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九年级《二次函数》总复习

一、教学目标

1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能

根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关

系；

2．能作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对

称轴和顶点坐标。

二、教学重点和难点

重点：根据图象对二次函数的性质进行分析

难点：根据图象对二次函数的性质进行分析

三、教学过程

知识梳理 :1 、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质

3、求解析式的三种方法

4、a，b，c 及相关符号的确定

5、抛物线的平移

（一）、二次函数的定义

定义： y=ax 2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠ 0）

定义要点：① a ≠ 0

②最高次数为 2

③代数式一定是整式

练习： 1、y=-x 2， y=2x2-2

/x ，y=100-5 x 2，

y=3 x 2-2x 3+5, 其中是二次函数的有 ____个。

2. 当 m_______时, 函数 y=(m+1)χm2-m - 2 χ+1

是二次函数？

( 二) 、二次函数的图像及性质

抛物线

y=ax 2 +bx+c(a>0)

y=ax 2 +bx+c(a<0)

4ac b 2

b 4a

c b

顶点坐标

2a 4a

b 直线 x

b 对称轴

直线 x

位置

由a,b 和c 的符号确定

开口方向 a>0, 开口向上

a<0, 开口向下

在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的增减性

增大而减小 . 增大而增大 . 在对称轴的

在对称轴的右侧 , y 随着 x 的右侧 , y 随着 x 的增大而减小

增大而增大 . .

当 x=- b 时， y 最小值为当 x=- b

最值

4ac b 2

例 1：已知二次函数 :y= 1

x 2 x 3

时， y 最小值为（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点

M 的坐标。

（2）设抛物线与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A 、B 两点，求 C ，A ，B

的坐标。

（3）x 为何值时， y 有最小值，这个最小值是多少？

（4）x 为何值时， y<0？x 为何值时， y>0

（分小组讨论交流，分小组展示。教师讲解第（ 4）问，提示同学们要

画草图

由图象可知：

当-3 < x < 1时，y < 0

当x< -3 或 x>1 时， y > 0

(-3,0) (1,0)

? 0 ?

? 3

?(0,-–)2

(-1,-2)

（三）、求抛物线解析式的三种方法

1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________

2, 顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式为

_______________

求出表达式后化为一般形式.

3, 交点式 : 已知抛物线与x 轴的两个交点 (x 1 ,0) 、(x 2 ,0), 通常设解析

式为 _____________

求出表达式后化为一般形式.

（组织学生分组交流讨论，展示师生共评. ）

练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1) 、图象经过 (0 ，0) ， (1 ，-2)，(2，3)三点；

(2)、图象的顶点 (2 ，3) ，且经过点 (3 ，1) ；

(3) 、图象经过 (0 ，0) ， (12 ，0) ，且最高点的纵坐标是 3 。

（组织学生分组讨论交流，展示，师生共评。）教师提示：第（3）问：二次函数图像与X 轴交点作标关于对称轴对称，所以对称轴是X=6，即顶点坐标为 (6,3)

例 2、已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的最大值是 2，图象顶点在直线 y=x+1 上，并且图象经过点（ 3，-6 ）。求 a、b、c。解：∵二次函数的最大值

是 2

∴抛物线的顶点纵坐标为 2

又∵抛物线的顶点在直线y=x+1 上

∴当 y=2 时， x=1

∴顶点坐标为（1，2）

∴设二次函数的解析式为y=a(x-1) 2 +2

又∵图象经过点（ 3，-6 ）

∴-6=a (3-1) 2 +2∴a=-2

∴二次函数的解析式为y=-2(x-1) 2 +2

即： y=-2x 2 +4x

（四）、a，b，c 符号的确定

抛物线 y=ax 2 +bx+c 的符号问题：

（1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定

开口向上a>0

开口向下a<0

（2）C的符号：

由抛物线与 y 轴的交点位置确定 .

