Hermite插值步骤
Hermite插值步骤：
1 . 将具有函数值及直到k阶到数值的点和该点函数值在差商表中连续重写k+1遍。
2．按传统的牛顿插值方法构造差商表中其他相应列。3．把重复的点按牛顿插值方法中的点一样独立对待，写出插值表达式。
作业：
f(0)=1, f(1)=2,f(2)=9, f’(1)=3, 构造不超过3次的插值多项式，并建立误差估计式。
Hermite插值方法
数值分析实验报告五 一、实验目的 理解Hermite插值方法，掌握Hermite插值算法设计 二、实验内容 使用vc++编程，实现该方法，即Hermite插值法 三、实验步骤 #include 线性插值法计算公式解析 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A． B．8.75 C． D． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2 图一：适用于某项指标越低得分越高的项目 评分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的 情形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式 图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F） /(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分 实验名称：插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的，在有些情况下，虽然可以写出f(x)的解析表达式，但由于结构十分复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，构造函数P(x)作为f(x)的近似，插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法，不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中，而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中，求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上，作为f(x)的近似。 通常，称区间[a,b]为插值区间，称点x0,x1,…,xn为插值节点，上式为插值条件，称函数类φ为插值函数类，称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数，输入所给函 数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点，计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。 3算法描述 1.分段线性插值流程图 2.分段二次插值流程图 3.拉格朗日插值流程图 4程序代码及注释 1.分段线性插值 《计算方法》课程设计报告 学生姓名:张学阳学号：1009300132 陈洋1009300109 刘睿1009300122 学院:理学院 班级: 数学101 题目: 分段线性及三次埃尔米特插值通用程序 指导教师：宋云飞职称：讲师 朱秀丽讲师 尚宝欣讲师 2012年12月30日 目录 目录............................................................................................... I 一、摘要 (1) 二、算法设计 (1) 2.1分段线性插值 (1) 2.2分段三次埃尔米特插值 (1) 2.3功能框图 (1) 三、例题计算 (1) 四、误差及结果分析 (9) 4.1例题误差分析 (1) 4.2结点个数对插值结果的影响 (1) 五、总结及心得体会 (12) 参考文献 (13) 源程序 (14) 一、摘要 分段线性插值与分段定义的线性插值,在相邻插值节点的区间上对应的是同一个线性函数。由于它们的表现形式不一样从而产生为两种不同的计算方法,相应的误差表现形式也不一样.拉格朗日插值余项利用f(x)的二阶导数,要f(x)的二阶导数存在,对于二阶导数不存在的情况不能估算出它的误差,所以适用范围比较小.现在我们可以利用一阶导数就估 算出误差,给计算带来许多的方便。 为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。 在代数插值过程中，人们为了获得较好的近似效果，通常情况下是增加插值节点数.由于二次插值比线性插值近似效果好，因此容易错误地认为插值多项式次数越高越好.事实上,随着插值节点的增多，插值多项式不一定收敛到被插值函数.。通过分段低次插值或样条插值可以得到较好的近似逼近函数，分段低次插值具有公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性有保证等优点.随着子区间长度h取得足够小，分段低次插值总能满足所要求的精度.因此分段低次插值应用十分广泛.。分段线性插值是分段低次插值中常见的方法之一，在本文中对函数在(-5，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同分段线性插值函数.并用MATLAB编写分段线性插值函数，最后比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系。 题目：利用Matlab实现数据的Hermite插值和分段三次Hermite插值 小组成员：王晓波（38） 蔡明宇（20） 一、程序实现意义： 一般的，从各种试验得来的数据总有一定的数量，而利用插值技术能够从有限的数据中获取整体的状态。而Hermite插值不仅保证了插值函数与原函数在给定数据点处得拟合，同时保证了在相应点处导数的相同，从而在很大程度上保证了曲线的“光滑性”。因此，通过Matlab实现Hermite插值具有很普遍的意义。 二、实现过程： 1、Hermite插值 由于并不是所有的Matlab版本都提供现有的Hermite插值函数包，故我们首先编写了实现给定五个观测点的Hermite插值的M程序，代码如下： function [f,f0] = Hermite1(x,y,y_1) syms t; f = ; ! if(length(x) == length(y)) if(length(y) == length(y_1)) n = length(x); else disp('y和y的导数的维数不相等'); return; end else disp('x和y的维数不相等！ '); return; end * for i=1:n h = ; a = ; for j=1:n if( j ~= i) h = h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2); a = a + 1/(x(i)-x(j)); end end f = f + h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-y_1(i))+y(i)); < end f0 = subs(f,'t'); 其中x为给定点横坐标数组，y为给定点纵坐标数组，y_1为原函数在给定点处的导数数组。