：空间距离的各种计算
高中数学立体几何 空间距离
1.两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
2.点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.
题型一：两条异面直线间的距离
【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；
【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.
(2)在Rt △BEF 中，BF =
a 23
,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2
12，即EF =a 22
.
由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为
a 2
2
. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .
∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .
∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.
∵CE =23
,∴CF =FD =2
1,∠EFC =90°,EF =
2221232
2
=??? ??-???
? ??. ∴AB 、CD 的距离是
2
2
. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：
（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.
（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.
例1题图
例2题图
（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.
题型二：两条异面直线间的距离
【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =
3
2BE =332332=
?. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312
22=????
??-=-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 【例4】
在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =
2
π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,
求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.
【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC , ∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin
55
,AD =3a ,∴AF =5
3a , 在Rt △P AF 中tan ∠PF A =3535=
=a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 3
5. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,
∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a ,
∴PB =2a ,∴AH =a 2
2.
【例5】
如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.
解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.
∴DF=C 1H=2. .622
2
=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，
由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ?面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.
在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离.
.11
33
417
12317
123,17
121743cos 3cos 3,.
17,1,2
2
1
1
221=+
?
=
?=
∴=?
===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CG
BG
CC EB 知由从而可得由
解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），
例3题图
B A
C
D
1
A
1
B 1
C D 1
1
B 1
A 1
E
D
B
A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.
∵AEC 1F 为平行四边形，
.
62,62||).
2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,
11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴
（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然
???=+?+?-=+?+??????=?=?02020140,0,011y x y x n n 得由??
?
??-==∴???=+-=+.41,1,022,014y x x y 即
111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则1111433
cos ||||
CC n CC n α?=
=
? ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11
33
4333343cos ||1=?==αCC d
【例6】
正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。
（1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 解：（1）连结BD ，D B 1，由三垂线定理可得：AC D B ⊥1， 所以D B 1就是1B 点到直线AC 的距离。 在BD B Rt 1?中,6810222211=-=-=
BC C B BB 34=BD ．
2122121=+=∴B B BD D B ．
（2）因为AC 与平面BD 1C 交于ＡＣ的中点Ｄ， 设E BC C B =?11，则1AB //DE ，所以1AB //平面BD C 1， 所以1AB 到平面BD 1C 的距离等于Ａ点到平面BD 1C 的距离，等于Ｃ点到平面BD 1C 的距离，也就等于三棱 锥1BDC C -的高， BDC C BDC C V V --=11 ，
13
1
311CC S hS BDC BDC ??=∴，131312=∴h ，即直线1AB 到平面BD 1C 的距离是131312． 【解后归纳】 求空间距离注意三点： 1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离；
3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．
【范例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；
（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
π
.
解析：法1
（1）∵AE ⊥面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E
（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2，
1
A
故.2121,232152211=??==-??=
??BC AE S S ACE C AD 而 11
111131,1,.33223
D AEC
AEC AD C V S DD S h h h -??∴=?=?∴?=?∴= （3）过D 作DH ⊥CE
于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ，
∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角.
设AE=x ，则BE=2－x
11,, 1.
4
,,,
Rt D DH DHD DH Rt ADE DE Rt DHE EH x π
?∠=
∴=?=∴?=在中在中在中
.
4
,32.
32543.
54,3122π
的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=?+-=
+∴+-=?=?
法2：以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E(1，x ，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).
（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D DA ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=D ，)1,0,1(1-=AD ，
设平面ACD 1的法向量为),,(c b a n =，
则?????=?=?,
0,01AD AC n 也即???=+-=+-002c a b a ，得???==c a b a 2， 从而)2,1,2(=，所以点E 到平面AD 1C 的距离为.3
1
3212|
|1=-+=
=n h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x
由???=-+=-??????=?=?.0)2(0
2,
0,01x b a c b D 令b =1, ∴c=2, a =2－x ，
∴).2,1,2(x -=依题意.2
25
)2(22
2
|
|||4
cos
211=
+-?=
?=
x DD n π
∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为
4
π
. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实
1.把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，则点A 到BC 的距离是 ( )
A.a
B.
