2019-2020学年江苏省泰州二中高三(下)开学数学试题Word版含解析

2019-2020学年江苏省泰州二中高三（下）开学

数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案在答题纸的指定位置上）

1．（5分）已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B= ．

2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2= ．

3．（5分）已知样本数据x

1，x

2

，x

3

，x

4

，x

5

的方差s2=3，则样本数据2x

1

，2x

2

，2x

3

，2x

4

，2x

5

的方差为．

4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S= ．

5．（5分）同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），点数之和是5的概率是．

6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为．

7．（5分）若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．

8．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a

n }，其前n项和S

n

，若S

n

=2，S

3n

=14，则S

6n

= ．

9．（5分）已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点

和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是．

10．（5分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2．

11．（5分）已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为．

12．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x ∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为．

13．（5分）当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是．

14．（5分）已知实数a

1，a

2

，a

3

不全为零，正数x，y满足x+y=2，设的最大值

为M=f（x，y），则M的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）

15．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A

1B

1

C

1

中，CC

1

⊥底面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B

1

C

1

和

BC的中点．

（1）求证：MB∥平面AC

1

N；

（2）求证：AC⊥MB．

16．（15分）设．

（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；

（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若f（A）=1，求A，b．

17．（15分）如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，且焦距为2，

动弦AB 平行于x 轴，且|F 1A|+|F 1B|=4． （1）求椭圆C 的方程；

（2）若点P 是椭圆C 上异于点A ，B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若MF 2、NF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1?k 2是定值．

18．（15分）现有半径为R 、圆心角（∠AOB ）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF ，如图所示．其中E ，F 分别在OA ，OB 上，C ，D 在上，且OE=OF ，EC=FD ，∠ECD=∠

CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF 的面积为S ． （1）试求S 关于θ的函数关系式； （2）求S 的最大值．

19．（15分）已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体，存在实数a 、k （k ≠0），对于定义域内的任意x 均有f （a+x ）=kf （a ﹣x ）成立，称数对（a ，k ）为函数f （x ）的“伴随数对”

（1）判断f （x ）=x 2是否属于集合M ，并说明理由；

（2）若函数f （x ）=sinx ∈M ，求满足条件的函数f （x ）的所有“伴随数对”； （3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f （x ）的“伴随数对”，当1≤x ＜2时，

；

当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．

20．（15分）已知数列{a

n }，{b

n

}满足b

n

=a

n+1

﹣a

n

（n=1，2，3，…）．

（1）若b

n =10﹣n，求a

16

﹣a

5

的值；

（2）若且a

1=1，则数列{a

2n+1

}中第几项最小？请说明理由；

（3）若c

n =a

n

+2a

n+1

（n=1，2，3，…），求证：“数列{a

n

}为等差数列”的充分必要条件是“数

列{c

n }为等差数列且b

n

≤b

n+1

（n=1，2，3，…）”．

2019-2020学年江苏省泰州二中高三（下）开学

数学试题参考答案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案在答题纸的指定位置上）

1．（5分）已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B= {2，4，8} ．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．

【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，

∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，

∴A∩B={2，4，8}．

故答案为：{2，4，8}．

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．

2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2= 3﹣4i ．

【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案．

【解答】解：由a，b∈R，且a+i=2﹣bi，得

，即a=2，b=﹣1．

∴a+bi=2﹣i．

∴（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．

故答案为：3﹣4i．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．

3．（5分）已知样本数据x

1，x

2

，x

3

，x

4

，x

5

的方差s2=3，则样本数据2x

1

，2x

2

，2x

3

，2x

4

，2x

5

的方差为12 ．

【分析】利用方差性质求解．

【解答】解：∵样本数据x

1，x

2

，x

3

，x

4

，x

5

的方差s2=3，

∴样本数据2x

1，2x

2

，2x

3

，2x

4

，2x

5

的方差为：

22s2=4×3=12．

故答案为：12．

【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．

4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S= log

3

19 ．

【分析】模拟程序的运行，当n=19时满足条件n＞3，退出循环，可得：S=log

3

19，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得

n=1

不满足条件n＞3，执行循环体，n=3，

不满足条件n＞3，执行循环体，n=19，

19．

满足条件n＞3，退出循环，可得：S=log

3

19．

故答案为：log

3

【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．

5．（5分）同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），点数之和是5的概率是．

【分析】基本事件总数n=6×6=36，再利用列举法求出点数和为5包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是5的概率．

【解答】解：同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），

基本事件总数n=6×6=36，

点数和为5，包含的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），有4个，

∴点数之和是5的概率p==．

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为7 ．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z=3x+2y得y=﹣x+z