测试证明该程序可以实现，例如输入如下数组： x=1::; y_1=[ ]; y=[1 ]; >> [f,f0] = Hermite1(x,y,y_1)； 运行结果如下： f = $ (390625*((3972231*t)/35 - 28321/0000)*(t - 1)^2*(t - 7/5)^2*(t - 8/5)^2*(t - 9/5)^2)/36 - (390625*(t - 1)^2*(t - 6/5)^2*(t - 7/5)^2*(t - 9/5)^2*((28557*t)/28 - 23/2000))/36 + (390625*((64*t)/3 - 61/3)*(t - 6/5)^2*(t - 7/5)^2*(t - 8/5)^2*(t - 9/5)^2)/576 + (390625*((763*t)/1984 + 043/6240000)*(t - 1)^2*(t - 6/5)^2*(t - 8/5)^2*(t - 9/5)^2)/16 - (390625*((77623*t)/28 - 931/60000)*(t - 1)^2*(t - 6/5)^2*(t - 7/5)^2*(t - 8/5)^2)/576 f0 = ． 利用matlab绘制图像： 实验二埃尔米特（Hermite）插值 一、实验目的： 1.掌握埃尔米特插值算法原理； 2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。 二、实验准备： 阅读《数值分析》2.4节 二、实验要求： 某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i， H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。 函数接口定义： void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ); 其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。 裁判程序如下： 裁判输入数据： 2 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 0.0 5 0.0 0.2 0.5 0.8 1.0 3 0.0 0.5 1.0 100.0 170.0 200.0 30.0 150.0 0.0 5 0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 5 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.0 60.0 160.0 260.0 300.0 5.0 70.0 100.0 120.0 20.0 10 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0 标准输出数据： 0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.0000 0.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000 100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.0000 《数值分析》实验报告 实验序号：实验六 实验名称: Hermite 插值法 1. 实验目的： 学会Hermite 插值法,并应用该算法于实际问题. 2. 实验内容： 求一个函数?(x )用来近似函数f (x )，用分段三次Hermit 插值的方法来求解近似函数?(x )并画出近似函数图像及原函数图像。 设在区间[a,b]上，给定n+1个插值节点b x x x x a n =<<<<=...210和相应的函数 值n y y y ,...,,10以及一阶导数值''1'0,...,,n y y y ，求一个插值函数)(x H ，满足以下条件： （1） ),...,2,1,0()(,)(''n i y x H y x H i i i i === （2） )(x H 在每一个小区间[1,+j j x x ]上是三次多项式。 对于给定函数11-,2511)(2 ≤≤+=x x x f 。在区间[]11-，上画出f (x )和分段三次Hermit 插值函数)(x H 的函数图像。 3. 实验分析： 算法分析： 1. 分段三次Hermit 插值的算法思想： 分段三次Hermit 插值的做法是在每一个小区间上作三次Hermit 插值，因此在每一个插值节点上都需要构造两个插值基函数)(),(x H x h i i ，然后再作它们的线性组合。分段三次Hermit 插值基函数如下： ?????≤≤----+=其它 0 ))(21()(1021010100x x x x x x x x x x x x h ?? ???≤≤---=其它 0 ))(()(10210100x x x x x x x x x x H 数值分析实验报告 任课教师：马季骕班级：11级计算机科学与技术 1实验目的及要求 2程序的源代码 3实验操作 4实验结果及分析 1实验目的及要求 学会Hermite插值法,并应用该算法于实际问题. （1）给定函数y=f(x)在n各不同的插值节点xi(i=1,…,n)的函数值yi=f(xi) (i=1,…,n)，用厄米特（Hermite）插值多项式求函数在x初的函数值y。 （2）Hermite插值多项式： （4）如果有错，修改直至运行成功，查看运行结果； （5）根据所求函数，画出图形。 （6）查看原函数的图形与逼近函数图形的近似程度。 2 程序的源代码 // LDlg.cpp : implementation file // #include "stdafx.h" #include "L.h" #include "LDlg.h" #ifdef _DEBUG #define new DEBUG_NEW #undef THIS_FILE static char THIS_FILE[] = __FILE__; #endif ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // CAboutDlg dialog used for App About class CAboutDlg : public CDialog { public: CAboutDlg(); // Dialog Data //{{AFX_DATA(CAboutDlg) enum { IDD = IDD_ABOUTBOX }; //}}AFX_DATA // ClassWizard generated virtual function overrides //{{AFX_VIRTUAL(CAboutDlg) protected: virtual void DoDataExchange(CDataExchange* pDX); // DDX/DDV support //}}AFX_VIRTUAL // Implementation protected: //{{AFX_MSG(CAboutDlg) //}}AFX_MSG DECLARE_MESSAGE_MAP() }; CAboutDlg::CAboutDlg() : CDialog(CAboutDlg::IDD) { //{{AFX_DATA_INIT(CAboutDlg) //}}AFX_DATA_INIT } void CAboutDlg::DoDataExchange(CDataExchange* pDX) { CDialog::DoDataExchange(pDX); //{{AFX_DATA_MAP(CAboutDlg) //}}AFX_DATA_MAP } BEGIN_MESSAGE_MAP(CAboutDlg, CDialog) //{{AFX_MSG_MAP(CAboutDlg) 计算方法——插值法 11223510 李晓东 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是一些离散数值。