交点在 x 轴上方c>0

交点在 x 轴下方c<0

经过坐标原点n c=0

（3）b 的符号：由对称轴的位置确定

对称轴在 y 轴左侧a、b同号

对称轴在 y 轴右侧a、b异号

对称轴是 y 轴b=0

（4）b 2 -4ac 的符号：

由抛物线与 x 轴的交点个数确定

与 x 轴有两个交点b2-4ac>0

与 x 轴有一个交点b2-4ac=0

与 x 轴无交点b2-4ac<0

(5)a+b+c 的符号：因为 x=1 时,y=a+b+c, 所以 a+b+c 的符号由 x=1 时，对应的 y 值决定。

当 x=1 时， y>0, 则 a+b+c>0

当x=1 时， y<0，则 a+b+c<0

当x=1 时， y=0，则 a+b+c=0

(6)a-b+c的符号：因为x=-1 时,y=a-b+c, 所以 a-b+c 的符号由 x=-1 时，对应的 y 值决定。

当x=-1 ，y>0, 则 a-b+c>0

当x=-1 ，y<0, 则 a-b+c<0

当x=-1 ，y=0, 则 a-b+c=0

( 组织学生分小组讨论交流，师生交流加深)

练习：

１、二次函数 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 的图象如图所示，则 a、b、c 的符号为（）

A 、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0o

C、a<0,b<0,c>0

D、a<0,b<0,c<0 c

2、二次函数 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 的图象

如图所示，则 a、b、c 的符号为（）

A 、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0

C 、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0

3、二次函数 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 的图象如图

所示，则 a、b、c 、△的符号为（）

A、a>0,b=0,c>0, △>0 B 、a<0,b>0,c<0, △=0 C 、a>0,b=0,c<0, △>0 D 、a<0,b=0,c<0, △<0

熟练掌握 a，b， c ，△与抛物线图象的关系

y ·x

(1)

(2)

(3)

y ( 上正、下负）( 左同、右异 )

4. 抛物线 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 的图象经过原点和o

二、三、四象限，判断a、b、c 的符号情况：

a 0,

b 0,

c 0. (4)

5. 抛物线 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 的图象经过原点 , y

且它的顶点在第三象限，则a、b、c 满足

的条件是： a 0,b 0,c 0. o 6. 二次函数 y=ax 2 +bx+c 中，如果 a>0，b<0，c<0, (5)

那么这个二次函数图象的顶点必在第象限

提示：先根据题目的要求画出函数的草图，再根据y

y 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）y

7. 已知二次函数的图像如图所示，下列结论：x

⑴a+b+c=0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a

其中正确的结论的个数是（）

A 1 个

B 2个

C 3个

D 4个

要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的

位置，抛物线与 x 轴、y 轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想( 如图所示 ) 。

（五）、抛物线的平移：左加右减，上加下减

练习

⑴二次函数 y=2x 2的图象向平移个单位可得到y=2x2-3的图象；

二次函数 y=2x 2的图象向平移个单位可得到y=2(x-3) 2的图象。

⑵二次函数y=2x 2的图象先向平移个单位，再向平移个单位可得到函数y=2(x+1) 2 +2 的图象。

引申： y=2(x+3) 2 -4 y=2(x+1) 2 +2

（3）由二次函数y=x 2的图象经过如何平移可以得到函数y=x 2 -5x+6 的图象 .

提示： y=x2 -5x+6 = （x- 5 ）2- 1

2 4

y= x2 y=(x- 5 )2- 1

2 4

（学生分小组讨论交流，展示师生共评）

（六）、小结

（1）谈谈自己的收获

（2）师生互动

（七）、作业

章节课时练

教后反思：立足于二次函数在初中数学函数教学中的地位，根据学

生对二次函数的学习及掌握的情况，从梳理知识点出发采用以习题带

知识点的形式 . 1.每一个学生都有一定的知识体验和生活积累,

每个学生都会有各自的思维方式和解决问题的策略 . 这一堂课我让学生成为数学学习的主人, 自己充当数学学习的组织者, 取得了意想不到的效果 , 学生不但能用一般式 , 顶点式解决问题 , 还能深层挖掘，巧妙地用两根式解决问题 , 可见学生的潜力无穷 .