平移直线y=﹣x+z，

由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，

此时z最大．

由，解得A（1，2），

代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．

即目标函数z=3x+2y的最大值为7．

故答案为：7．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

7．（5分）若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于

6 ．

【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．

【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，

焦点坐标为F（c，0），

则焦点到其渐近线的距离d===b=2，

则c====3，

则双曲线的焦距等于2c=6，

故答案为：6

【点评】本题主要考查双曲线截距的求解，根据焦点到其渐近线的距离建立方程关系求出b

的值是解决本题的关键．

8．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a

n }，其前n项和S

n

，若S

n

=2，S

3n

=14，则S

6n

= 126 ．

【分析】设各项均为正数的等比数列{a

n

}的公比等于q，利用等比数列的前n项和公式化简已知的两等式，可求出q n与的值，然后再利用等比数列的前n项和公式化简所求的式子，变形后将求出的q n与的值代入即可求出值．

【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a

n

}的公比等于q，

∵S

n =2，S

3n

=14，

∴=2，=14，

解得：q n=2，=﹣2．

则S

6n

=（1﹣q6n）=﹣2（1﹣64）=126．

故答案为：126

【点评】本题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式的应用，求出q n=2，=﹣2是解题的关键．

9．（5分）已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是．

【分析】由题意利用勾股定理可得[+22]++22]=+42，由此求得T的值，可得结论．

【解答】解：A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，

且∠AOB=，

由题意可得∠AOB=，∴由勾股定理可得[+22]++22]=+42，

求得T=，

故答案为：．

【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和最值，勾股定理的应用，属于基础题．

10．（5分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是πcm2．

【分析】由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案．

【解答】解：由题意可知球的体积为：×13=cm3，

圆锥的体积为：×π×12×h=hcm3，

因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，

所以=h，所以h=4cm，

圆锥的母线：l==cm．

故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2，

故答案为：π

【点评】本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．

11．（5分）已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为．

【分析】取AC，BC的中点分别为E，F；化简可得2+4=0，从而记||=x，则||=2x，|AB|=6x，|AC|=|EC|=，|EH|=2xcosA，从而可得=cosA，从而解得．

【解答】解：∵+2+3=，

∴++2+2=，

取AC，BC的中点分别为E，F；

∴2+4=0，

记||=x，则||=2x，

|AB|=6x，|AE|=|EC|=，|EH|=2xcosA，

故=cosA，

即=2cosA，

解得cosA=或cosA=﹣（舍去），

故A=，

故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量的化简运算及解三角形的应用，同时考查了数形结合的思想方法应用．

12．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x ∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为2﹣2 ．

