1()i i i x x x -?=- 第三步，让所有小区间都无限变小，即让最大小区间的长度0n x ?→，若有极限 1 lim ()n n i i x i f x ξσ?→=?=∑ 而且与区间的划分方法P 和每一个小区间上那一点(1)i i n ξ≤≤的选取方法都无关，则称函数 ()f x 在区间,a b 上可积分(简称可积)，并称极限值 01 lim ()()d n n b i i x a i f x f x x ξσ?→=?==∑? (4-1) 为函数)(x f 在区间b a ,上的积分。 上述定义比较长，你可按“划分区间?做出积分和?取极限”记忆它。请读者注意．．．．．，极限(4-1)不是第1章中说的函数极限，因为其中的积分和12(P;,,,)n n n σσξξξ= 不仅与划分区间的方法P 有关，而且也与每个小区间上取的那一点(1)i i n ξ≤≤有关。要进一步说明白它，需要用近代极限概念的“εδ-”说法，即极限(4-1)的定义是 读者可以暂时不管它。但是，你要阅读本篇有的注释和第二篇时，就必须记住它。 柯西-黎曼积分同牛顿-莱布尼茨积分是有区别的[见后面的注释③]。为了把两者区别开来，后来人们把它们分别记成了 (C-R) ()d b a f x x ? 与 (N-L) ()d b a f x x ? 现在，除数学史书外，人们说的积分都是指柯西-黎曼积分。因此，以后若不特别声明，记号 ()d b a f x x ? 就表示柯西-黎曼积分。 特别，对于有限区间b a ,上的常值函数c x f ≡)(来说，因为对于区间b a ,的任意划 分方法P ，总有 第十三讲、函数极限的性质 定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一. 证明：我们使用反证法加以证明。假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=， A B <。 取()/2B A ε= ?，则存在δ>10，使得当010||x x δ20，使得当020||x x δ0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界. 定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0 lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <. 在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有 推论13.1 .( 局部保号性). 若0 lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）. 推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。 一、什么是黎曼猜想 黎曼猜想——最重要的数学猜想 早在1737年，大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系，给出并证明了欧拉乘积公式，使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。 欧拉乘积公式，其中p为质数，n为自然数 黎曼猜想（Riemann Hypothesis）由大数学家黎曼在1859年首次提出，讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。 黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一，被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题，悬赏百万美金证明或者证伪。一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生，你会做什么？”，他的回答是，“我会问黎曼猜想是否已经解决”。可见黎曼猜想多么吸引人 黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。黎曼Zeta函数长这个样子： 黎曼Zeta函数有两种零点，一种是位于实数轴线上的零点，被称为平凡零点，另一种是位于其他复平面区域上的零点，被称为非平凡零点，目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内，而黎曼则大胆猜想，这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。 “所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想，但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上，无一例外。 黎曼猜想还跟幂律分布有关。 我们都知道幂律分布是指 其中x如果只能取1,2,3,...,n的整数，c为归一化常数，满足： 而这里面的 就是Zeta函数，黎曼猜想就是关于这个函数的，但是a可以取复数值。 黎曼猜想真的会被证明吗？ 质数分布没有简单规律，但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立，但至今没有完全证明。黎曼猜想得证，对质数研究、数论研究意义重大。 黎曼猜想对许多数学领域都意义重大，质数分布只是其中一个。有上千个数学命题都建立在黎曼猜想为真的基础上。多数数学家认为这个猜想是正确的，如果黎曼猜想被证伪，数学体系将失去重要根基。 二、黎曼猜想被证明了吗？ 如果这是真的，Atiyah爵士将不仅获得由克雷数学研究所悬赏的一百万美金奖励，更是他个人的至高荣誉和整个数学界的狂欢。 然而，根据我们目前的了解，Atiyah爵士极有可能是在自娱自乐逗大家玩…… 黎曼函数和黎曼猜想简介 大家这几天应该被动恶补了不少黎曼函数和黎曼猜想的介绍了，这里还是不厌其烦地再简单说下。 首先有无穷级数ζ(s) ： 当s取1时，它就是调和级数1+1/2+1/3+1/4+...，算数意义上不收敛。s=2时，级数收敛于π2/6。等等。当s的取值为复数s=x+iy时，它会把复平面上的点s(x,iy)映射到另一点s'(x',iy')。我们注意到这个级数要求s的实部大于1（x>1），否则这个级数不收敛，也就没有我们熟悉的数值和结果。 ζ(s)在复平面上的图像，Re(s)>1，此时图像全部分布在Re(ρ)=1/2线的右侧。图源3blue1brown 黎曼函数是ζ(s)在整个复平面的解析延拓，将s的定义域扩展到整个复平面。（值得说明的是，解析延拓是一种非常强的约束。如果一个函数存在解析延拓，那么解析延拓的结果是唯 数列极限的证明 数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A||Xn-1-A|…… |X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1设x(k)x(k+1)=√[2+3x(k)]3 当0 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0 √(n^2+4)/n=1 sin(1/n)=0 学院 学术论文 论文题目：费马大定理的证明 Paper topic：Proof of FLT papers 姓名 所在学院 专业班级 学号 指导教师 日期 【摘要】：本文运用勾股定理，奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析将费马大 定理的证明由对N>2的情况转换到证明n=4,n=p 时方程n n n x y z +=无解。 【关键字】：费马大定理（FLT ）证明 Abstract : Using the Pythagorean proposition, parity properties, division of the contrast and analysis of the solutions for the equations to proof of FLT in N > 2 by the situation to prove N = 4, N = p equation no solution. Keywords: Proof of FLT (FLT) 引言： 1637年，费马提出：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。”