2.本课遵循尊重学生，相信学生，依学生的“主体”教学思想，运用助思，助学，助练的启发式教学方法，启动了师生交流的“匣门”，使教学过程真正成为了师生间的双向活动

3、在如何备复习课，准确把握一个单元及一节课的重点及突破

难点方面有了很大提高；在巧妙驾驭课堂方面有了很大进步；在如何与他人相处方面有了更好的认识，踏踏实实地做人。

总之，在实践中获得灵感，在交流中撞出智慧，在反思中调整思路，在坚持中取得进步。

高等数学上册教案

高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章：函数与极限教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。第一节：映射与函数一、集合 1、集合概念 word

word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。空集φ： A ?φ 2、集合的运算并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且全集I 、E 补集C A ：集合的并、交、余运算满足下列法则：

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授课题目§9.1二重积分的概念与性质课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量（或电荷）。2．二重积分的几何意义二、二重积分的性质性质1、，为非零常数；(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、；{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型：理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体填表说明：每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章函数与极限

第一章函数与极限教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数一、集合 1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

人教版九年级数学下册教学设计(优秀)

第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 1．理解反比例函数的概念；(难点) 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点) 一、情境导入 1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？ 2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？问题：这些关系式有什么共同点？二、合作探究探究点一：反比例函数的定义【类型一】反比例函数的识别下列函数中：①y＝ 3 2x；②3xy＝1；③y＝ 1－2 x；④y＝ x 2.反比例函数有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①y＝ 3 2x是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝ 1 3x，是反比例函数，正确； ③y＝ 1－2 x是反比例函数，正确；④y＝ x 2是正比例函数，错误．故选C. 方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝ k x(k为常数，k≠0)，y＝kx －1(k为常数，k ≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．解析：由反比例函数的定义可得2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．

高等数学教材word版(免费下载)

目录一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11)

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：

人教版九年级数学上册全册教案

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 数学教案（七年级上册）第1章有理数第2章整式的加减第3章一元一次方程第4章图形认识初步第一章有理数 1.1正数和负数教学目标： 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。重点：正、负数的概念重点：负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数教师：如何来表示具有相反意义的量呢？我们现在来解决问题4提出的问题。结论：零下5℃用－5℃来表示，零上5℃用5℃来表示。为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的，而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数（0除外）表示，负的用小学学过的数（0除外）在前面加上“－”（读作负）号来表示。根据需要，有时在正数前面也加上“+”（读作正）号。注意：①数0既不是正数，也不是负数。0不仅仅表示没有，也可以表示一个确定的量，如温度计中的0℃不是没有表示没有温度，它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“－”的符号是表示量的性质相反，这种符号叫做性质符号。

三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例义。四、总结 ①什么是具有相反意义的量？②什么是正数，什么是负数？③引入负数后，0的意义是什么？五、布置作业课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数教学目标： 1、正确理解有理数的概念及分类，能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法，会对有理数进行分类，体验分类是数学上常用的处理问题的方法。重点：正确理解有理数的概念重点：有理数的分类教学过程：一、知识回顾，导入新课什么是正数，什么是负数？问题1：学习了负数之后，我们对数的认识范围扩大了，你能写出三个不同类型的数吗？（请三位同学上黑板上写出，其他同学在自己的练习本上写出，如果有出现不同类型的数，同学们可上黑板补充。）问题2：观察黑板上的这么数，并给它们分类。先让学生独立思考，接着讨论和交流分类的情况，得出数的类型有5类：正整数、0、负整数、正分数、负分数。二、讲授新课 1、有理数的定义引导学生对前面的数进行概括，得出：正整数、零、负整数统称为整数；正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数，正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数，即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类让学生在总结出5类数基础上，进行概括，尝试进行分类，通过交流和讨论，再加上老师适当的指导，逐步得出下面的两种分类方式。（1）按定义分类：（2）按性质分类：

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第二十六章二次函数 [本章知识要点] 1．探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ．解若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ．解得 0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数．回顾与反思形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些

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第四章不定积分教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。

§4 1 不定积分的概念与性质一、教学目的与要求： 1．理解原函数与不定积分的概念及性质。 2．掌握不定积分的基本公式。二、重点、难点：原函数与不定积分的概念三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ， Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版

一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？原函数存在定理如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数). 定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ?dx x f )(. 其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即 ?+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21.