a 26 C.a 33 D.a 4
15 2.△ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°.△ABC 所在平面外一点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离都是14，那么点P 到平面α的距离为 ( )
A.7
B.9
C.11
D.13
3.从平面α外一点P 向α引两条斜线P A ,PB .A ,B 为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm 和12cm ,则
P 到α的距离是
( )
A.4cm
B.3cm 或4cm
C.6cm
D.4cm 或6cm
4.空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为 ( )
A.a 2
1 B.a 2
2 C.a 2
3 D.a 5.在四面体P —ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直.M 是面ABC 内一点，且点M 到三个面P AB 、PBC 、PCA 的距离分别为2、3、6，则点M 到顶点P 的距离是 ( )
A.7
B.8
C.9
D.10
6.如图，将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离是 ( )
A.a 43
B.
a 43 C.a 23 D.a 4
6
7.如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD ＝1，设点C 到平面P AB 的距离为d 1，点B 到平面P AC 的距离为d 2，则有 ( )
A.1 B.d 1 C.d 1<1 D.d 2 8.如图所示，在平面α的同侧有三点A 、B 、C ，△ABC 的重心为G .如果A 、B 、C 、G 到平面α的距离分别为a 、b 、c 、d ，那么a+b+c 等于 ( ) A.2d B.3d C.4d D.以上都不对 9.如图，菱形ABCD 边长为a ，∠A =60°，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点且 2====DG CG FB CF HD AH EB AE ，沿EH 和FG 把菱形的两锐角折起，使A 、C 重合，这时点A 到平面EFGH 的距离是 ( ) A. 2 a B.a 22 C.a 23 D.a 615 二、思维激活 10.二面角α-MN -β等于60°，平面α内一点A 到平面β的距离AB 的长为4，则点B 到α的距离为 . 11.在60°的二面角α—l —β中，A ∈α,AC ⊥l 于C ，B ∈β，BD ⊥l 于D ，又AC =BD =a ,CD =2a ，则A 、 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 B两点间距离为. 12.设平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4cm和1cm，AB与平面α所成的角是60°，则线段AB 的长是. 13.在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A—Oy—B后,∠AOB=90°，则cosα的值是. 三、能力提高 14.在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，E是P A的中点，求点E到平 面PBC的距离． 15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°，M为AA1上的点.∠A1MC1=30°，∠BMC1=90°，AB=a. (1)求BM与侧面AC1所成角的正切值. (2)求顶点A到面BMC1的距离. 第15题图 16.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA1⊥ A1C,AA1=A1C. （1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小; （2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小; （3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离. 17.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H. (1)求二面角B1—EF—B的大小. (2)试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥面EFB1，并证明你的结论. (3)求点D1到面EFB1的距离. 空间的距离习题解答 1.D 折后 BC =2a ,∴点A 到BC 的距离为41542 2a a a =?? ? ??-. 2.A BC =21120cos 159215922=???-+. ∴△ABC 外接圆半径R = 37120sin 221 =? , ∴点P 到α的距离为.7)37(1422=- 3.D 设PO ⊥α垂足为O ,|PO |=x cm ,∠OAP =β,∠OBP =γ,那么β-γ=45°, tan β= 2x ,tan γ=12 x ,tan (β-γ)=tan 45° 展开左边并整理得:x 2-10x +24=0,解得x 1=6,x 2=4. 4.B P 、Q 的最短距离即为异面直线AB 与CD 间的距离，当P 为AB 的中点，Q 为CD 的中点时符合题意. 5.A PM =7632222=++. 6.C 取BD 的中点O 连AO 、OC ，作OE ⊥AC 于E ，则OE 为所求，∴AO =CO =AC =2 3a . 7.D 点C 到平面P AB 的距离d 1= 2 2, 点B 到平面P AC 的距离d 2= 332 1 122 1=+ ? ， ∵ 12 233<<,∴d 2 第17题图 8.B |MM ′|=2c b +，又 312 2=+-+- c b a c b d .∴a +b + c =3 d . 9.A 设BD 的中点为O ， ∴EO =6760cos 232232 2a a a a a =???-?? ? ??+??? ??，点A 到平面EFGH 的距离为23679422a a a =-. 10.2 作AC ⊥MN 于C ，连BC ，则BC ⊥MN ， ∴∠ACB =60°，又MN ⊥平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面α，作BD ⊥AC 于D ，则BD ⊥α， ∴BD 的长即为所求，得BD =2． 11.a 3 AB =a a a a a a 360cos 2)2(222=????