【分析】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2

﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．

【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，

∴f′（x）=2ax+b，

∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，

∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，

即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，

故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，

即b2≤4ac﹣4a2，

∴4ac﹣4a2≥0，

∴c≥a＞0，

∴，

故≤===≤=2﹣2，

故答案为：2﹣2

【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．

13．（5分）当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．

【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．

【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，

可设x=cosθ，y=sinθ，

则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；

∴﹣≤x+2y≤，

∴当a≥时，

|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；

∴实数a的取范围是[，+∞）．

故答案为：．

【点评】本题考查了圆的方程以及绝对值的定义与应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．

14．（5分）已知实数a

1，a

2

，a

3

不全为零，正数x，y满足x+y=2，设的最大值

为M=f（x，y），则M的最小值为．

【分析】讨论a

2=0，a

2

≠0，对原分式分子分母同除以a

2

，运用x≤|x|，然后分子运用柯西不

等式，分母运用均值不等式，再化简得到M=，根据条件正数x，y满足x+y=2，消去y，配方求出x2+y2的最小值，从而得到M的最小值．

【解答】解：若a

2

=0，则=0，

若a

2

≠0，则=≤

≤=，

∴M=，

∵正数x，y满足x+y=2，即y=2﹣x，

∴x2+y2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4=2（x﹣1）2+2，

当x=1时，x2+y2取最小值2，

∴M的最小值为．

故答案为：．

【点评】本题主要考查柯西不等式及均值不等式的运用，考查转化思想及配方思想，是一道综合题．

二、解答题（共6小题，满分90分）

15．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A

1B

1

C

1

中，CC

1

⊥底面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B

1

C

1

和

BC的中点．

（1）求证：MB∥平面AC

1

N；（2）求证：AC⊥MB．

【分析】（1）证明MC

1NB为平行四边形，所以C

1

N∥MB，即可证明MB∥平面AC

1

N；

（2）证明AC⊥平面BCC

1B

1

，即可证明AC⊥MB．

【解答】证明：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A

1B

1

C

1

中，因为点M，N分别是B

1

C

1

，BC的中点，

所以C

1M∥BN，C

1

M=BN．

所以MC

1

NB为平行四边形．

所以C

1

N∥MB．

因为C

1N?平面AC

1

N，NB?平面AC

1

N，

所以MB∥平面AC

1

N；

（2）因为CC

1

⊥底面ABC，

所以AC⊥CC

1

．

因为AC⊥BC，BC∩CC

1

=C，

所以AC⊥平面BCC

1B

1．

因为MB?平面BCC

1B

1，

所以AC⊥MB．

【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

16．（15分）设．

（1）求函数f （x ）的最小正周期与值域；

（2）设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，，若f （A ）=1，

求A ，b ．

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f （x ）=sin （2x ﹣）（x

∈R ），利用正弦函数的性质即可求解． （2）由题意可得sin （2A ﹣

）=1．由A 为锐角，可求2A ﹣

∈（﹣

，

），利用正弦

函数的性质可求A 的值，进而利用余弦定理解得b 的值． 【解答】（本题满分14分）

解：（1）化简得：f （x ）=sin （2x ﹣

）（x ∈R ），

所以最小正周期为π，值域为[﹣1，1]．…（7分） （2）因为f （A ）=sin （2A ﹣）=1．

因为A 为锐角， 所以2A ﹣∈（﹣，

），

所以2A ﹣=，

所以A=

．

由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 得b 2﹣4b+4=0．解得b=2．…（14分）

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，利用正弦函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

17．（15分）如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：+

=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，且焦距为2

，

动弦AB 平行于x 轴，且|F 1A|+|F 1B|=4． （1）求椭圆C 的方程；

（2）若点P 是椭圆C 上异于点A ，B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若MF 2、NF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1?k 2是定值．

【分析】（1）动弦AB平行于x轴，|F

1B|=|F

2

A|，且|F

1

A|+|F

1

B|=4，可得|F

2

A|+|F

1

A|=4=2a，解

得a．又2c=2，b2=a2﹣c2，解出即可得出．

（2））F

1，F

2

．设A（x

，y

），B（﹣x

，y

），P（m，n）（P≠A，B），=1，

=1．直线PA方程：y﹣n=（x﹣m），可得：M坐标．同理可得：N坐标．再利用斜率计算公式进而得出．

【解答】解：（1）∵动弦AB平行于x轴，∴|F

1B|=|F

2

A|，且|F

1

A|+|F

1

B|=4，

∴|F

2A|+|F

1

A|=4=2a，解得a=2．

又2c=2，解得c=．∴b2=a2﹣c2=2．

∴+=1．

（2））F

1，F

2

．

设A（x

0，y

），B（﹣x

，y

），P（m，n）（P≠A，B），=1，=1．

直线PA方程：y﹣n=（x﹣m），可得：M．直线PB方程：y﹣n=（x﹣m），可得：N．

∴k

1=，k

2

=，

∴k

1k

2

=×===﹣1为定值．

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

18．（15分）现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．

（1）试求S关于θ的函数关系式；

（2）求S的最大值．

【分析】（1）设M是CD中点，连OM，推出∠COM=∠DOM=，MD=Rsinθ，利用△CEO

≌△DFO，转化求解∠DFO=，在△DFO中，利用正弦定理，求解S=S

△

COD +S

ODF

+S

OCE

=S

△COD

+2S

ODF

的解析式即可．

（2）利用S的解析式，通过三角函数的最值求解即可．

【解答】解：（1）设M是CD中点，连OM，由OC=OD，可知OM⊥CD，∠COM=∠DOM=，，MD=Rsinθ，

又OE=OF，EC=FD，OC=OD，可得△CEO≌△DFO，

故∠EOC=∠DOF，可知，…（2分）

又DF⊥CD，OM⊥CD，所以MO∥DF，故∠DFO=，

在△DFO中，有，

可得…（5分）

所以S=S

△COD +S

ODF

+S

OCE

=S

△COD

+2S

ODF

=

=…（8分）

（2）…（10分）

=（其中）…（12分）

当，即时，sin（2θ+φ）取最大值1．

又，所以S的最大值为．…（14分）

【点评】本题考查函数与方程的实际应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．

19．（15分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”

（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；

（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；

（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．

【分析】（1）由题意可得（a+x）2=k（a﹣x）2，化为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，

需满足条件，解方程即可判断；

（2）哟题意可得sin（a+x）=ksin（a﹣x），运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；

（3）由（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），可得f（x）为周期为4的函数，求得0＜x＜1，1＜x＜2，2＜x＜3，3＜x＜4，x=0，1，2，3，4的函数解析式，可得2014＜x＜2015，2015＜x＜2016，x=2014，2015，2016的解析式，即可得到所求零点．