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高等数学电子教案（下）《高等数学》 2008 ,2009 学年第二学期教师姓名: 李石涛授课对象:1.化学工程与工艺0801,0803，应用化学0801，0802 2.高分子材料工程0801，0802;环境工程0801，0802 授课学时: 128/64 选用教材《高等数学》史俊贤主编大连理工大学出版社 2006/2 基础部数学教研室沈阳工业大学教案第 1 周授课日期 09.2.18 授课章节:第六章 6.1 定积分元素法教学目的: 1、理解定积分元素法的基本思想, 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,平面图形的面积、平面曲线的弧长, 教学重点:平面图形的面积、平面曲线的弧长教学难点:平面图形的面积教学内容纲要: 一、定积分的元素法, 二、平面图形的面积、教学三、平面曲线的弧长、实采用的教学形式:讲授施过教学方法:启发式教学

程教学步骤: 设 1、复习定积分的概念～引出定积分的元素法, 计 2、举例讲解平面图形的面积 3、举例讲解平面曲线的弧长课后复习及作业或思考题: 1、复习定积分的元素法。 2、课后习题6-2 1、2、4、5。教学后记: 时间: 沈阳工业大学教案第 1 周授课日期 09.2.20 授课章节:6.2 定积分在几何学上的应用教学目的: 1、理解定积分元素法的基本思想, 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积, 教学重点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学难点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学内容纲要: 一、旋转体的体积、二、平行截面面积为已知的立体体积, 教学采用的教学形式:讲授实教学方法:启发式教学施

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《高等数学》教案第一讲函数与极限 1.函数的定义设有两个变量x ，y 。对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。记作y=f(x)，x ∈D 。其中x 叫自变量，y 叫因变量。函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x). 解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2 ∴f(x)=2x 2 – x – 2 定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点： ①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0 例2 求函数y= 6—2x －x +arcsin 7 1 2x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有： 1|7 12|062≤-≥--x x x ? 4323≤≤--≤≥x x x 或?4323≤≤-≤≤-x x 或于是，所求函数的定义域是：[-3，-2] [3，4]. 例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x 解（1）中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数（1）基本初等函数常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数： y=μ x （μ为常数）指数函数：y=x a (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数) 三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx （2）复合函数设),(u f y =其)(x u ?=中，且)(x ?的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ?=为x 的复合函数，而u 称为中间变量. 例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0， ∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π] 例5：分析下列复合函数的结构

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.第二十六章二次函数 [本章知识要点] 1．探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义, 并了解二次函数的有关概念． 3．会用描点法画出二次函数的图象, 能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6．会通过对现实情境的分析, 确定二次函数的表达式, 并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念, 在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ）, 它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米, 宽是3厘米, 如果将其长与宽都增加x 厘米, 则面积增加y 平方厘米, 试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子, 它们是不是函数？为什么？如果是函数, 请你结合学习一次函数概念的经验, 给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时, 函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数, 须满足的条件是:02 ≠-m m ．解若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数, 则 02 ≠-m m ．解得 0≠m , 且1≠m ．因此, 当0≠m , 且1≠m 时, 函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数．回顾与反思形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数, 则m 取哪些

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第七章微分方程教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4．会用降阶法解下列微分方程： ()() n y f x =，(,) y f x y ''' +和(,) y f y y ''' = 5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程 ()() n y f x =，(,) y f x y ''' +和(,) y f y y ''' = 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 4、欧拉方程 §7. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程.含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。历史悠久（与微积分同时诞生），应用广泛。微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ? =xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数. 把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C , 由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1. 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.02 2-=dt s d . (4)

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第四章常微分方程 §4．1 基本概念和一阶微分方程甲内容要点一．基本概念 1．常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5．积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6．线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零

的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解 ()()??+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解 ()()()()C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令u x y =，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln （2） ()()0,0≠≠++=b a c by ax f dx dy 令u c by ax =++，则()u bf a dx du += ()c x dx u bf a du +==+?? （3） ??? ? ??++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy

《高等数学》(A)教案第六章(可编辑修改word版)