-++. 12.23cm 或 3 3 10cm 当点A 、B 在α同侧时，AB = 3260sin 3 =?; 当点A 、B 在α异侧时，AB =3 3 1060sin 5= ? 13.9 4 如图,AB ″=26)32(22222=+=+OB OA ∵BC ⊥y 轴,B ′C ⊥y 轴, ∴∠B ′CB ″为二面角A —Oy —B 的平面角. ∠B ′CB ″=α,在△B ′CB ″中,B ′C =B ″C =3, B ′B ″=104262=-,由余弦定理易知cos α= 9 4. 14.如图，将点E 到平面PBC 的距离转化成线面距，再转化成点面距. 连AC 、BD ，设AC 、BD 交于O ，则EO ∥平面PBC ， ∴OE 上任一点到平面PBC 的距离相等． ∵平面PBC ⊥平面ABCD ， 过O 作OG ⊥平面PBC ，则G ∈BC ， 又∠ACB=60°，AC=BC=AB=a ， ∴OC = 2 a ,OG =OC sin60°=43a . 点评：若直接过E 作平面PBC 的垂线，垂足难以确定．在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果． 15.(1)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴∠BAC 为二面角B 1—AA 1—C 1的平面角， ∴∠BAC =60°. 又∵∠ACB 为直角，∴BC ⊥侧面AC 1. 连MC ，则MC 是MB 在侧面AC 1上的射影. ∴∠BMC 为BM 与侧面AC 1所成的角. 且∠CMC 1=90°，∠A 1MC 1=30°，所以∠AMC =60°. 第13题图解 第14题图解 设BC =m ，则AC =m 33 ，MC =3 2m ， 所以tan ∠BMC = 2 3. 即BM 与侧面AC 1所成的角的正切值为 2 3. (2)过A 作AN ⊥MC ，垂足为N ，则AN ∥面MBC 1. ∵面MBC ⊥面MBC 1，且过N 作NH ⊥MB ，垂足为H ， 则NH 是N 到面MBC 1的距离，也就是A 到面MBC 1的距离. ∵AB =a ,AC =2 a ,且∠ACN =30°， ∴AN = 4 a 且∠AMN =60°，∴MN =a 123. ∴NH =MN sin ∠BMC =a 123×a 52 39 (本题还可用等积法). 16.(1)如图所示,作A 1D ⊥AC ,垂足为D ,由面A 1ACC 1⊥面ABC ,得A 1D ⊥面ABC ∴∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角 ∵AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C ∴∠A 1AD =45°为所求. (2)作DE ⊥AB 垂足为E ,连A 1E ,则由A 1D ⊥面ABC ,得A 1E ⊥AB , ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知AB ⊥BC 得DE ∥BC ,又D 是AC 的中点,BC =2,AC =23 ∴DE =1,AD =A 1D =3,tan ∠A 1ED = DE D A 1=3,故∠A 1ED =60°为所求. (３)连结A 1 B ,根据定义,点 C 到面A 1ABB 1的距离,即为三棱锥C —A 1AB 的高h . 由V C —A 1AB =V A 1-ABC 得31S △AA 1B h =3 1 S △ABC ·A 1D 即 313223 1 22??=??h ,∴h =3为所求. 17.(1)如图连结B 1D 1，AC ，B 1H ， ∵底面为正方形ABCD ， ∴对角线AC ⊥BD . 又∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点 ∴EF ∥AC .∴EF ⊥BD . 又∵棱B 1B ⊥底面ABCD ，EF 面ABCD ，∴EF ⊥B 1B . 又B 1B ∩BD =B ,BB 1面BB 1D 1D ，BD 面BB 1D 1D . ∴EF ⊥面BB 1D 1D . 而B 1Ｈ面BB 1D 1D ，BH 面BB 1D 1D ，∴EF ⊥B 1H ，EF ⊥BH . ∴∠B 1HB 为二面角B 1—EF —B 的平面角. 在Rt △B 1BH 中，B 1B =a ,BH =a 4 2 ， ∴tan ∠B 1HB = 221=BH B B . ∴∠B 1HB =arctan22. 第16题图解 第17题图解 ∴二面角B 1—EF —B 的大小为arctan22. (2)在棱B 1B 上取中点M ，连D 1M ， 则D 1M ⊥面EFB 1.连结C 1M . ∵EF ⊥面BB 1D 1D ，D 1M 面BB 1D 1D . ∴D 1M ⊥EF . 又∵D 1C 1⊥面B 1BCC 1. ∴C 1M 为D 1M 在面B 1BCC 1内的射影. 在正方形B 1BCC 1中，M 、F 分别为B 1B 和BC 的中点， 由平面几何知识B 1F ⊥C 1M . 于是，由三垂线定理可知B 1Ｆ⊥D 1Ｍ， 而B 1F 面EFB 1，EF 面EFB 1，EF ∩B 1F =F ， ∴D 1M ⊥面EFB 1. (3)设D 1M 与面EFB 1交于N 点，则D 1N 为点D 到面EFB 1的距离， ∵B 1Ｎ面EFB 1,D 1M ⊥面EFB 1， ∴B 1N ⊥D 1M . 在Rt △MB 1D 1中，由射影定理D 1B 12=D 1N ·D 1M ， 而D 1B 1=2a ,D 1Ｍ=a M B D B 2 3 21211= +， ∴D 1N = .3 4 1211a M D B D = 即点D 1到面EFB 1的距离为a 3 4. 空间距离的计算 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1) 求证：EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离； 【例 2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 例3、如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 例4、在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC = 2 ,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a , 求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离. 