有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，使用不便，且不易于计算与分析。解决这类问题我们往往使用插值法：用一个“简单函数”)(x ?逼近被计算函数)(x f ，然后用)(x ?的函数值近似替代)(x f 的函数值。插值法要求给出)(x f 的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定)(x ?作为)(x f 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。 一、 理论与算法 （一）拉格朗日插值法 在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即 ? ? ?≠==k i k i x l i k 01)( （1.1） 上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设 )())(())(()(1110n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+- 其中，k A 为待定系数。由条件1)(=k k x l 立即可得 )())(()(1 110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----= +- （1.2） 故 ) ())(()() ())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------= +-+- （1.3） 由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。我们称它们为在1+n 个节点n x x x ,,,10 上的n 次基本插值多项式或n 次插值基函数。 利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的n 次插值多项式 )()()(1100x l y x l y x l y n n +++ （1.4） 例 若()f x 在[a,b]上有三阶连续导数，且已知()f x 在[,]a b 上两个互异的 点01,x x 上的函数值01(),()f x f x 和一阶导数值' 0()f x ，试求满足条件 ''001100()(),()(),()()H x f x H x f x H x f x === 的插值多项式，并估计误差。 解 由给定的3 个插值条件，显然可确定一个次数不超过2次的埃尔米特插值多项式()H x ， 又有()H x 应满足插值条件()()i i H x f x =，(0,1)i =，而节点01,x x 上的线性插值函数1()N x 也满足插值条件1()(),(0,1)i i N x f x i ==，故可设101()()()()H x N x A x x x x -=--，其中A 为待定常数，上式又可记为 101000101()()()() ()()[,]()()H x N x A x x x x f x x x f x x A x x x x =+--=+-+-- 为了确定常数A ，对上式求导，得 '0110()[,][()()]H x f x x A x x x x =+-+-， 令0x x =代入，且注意插值条件'' 001010()[,]()()H x f x x A x x f x =+-=, 于是有'01010[,]()f x x f x A x x -=-，即多项式()H x 为 '010******** [,]()()()()[,]()()f x x f x H x f x x x f x x x x x x x x -=+-+--- ， 当然也可先采用拉格朗日多项式构造，同样得到满足相同条件的插值多项式()H x 余项为(3)201()()()()6 f R x x x x x ξ=--。 分段三次Hermite 插值 1. 目的意义： 可以得到在插值区间上光滑的分段插值多项式 2. 数学模型（数学公式）： ???????∈??????∈∈=-] ,[),(],[),(],[),()(1212101n n n x x x x H x x x x H x x x x H x H '221'122 13211321)()())(())]((2[))]((2[i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y h x x x x y h x x x x y h x x x x h y h x x x x h H --+--+--++--+=------ 3. 算法程序： #include printf("请按行输入一系列的x值:\n"); for(k=0;k 例若()f x 在[a,b]上有三阶连续导数，且已知()f x 在[,]a b 上两个互异的 点01,x x 上的函数值01(),()f x f x 和一阶导数值' 0()f x ，试求满足条件 ' ' 001100()(),()(),()()H x f x H x f x H x f x === 的插值多项式，并估计误差。 解由给定的3 个插值条件，显然可确定一个次数不超过2次的埃尔米特插值多项式()H x ， 又有()H x 应满足插值条件()()i i H x f x =，(0,1)i =，而节点01,x x 上的线性插值函数 1()N x 也满足插值 条件 1()(),(0,1) i i N x f x i ==，故可设1 ( ) ()()()H x N x A x x x x -=--，其中A 为待定常数，上式又可记为 101000101()()()() ()()[,]()()H x N x A x x x x f x x x f x x A x x x x =+--=+-+-- 为了确定常数A ，对上式求导，得 ' 0110()[,][()()]H x f x x A x x x x =+-+-， 令0x x =代入，且注意插值条件'' 001010()[,]()()H x f x x A x x f x =+-=, 于是有 ' 01010 [,]() f x x f x A x x -= -，即()H x 为 ' 010******** [,]() ()()()[,]()()f x x f x H x f x x x f x x x x x x x x -=+-+ --- ， 当然也可先采用拉格朗日多项式构造，同样得到满足相同条件的插值多项式()H x 余项为(3) 2 01() ()()()6 f R x x x x x ξ=--。线性插值法计算公式解析
计算方法实验报告 插值
三次埃尔米特插值
实习：Matlab作业hermite插值
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