讲授内容§6.1定积分的元素法 §6.2定积分在几何上的应用教学目的 1.深刻理解定积分的元素法的思想. 2.掌握用定积分的元素法计算实际问题的条件和解题步骤. 3.熟练掌握平面图形面积和旋转体体积的计算方法. 4.会求平面曲线的弧长及简单的平行截面面积为已知的立体体积. 教学重点、难点重点：求平面图形面积和旋转体体积及平面曲线的弧长. 难点：求旋转体体积. 教学方法：讲授教学建议 1.应用定积分的元素法关键是根据题中的具体条件，利用所学的几何或物理的知识，求出所求量的微元. 2.计算平面图形面积时，应根据图形的特点选择积分变量. 3.当旋转轴与坐标轴平行时,只需作坐标轴平移再用旋转体体积公式算出体积. 4.求平面曲线的弧长时，重点是记住公式ds = 教学过程一、元素法:当实际问题中的所求量A 符合下列条件: 1)A是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量; 2)A对于区间[a,b]具有可加性,即:将区间[a,b]分成许多部分区间,则A相应地分成许多部分量,A等于许多部分量的和; 3)部分量?A i的近似值为 f ()i?x i,即: ?A i ≈f () i ?x i . (dx)2+ (dy)2

b b d d 则 A 可以用定积分来表示,其方法为: 1）选取变量 x 并确定区间[a ,b ]; 2）将[a ,b ]分成 n 个小区间,并任取小区间[x ,x +d x ],此小区间上的部分量 ?A . 且 ?A = dA + (dx ) = f (x )dx +(dx ) .即 dA = f (x )dx .称 dA 为 A 的元素. 3）以 A 的元素 f (x )d x 为被积表达式,在[a ,b ]上积分:得 A = ? a 这种方法为元素法. f (x )dx . 关键在于第二步.求出元素 dA = 二、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 1） X －型: f (x )dx 由 y = f (x ) 、 x = a 、 x = b ,(a < b ) 与 x 轴围成的曲边梯形的面积 A : A = ?a | f (x ) | dx 由 y = f (x ) 、 y = g (x ) 、 x = a 、 x = b ,(a < b ) 围成的曲边梯形的面积 A : A = ?a | f (x ) - g (x ) | dx 2） Y －型: 由曲线 x = f ( y ) 、直线 y = c 、 y = d ， (c < d ) 与 y 轴围成的曲边梯形的面积 A 为: A = ?c | f ( y ) | dy 由曲线 x = f ( y ) 、 x = g ( y ) 直线 y = c 、 y = d ， (c < d ) 围成的曲边梯形的面积 A 为: A = ?c | f ( y ) - g ( y ) | dy 例 1 计算由曲线: y 2 = x 和 y = x 2 所围成的图形的面积解: 1) 交点坐标(0,0)和(1,1). b

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高等数学电子教案【篇一：高等数学下册电子教案】第四章常微分方程 4．1 基本概念和一阶微分方程甲内容要点一．基本概念 1．常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5．积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6．线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式： dydydx=p(x)q(y)(q(y)≠0) 通解?p(x)dx+c ?q(y)=

（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：m1(x)n1(y)dx+m2(x)n2(y)dy=0 通解?m1(x) m2(x)dx+?n2(y)n1(y)dy=c (m2(x)≠0,n1(y)≠0) 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 y x dy dxdy?y?=f ? dx?x? 令则=u， =u+xdu dx=f(u) ?f(u)-u dy dxdu=?dxx+c=ln|x|+c （2）=f(ax+by+c)(a≠0,b≠0) 令ax+by+c=u，则du dx=a+bf(u) ?a+bf(u)=?dx dydu=x+c ?a1x+b1y+c1? ? =f （3） ?dx?a2x+b2y+c2? ①当?=a1 v?? a1+b1?a1u+b1v?u?属于齐次方程情形 ?=f v?a2u+b2v? ?a+b 2?2u?? b1 b2 b1=0情形，令a2a1= 令u=a1x+b1y，则du 属于变量可分离方程情形。三．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy dx+p(x)y=0 -?p(x)dx 它也是变量可分离方程，通解公式y=ce 2．一阶线性非齐次方程 dy dx+p(x)y=q(x) ，（c为任意常数）

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