例3题图 例2题图 B A C D 1 A 1 B 1 C D 1C 1 B 1 A 1 E D C B A 例5、如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离. 例6、正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。 （1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 【解后归纳】 求空间距离注意三点： 1．常规遵循一作二证三计算的步骤；2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法． 例7、如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4 π . 巩固练习： 1.把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是( ) A.a B.a 2 6 C.a 3 3 D.a 4 15 2.△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面α的距离为( )A.7 B.9 C.11 D.13 3.从平面α外一点P向α引两条斜线P A,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm和12cm ,则P到α的距离是( )A.4cm B.3cm或4cm C.6cm D.4cm或6cm 4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上， 则P与Q的最短距离为( )A.a 2 1 B.a 2 2 C.a 2 3 D.a 5.在四面体P—ABC中，P A、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M到三个面P AB、PBC、PCA的距离分别为2、3、6，则点M到顶点P的距离是( )A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD的距离是 ( )A.a 4 3 B.a 4 3 C.a 2 3 D.a 4 6 7.如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD＝1，设点C到平面P AB的距离为d1，点B到平面P AC的距离为d2，则有( )A.1 8.如图所示，在平面α的同侧有三点A、B、C，△ABC的重心为G.如果A、B、C、G到平面α的距离分别为a、b、c、d，那么a+b+c等于( )A.2d B.3d C.4d D.以上都不对 9.如图，菱形ABCD边长为a，∠A=60°，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且 2 = = = = DG CG FB CF HD AH EB AE ，沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面EFGH的距离 是( )A. 2 a B.a 2 2 C.a 2 3 D.a 6 15 10.二面角α-MN-β等于60°，平面α内一点A到平面β的距离AB的长为4，则点B到α的距离为. 11.在60°的二面角α—l—β中，A∈α,AC⊥l于C，B∈β，BD⊥l于D，又AC=BD=a,CD=2a，则A、 第6题图第7题图 第8题图第9题图 B两点间距离为 . 12.设平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4cm和1cm，AB与平面α所成的角是60°，则线段AB 的长是. 13.在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A—Oy—B后,∠AOB=90°，则cosα的值是. 三、能力提高 14.在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，E是P A的中点，求点E到平 面PBC的距离． 15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°，M为AA1上的点.∠A1MC1=30°，∠BMC1=90°，AB=a. (1)求BM与侧面AC1所成角的正切值. (2)求顶点A到面BMC1的距离. 16.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA1⊥ A1C,AA1=A1C. （1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小; （2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小; 第15题图 （3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离. 17.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H. (1)求二面角B1—EF—B的大小. (2)试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥面EFB1，并证明你的结论. (3)求点D1到面EFB1的距离. 第17题图 空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC 例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结 怎么用经纬度计算两地之间的距离？ 1、地球赤道上环绕地球一周走一圈共40075.04公里,而@一圈分成360°,而每1°(度)有60,每一度一秒在赤道上的长度计算如下： 40075.04km/360°=111.31955km 111.31955km/60=1.8553258km=1855.3m 而每一分又有60秒,每一秒就代表1855.3m/60=30.92m 任意两点距离计算公式为 d＝111.12cos{1/[sinΦAsinΦB十cosΦAcosΦBcos(λB—λA)]} 其中A点经度，纬度分别为λA和ΦA，B点的经度、纬度分别为λB和ΦB，d为距离。 2、分为3步计算： 第1步分别将两点经纬度转换为三维直角坐标： 假设地球球心为三维直角坐标系的原点，球心与赤道上0经度点的连线为X轴，球心与赤道上东经90度点的连线为Y轴，球心与北极点的连线为Z轴，则地面上点的直角坐标与其经纬度的关系为： x=R×cosα×cosβ y=R×cosα×sinβ z=R×sinα R为地球半径，约等于6400km； α为纬度，北纬取+，南纬取-； β为经度，东经取+，西经取-。 