即方程 n n n x y z +=无正整数解。 当正整数指数n ＞2时，没有正整数解。当然xyz=o 除外。这就是费马大定理（FLT ），于1670年正式发表。费马还写道：“关于此，我确信已发现一种奇妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下”。[1] 1992年，蒋春暄用p 阶和4n 阶复双曲函数证明FLT 。 1994年，怀尔斯用模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群等现代数学方法间接证明FLT ，但是他的证明明显与费马设想的证明不同。 据前人研究，任何一个大于2的正整数n ，或是4的倍数，或是一个奇素数的倍数，因此证明FLT ，只需证明两个指数n=4及n=p 时方程没有正整数解即可。方程 444x y z +=无正整数解已被费马本人及贝西、莱布尼茨、欧拉所证明。方程 n n n x y z +=无正整数解，n=3被欧拉、高斯所证明；n=5被勒让德、狄利克雷所证明；n=7被拉梅所证明；特定条件下的n 相继被数学家所证明；现在只需继续证明一般条件下方程n n n x y z +=没有正整数解，即证明FLT 。[2] 本文通过运用勾股定理，对奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析证明4n =，n p =时n n n x y z +=无正整数解。 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 [编辑]黎曼猜想 维基百科，自由的百科全书 跳转至：导航、搜索 千禧年大奖难题 P/NP问题 霍奇猜想 庞加莱猜想（已证明） 黎曼猜想 杨-米尔斯存在性与质量间隙 纳维-斯托克斯存在性与光滑性 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想 黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题。多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。 黎曼猜想： 黎曼ζ函数，。非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6???等点的值)的实数部份是?。 黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s≠ 1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s = ?2, s = ?4, s = ?6, ...）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。 黎曼猜想提出： 黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是? 即所有的非平凡零点都应该位于直线? + ti（“临界线”）上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。 素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826--1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。 1901年Helge von Koch指出， 现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。 黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部份数学家也相信黎曼猜想是正确的（约翰·恩瑟·李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。）克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奬金给予第一个得出正确证明的人。 目录 [隐藏] ? 1 历史 ? 2 黎曼猜想与素数定理 ? 3 黎曼猜想之结果及其等价命题 o 3.1 默比乌斯函数的增长率 o 3.2 积性函数增长率 o 3.3 里斯判准与二项式系数和 o 3.4 韦伊判准、李判准 o 3.5 跟法里数列的关系 o 3.6 跟群论的关系 o 3.7 与埃拉托斯特尼筛法的关系 o 3.8 临界线定理 ? 4 已否证的猜想 ? 5 相对弱的猜想 o 5.1 Lindel?f猜想 o 5.2 大素数间隙猜想 ? 6 证明黎曼猜想的尝试 ?7 黎曼猜想证明的可能的着手方向 ?8 与算子理论的可能联系 ?9 搜寻ζ函数的零点 ?10 参考文献 为证明定理本身，我先证明几个引理。 引理1(Bessel 不等式)：若函数()f x 在[,]ππ-上可积，则有 2222011 ()()2n n n a a b f x dx π π π∞=-++≤∑? 证明：设201 ()(cos sin )2m m n n n a S x a nx b nx == ++∑ 显然：2 2 2[()()]()2()()()m m m f x S x dx f x dx f x S x dx S x dx π π ππ π π π π -----= -+ ???? (*) 其中，0 1 ()()()(()cos ()sin )2m m n n n a f x S x dx f x dx a f x nxdx b f x nxdx ππ π π π πππ=-- - - =++∑???? 由傅立叶级数系数公式可以知道：2 2201 ()()()2 m m n n n f x S x dx a a b π ππ π=- = ++∑? 以上各式代入(*)式，可以得到： 2 2 2 2201 0[()()]()()2 m m n n n f x S x dx f x dx a a b π π πππ π=- - ≤ -= - -+∑?? 另 2 2 2 201 ()()2 m n n n a a b f x dx π π π π=-++≤ ∑? 这个结果对于m N ?∈均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据 此可知“2 2201 ()2m n n n a a b ππ=++∑”这个级数的部分和有界，则引理1成立。 引理2：若函数()f x 是2T π=的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级 数部分和()m S x 可改写为：1 sin()12()() 2sin 2 m m u S x f x u du u ππ π-+=+? 证明：设201 ()(cos sin )2m m n n n a S x a nx b nx == ++∑ 111 sin()1 11112()[cos ()]()[cos ]() 222sin 2 x m m n n x m u f u n u x du f x t nt dt f x u du u π ππ π ππ π ππ-==----+= +-=++=+∑∑? ??我在下边给出一个比楼主强的结论！ 收敛定理：设()f x 是[,]a b 的按段光滑函数,如果它满足: (1)在[,]a b 只有有限个第一类间断点,在补充定义后它可积（应当指出：补充定义后，它已不是原来的函数）。§4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质.doc.gzip
函数极限的性质
黎曼猜想被证明
数列极限的证明
费马大定理的证明
二元函数极限证明
黎曼猜想
狄利克雷定理的证明