【解答】解：（1）由f（x）=x2及f（a+x）=kf（a﹣x），可得

（a+x）2=k（a﹣x）2，即为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，

需满足条件，解得，故k=1≠0，a存在，

所以f（x）=x2∈M．

（2）由f（x）=sinx∈M得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），

sinacosx+cosasinx=k（sinacosx﹣cosasinx），

所以（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，

sin（x+φ）=0对任意的x∈R都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，

即cos2a=﹣（k+），由于|k+|≥2（当且仅当k=±1时，等号成立），

所以|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．

其中k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+，n∈Z；

k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．

故函数f（x）的“伴随数对”为（nπ+，1）和（nπ，﹣1），n∈Z．

（3）因为（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，

所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），于是f（x+4）=f（x），

故函数f（x）是以4为周期的函数．

若0＜x＜1，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos（x），

若2＜x ＜3，则1＜4﹣x ＜2，此时f （x ）=﹣f （4﹣x ）=﹣cos （x ）， 若3＜x ＜4，则0＜4﹣x ＜1，此时f （x ）=﹣f （4﹣x ）=cos （

x ），

f （x ）=故f （x ）=

当2014≤x ≤2016时，函数f （x ）的零点分别为2014，2015，2016．

【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，主要考查函数的周期性和函数的解析式的求法，函数的零点的求法，考查运算能力，属于中档题．

20．（15分）已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1﹣a n （n=1，2，3，…）． （1）若b n =10﹣n ，求a 16﹣a 5的值； （2）若

且a 1=1，则数列{a 2n+1}中第几项最小？请说明理由；

（3）若c n =a n +2a n+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{a n }为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）”．

【分析】（1）判断{b n }是等差数列．然后化简a 16﹣a 5=（a 16﹣a 15）+（a 15﹣a 14）+（a 14﹣a 13）+…+（a 6﹣a 5）利用等差数列的性质求和即可．

（2）利用a 2n+3﹣a 2n+1=22n+1﹣231﹣2n ，判断a 2n+3＜a 2n+1，求出n ＜7.5，a 2n+3＞a 2n+1求出n ＞7.5，带带数列{a 2n+1}中a 17最小，即第8项最小．． 法二：化简，求出

a 2n+1=a 1+

b 1+b 2+b 3+…

+b 2n =

，利用基本不等式求出最小值得到数列{a 2n+1}中的第8项最小．

（3）若数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，说明数列{c n }为等差数列． 由b n =a n+1﹣a n =d （n=1，2，3，…），推出b n ≤b n+1，若数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n }的公差为D ，转化推出b n+1=b n （n=1，2，3，…），说明数列{a n }为等差数列．得到结果．

【解答】解：（1）由b n =10﹣n ，可得b n+1﹣b n =（9﹣n ）﹣（10﹣n ）=﹣1，故{b n }是等差数列． 所以a 16﹣a 5=（a 16﹣a 15）+（a 15﹣a 14）+（a 14﹣a 13）+…+（a 6﹣a 5）

=…（4分）

（2）a 2n+3﹣a 2n+1=（a 2n+3﹣a 2n+2）+（a 2n+2﹣a 2n+1）=b 2n+2+b 2n+1=（22n+2+231﹣2n ）﹣（22n+1+232﹣2n ）=22n+1﹣231

﹣2n

…（6分）

由a 2n+3＜a 2n+1?22n+1﹣231﹣2n ＜0?n ＜7.5，a 2n+3＞a 2n+1?22n+1﹣231﹣2n ＞0?n ＞7.5，…（8分） 故有a 3＞a 5＞a 7＞…＞a 15＞a 17＜a 19＜a 20＜…，

所以数列{a 2n+1}中a 17最小，即第8项最小． …（10分） 法二：由，…（5分） 可

知

a 2n+1=a 1+

b 1+b 2+b 3+

…

+b 2n ==

…（8分）

（当且仅当22n+1=233﹣2n ，即n=8时取等号）

所以数列{a 2n+1}中的第8项最小． …（10分） （3）若数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，

则c n+1﹣c n =（a n+1﹣a n ）+2（a n+2﹣a n+1）=d+2d=3d 为常数，

所以数列{c n }为等差数列． …（12分）

由b n =a n+1﹣a n =d （n=1，2，3，…），可知b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）． …（13分） 若数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n }的公差为D ， 则c n+1﹣c n =（a n+1﹣a n ）+2（a n+2﹣a n+1）=b n +2b n+1=D （n=1，2，3，…），…（15分） 又b n+1+2b n+2=D ，故（b n+1﹣b n ）+2（b n+2﹣b n+1）=D ﹣D=0，

又b n+1﹣b n ≥0，b n+2﹣b n+1≥0，故b n+1﹣b n =b n+2﹣b n+1=0（n=1，2，3，…），…（17分） 所以b n+1=b n （n=1，2，3，…），故有b n =b 1，所以a n+1﹣a n =b 1为常数． 故数列{a n }为等差数列．

综上可得，“数列{a n }为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）”． …（18分）

【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质等比数列的判断，数列求和，转化思想