第2步根据直角坐标求两点间的直线距离（即弦长）： 如果两点的直角坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，则它们之间的直线距离为：L=[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2]^0.5 上式为三维勾股定理，L为直线距离。 第3步根据弦长求两点间的距离（即弧长）： 由平面几何知识可知弧长与弦长的关系为： S=R×π×2[arc sin(0.5L/R)]/180 上式中角的单位为度，1度＝π/180弧度，S为弧长。 3、1度的实际长度是111公里。但纬线的距离会越考两端越小，他的距离就会变成111乘COS纬度数，经度不变。 4、南北方向算出两点纬度差,一度等于60海里,1分等于1海里,海里与公里换算关系1海里等于1.852公里。东西方向量出距离到两点间纬度附近量出纬度差，得出海里数，再乘以1.852换算成公里。可按直角三角形原理求出两点间距离。 5、度的实际长度是111公里。但纬线的距离会越考两端越小，他的距离就会变成111乘COS纬度数，经度不变(如果在同一经度) #coding:UTF-8 """ Python implementation of Haversine formula Copyright(C)<2009>Bartek Górny 空间坐标计算距离及计算器算角度 在空间中坐标计算距离： 设A（x1,y1,z1）,B（x2,y2,z2） |AB|=√[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2] （工程中Z项为0，开根号时忽略Z的值---数值过小可忽略） |AB|=√[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ] 角度计算方法： Rab（锐角） Rab=acrtan[（Yb-Ya）/（Xb-Xa）] （计算出来为十进制度表示法，转换为度分秒见下） α=360°-Rab 例：后视点D41（3137842.164,537144.921）前视点D41-1 （3137826.46,537253.133）求S,α。 ①S= √[（Yb-Ya）^2+（Xb-Xa）^2] =109.346m Rab=acrtan[（Yb-Ya）/（Xb-Xa）] =acrtan（108.212/15.704） =acrtan6.890728（最好保留6位） ②计算器算acrtan6.890728 输入6.890728 点计算器上Inv +tan显示atand（6.890728）=81.742736（此时为十进制度数）再点dms（转换度分 秒）=81.4433即为81°44′33″ ③最后α=360°- 81°44′33″=278°15′26″ 计算器算角度转换度分秒 点开始----程序----附件----计算器 这个计算器有两种模式，点《查看》有一个下拉菜单，有标准型和科学型。选择科学型。在输入区下方有一排选项十六进制；十进制；八进制；二进制；角度；弧度；梯度。一般默认就是十进制和角度，如不是则应点上十进制和角度。 例：把18.69和15.5度转换成度分秒（电脑配置的科学计算器可能没有Hyp可少这一步） 先输入18.69---再钩上Hyp---再点dms。这时就显示18.4124， 这就是18度41分24秒。 输入15.5---钩上Hyp---点dms。显示15.3，就是15度30分。 如把度分秒转换为度（接上例） 先输入18.4124---钩上Ⅰnv---再点dms,就转换成度了18.69度。 要求函数值就必须输入度数，输入度数后正弦点sin；余弦点cos ；正切点tan,函数值直接就显示出来了。 空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页 版空间直角坐标系空间两点间的距离公式 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点) [基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系 定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面 画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz ＝90° 图示 说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 知道方位角和距离怎么计算坐标 设原点坐标为（x，y），那么计算坐标（x1，y1）为 x1=x+s·cosθ y1=y+s·sinθ 其中θ为方位角，s为距离 CAD里计算方位角和距离 CAD默认的世界坐标系跟测量上用的坐标系是不同的。世界坐标系中的X即测量坐标系中的Y，世界坐标系中的Y即测量坐标系中的X。 不知道你是不是要编程的方法或源程序？下面是在CAD下的常用操作方法： 用命令id可以查看点的XYZ坐标 例如： 命令: '_id 指定点: X = 517.0964 Y = 431.1433 Z = 0.0000 命令: ID 指定点: X = 879.0322 Y = 267.6949 Z = 0.0000 用命令dist（快捷命令di）即可知道两点间的角度和距离 例如： 命令: '_dist 指定第一点: 指定第二点: 距离 = 397.1308，XY 平面中的倾角 = 335d41'46.7"，与 XY 平面的夹角 = 0d0'0.0" X 增量 = 361.9358， Y 增量 = -163.4483， Z 增量 = 0.0000 其中的“XY 平面中的倾角= 335d41'46.7”是世界坐标系内的平面夹角，用450度减去这个值335d41'46.7"即是坐标方位角114°18′13.3〃。 你可以用计算器验算一下，点1、X = 431.1433，Y = 517.0964；点2、X = 267.6949，Y = 879.0322的坐标方位角和距离值是不是114°18′13.3〃和397.131m。 已知两坐标点求方位角和距离的计算公式 如点A(X1，Y1 ) 点B(X2，Y2) A到B的方位角为： Tan(Y2-Y1)/(X2-X1)其中（X2-X1）>0时加360°，（X2-X1）<0时加180°而距离就是(（X2-X1）平方+（Y2-Y1）平方)最后开方得到的值即为A到B距离 方位角坐标计算公式 设角为x： tanx=a(对边Y1-Y2）/b（邻边X1-X2）=z,因为a,b,z可求出，利用三角函数tan可求出方位角x,谢谢采纳！ 追问 能不能再说的清楚点 回答 问题是你学过三角函数吗？学了就很容易理解了，在三角形abc中，sinx=对边a/斜边c，cosx=邻边b/斜边c，tanx=对边a/邻边b, 其中sinx, cosx,tanx是定值，可以在科学计算器中得到，如果还是不理解的话建议 还是先看看这方面的知识吧，希望我的回答对你有所帮助！ 请问前辈，坐标反算中求方位角的计算公式 已知A(X1,Y1)、B(X2,Y2) 先求出AB的象限角： θ=arctan((Y2-Y1)/(X2-X1)) 再根据条件将象限角θ转换为方位角α： 当X1-X2>0 , Y1-Y2>0，α＝θ； 当X1-X2<0 , Y1-Y2>0，α＝θ+180° 当X1-X2<0 , Y1-Y2<0，α＝θ+180° 当X1-X2>0 , Y1-Y2<0，α＝θ+360° 高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23 ,∴CF =FD =2 1,∠EFC =90°,EF = 2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. 例1题图 例2题图 空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点， 过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”） 4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，， 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90] 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有： S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A 2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式.目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导. ［学法关键］ 1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标. 2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式 研习点1．空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 研习点2．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量. 坐标公式大集合（两点间距离公式） 安徽省安庆市第四中学八年级（13）班王正宇著 在八年级上册的数学教材中（沪科版），我们学习到了平面直角坐标系这一章,由此,我们引申出一次函数、二次函数、反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！ 一、求平行于x与y轴的直线的距离 ①我们在平面直角坐标系中做一条线段AB平行于x轴（AB为任意直线），我们要求出线段AB的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看AB两点的横坐标，会发现一个特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度ab≥0的，故取正数结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式： | Ax－Bx | 即A点横坐标数减去B点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，A、B两点的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。 ②同样的，有上面的过程支撑，我想，推出平行于Y轴的线段CD的长度肯定就好求了！！那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于Y轴线段长度的公式哦： | Cy－Dy | 即C点纵坐标减去D点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。 二、求斜线的长度 这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。 求斜线的长度涉及到勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即： A 2+ B 2 = C 2 这样一解释，想必大家都清楚了吧！这样，为我们下面推出求斜线长度的公式打下了坚实的基础。 一、坐标正反算： 数学数轴X （横轴）Y （竖轴） 测量数轴Y （横轴）X （竖轴），测量计算中以测量竖轴判断象限，象限以顺时针排列。 正算cos AB B A AB X X D α?=+ sin AB B A AB Y Y D α=+? 直圆点里程ZY=JD-T 圆直点里程YZ=ZY+L 曲中点里程QZ=YZ-L/2 R>300m 时，曲线上20m 定一个桩，R<200m 时，曲线上100m 定一个桩。 l i 为曲线点至ZY （或YZ ）的曲线长 i 点与ZY 点在曲线上夹角 i 180= i l R απ? i 点与ZY 点在X 上变化 sin i i x R α= i 点与ZY 点在Y 上变化 () 1cos i i y R α=- 2.缓和曲线和圆曲线相对坐标计算 0缓和曲线长 001802l R βπ=? 24 003-242688l l p R R =3002 2240l l m R =- 00018036l R βδπ ==? 切线支距法 缓和曲线： 59 2244 00403456l l x l R l R l =-+ 3711 3355 000 -633642240l l l y Rl R l R l =+ 圆曲线：00002290180180==2l l l l l l R R R ?βπππ ---?=?+? （） 特别提示：此处线路转向±与其他情况正好相反！ 3、已知两坐标系纵轴夹角计算 X 0、Y 0为施工坐标原点，α为两坐标系纵轴夹角 0cos sin p p X X x y αα=+- 0cos sin p p Y Y y x αα=+- 空间距离 常见问题： （1）点到平面的距离；（2）两条异面直线的距离；（3）与平面平行的直线到平面的距离；（4）两平行平面间的距离。 一、点到平面的距离 求解点到平面的距离常用的方法有以下几种： 1、由已知的或可以证明垂直的关系，则垂线段的长度就是点到平面的距离。 2、过点作已知平面的垂线，可以找到垂足的位置，从而得到点到平面的距离。例如在正三棱锥中，求顶点到底面的距离，可以过正三棱锥的顶点作底面的垂线，垂足为底面正三角形的中心，然后通过计算求得距离。又例如若已知所在的平面与已知平面垂直，可以过点作两平面交线的垂线，此点与垂足间的距离即为点到平面的距离。 3、用等体积法求解点面距离。 例1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。 解：（1）连接FC,EC, 由已知FC=22， 41=∴FC ,3482511=++=EC , 1091=+=EF 10 104 1023416102cos 1212121-=??-+=?-+=∠FC EF EC FC EF EFC 10 1031011sin 1=-=∠∴EFC 610 10341021sin 21111=??=∠?=∴?EFC FC EF S EFC 设1C 到EF 的距离为d ，则510610 1212,621===∴=?EF d d EF （2）设C 到平面EF C 1的距离为h EFC C EF C C V V --=11 131311CC S h S EFC EF C ?= ?∴?? 又451212221132125=??-??-??-?=?EFC S 3 246224111 =?=?=∴??EF C EF C S CC S h 二、两条异面直线的距离 1、对于特殊的图形，可以作出异面直线的公垂线段并证明，然后算出公垂线段的长度。 2、转化为两个平行平面的距离，再转化为点面的距离进行计算。 例3、三角形ABC 是边长为2的正三角形， ?P 平面ABC ，P 点在平面ABC 内的射影为 O ，并且PA = PB = PC =3 。求异面直线PO 与BC 间的距离。 分析：过点P 作平面ABC 的垂线段PO ，但是必须了解垂足O 的性质，否则计算无法进行。为此连结OA ，OB ，OC （如图）． 则由PA ＝PB ＝PC 可得OA ＝OB ＝OC ，即O 是正三角形ABC 的中心．于是可以在直角三角 形PAO 中由PA =2 6 3 ,OA = 2 3 3 ，得PO =2 3 3 。有了以上基础，只要延长AO ，交BC 于D ，则可证明OD 即为异面直线PO 与BC 间的距离，为 3 3 。 三、直线到平面的距离 直线到平面的距离是过直线上任意一点向平面作垂线所得垂线段的长度，一般求解都是转化为求点到平面的距离。 例4、已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点。求11C B 到平 第二节直线的交点坐标与距离公式 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能用解方程组的方法求两 条相交直线的交点坐标． 2.掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式、会求两 条平行直线间的距离. 1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出 现在相关的位置关系中． 2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的 距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与 圆或圆锥曲线的问题中来考查. [归纳·知识整合] 1．两条直线的交点 设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组 ?? ? ??A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？ 提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个 交点时，两条直线重合． 2．距离 点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距 离 d ＝ |Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离 d ＝ |C 1－C 2| A 2＋ B 2 [探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析：选D d ＝ |－5|12＋22 ＝ 5. 2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8 D ．6 解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－0 2＋ 0－82＝36＋64＝10. 3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－1 2 浅谈空间距离的几种计算方法 【摘要】 空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。 【关键词】 空间距离：点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】 空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。 这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。 一、两点之间的距离 两点间的距离的计算通常有两种方法： 1、可以计算线段的长度。把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。 2、可以用空间两点间距离公式。如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量. 已知数组(x，y，z)，如何作出该点？ 对于任意三个实数的有序数组(x，y，z)： （1）在坐标轴上分别作出点P x，P y，P z，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z； （2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy，这三个平面的交点就是所求的点. 空间点的坐标 1．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面；2．坐标平面上点的坐标的特征： xOy平面（通过x轴和y轴的平面）是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数 yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其 高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 2 1, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 1 2，即EF =a 22. 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 2 2. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2=??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =3 2 BE =332332=?. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312 22=?? ? ? ?? -=-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 例1题图 例2题图 例3题图 立体几何专题：空间角和距离的计算 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值。 B 1 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角，（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小； D 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2，（1）求直线D 1F 和AB 和所成的角；（2）求D 1F 与平面AED 所成的角。 1 2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ， AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角 的大小。 B 1 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点，（1）证明AB 1∥平面DBC 1；（2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小。 B 1 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5，（1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小；（2）求SC 与面ABCD 所成的角。 B C 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小。 1 四 空间距离计算 （点到点、异面直线间距离）1.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是BC 的中点，DP 交AC 于M ，B 1P 交BC 1于N ，（1）求证：MN 上异面直线AC 和BC 1的公垂线；（2）求异面直线AC 和BC 1间的距离； C 1 A 11．6空间直角坐标系与两点间的距离 【知识网络】 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置． 2．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标． 3．探索并得出空间两点间的距离公式，会求空间两点间的距离． 【典型例题】 [例1]（1）在空间直角坐标系中，点（1，2，－3）关于x轴的对称点的坐标是( ) A．（1，－2，3）Ｂ．（－1，2，3）Ｃ．（－1，－2，3）Ｄ．（1，－2，－3） （2）已知点A（－1，－2，6），B（1，2，－6），O为坐标原点，则O，A，B三点 A．可以构成直角三角形B．可以构成钝角三角形 C．可以构成锐角三角形D．不能构成三角形 （3）已知线段AB两端点坐标为A（2，－3，4），B（2，5，－3），则与线段AB平行的坐标平面（） A．是xoy平面B．是yoz平面C．是xoz平面D．不存在 （4）点A（1，0，1），AB中点坐标为（3，－4，9），则B点坐标是． （5）与两点M（1，0，0），N（－1，0，0）等距离的点的坐标（x,y,z)满足的条件是． [例2]已知球心C（1，1，2），球的一条直径的一个端点为A（－1，2，2），求该球的表面积及该直径的另一个端点的坐标。 [例3]如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知C（0，0，0）A1（0，1，1），B（1，0，0）， （1）求面对角线的长度； （2）该三棱柱是否有外接球？若有，求出球的方程，若没有，说明Array理由． [例4]在三棱锥A—BCD中，AC=AB=DC=DB=2，AD=BC=1，求该三棱锥的体积． 【课内练习】 1．在空间直角坐标系中，点（1，－1，2）关于y轴的对称点的坐标是( ) ．（1，－1，2）Ｂ．（－1，1，2）Ｃ．（－1，－1，－2）Ｄ．（－1，1，－2）2．点M（－2，4，5）在xoy平面，yoz平面，xoz平面上的射影分别是（）A．（0，4，5），（－2，0，5），（－2，4，0） B．（－2，4，0），（0，4，5），（－2，0，5） C．（－2，0，5），（－2，4，0），（0，4，5） D．（0，4，0），（－2，0，0），（0，4，0） 3．在空间直角坐标系中，线段AB的中垂面是yoz平面，点A（1，2，3），则点B的坐标是（）A．（－1，2，3）B．（1，－2，3）C．（1，2，－3）D．（1，－2，－3）4．在xoy平面内，到点（1，－1，2）距离等于3的点的轨迹是（） A．一点B．一条直线C．两条平行线D．一个圆 5．点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是． 6．已知两点A（0，－2，3），B（2，1，x），|AB|=5，则x等于． 7．在y轴上任意一点M到点N（－2，1，3）距离的最小值是． 8．已知三点A（－1，1，2），B（1，2，－1），C（a，0，3），这三点能共线吗？若能共线，求出a的值；若不能共线，说明理由． 9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，部分顶点的坐标分别是 A（－1，－1，－1）B（－1，3，－1）C （4，3，－1）A1（－1，－1，3） 求C1、D1点的坐标．空间两点之间的距离公式
怎么用经纬度计算两地之间的距离
计算空间任意两个坐标点之间距离的PYTHON程序脚本
空间坐标计算距离
空间点到直线的距离公式
版空间直角坐标系空间两点间的距离公式
工程测量计算坐标
：空间距离的各种计算
空间角及空间距离的计算知识点
2.4空间直角坐标系与空间两点的距离公式
坐标公式大集合(两点间距离公式)
测量坐标计算
浅谈空间距离的几种计算方法
直线的交点坐标和距离公式
浅谈空间距离的几种计算方法
空间直角坐标系与空间两点的距离公式
高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)doc
立体几何专题——空间几何角和距离的计算
空间直角坐标系与两点间的距离