定积分与微积分基本定理练习题(基础、经典、好用)
定积分与微积分基本定理
一、选择题 1.(2013·汕尾质检)??01(e x +2x)d x 等于( )
A .1
B .e -1
C .e
D .e +1
2.(2013·湛江模拟)曲线y =sin x ,y =cos x 与直线x =0,x =π
2所围成的平面区域的面积为( )
A .∫π
20(sin x -cos x)d x
B .2∫x
40(sin x -cos x)d x
C .2∫π
40(cos x -sin x)d x
D .∫π
20(cos x -sin x)d x
3.(2013·潮州模拟)设f(x)=??0x sin t d t ,则f[f(π
2)]的值等于( )
A .-1
B .1
C .-cos 1
D .1-cos 1
图2-13-3
4.如图2-13-3,曲线y =x 2和直线x =0,x =1,y =1
4,所围成的图形(阴影部分)的面积为( )
A.23
B.13
C.12
D.14
5.一物体在力F(x)=???10, (0≤x ≤2),
3x +4, (x >2)(单位:N )的作用下沿与力F(x)相同的
方向运动了4米,力F(x)做功为( )
A .44 J
B .46 J
C .48 J
D .50 J
二、填空题
6.设函数f(x)=ax 2+1,若??0
1f(x)d x =2,则a =________.
图2-13-4
7.(2013·肇庆模拟)如图2-13-4,是一个质点做直线运动的v —t 图象,则质点在前6 s 内的位移为________m .
8.(2013·广州调研)若f(x)=????
?f (x -4),x >0,
2x +∫π
60cos 3x d x ,x ≤0,则f(2 013)=________. 三、解答题
9.已知f(x)在R 上可导,f (x )=x 2+2f ′(2)x +3, 试求??0
3f(x)d x 的值.
10.求由抛物线y =x 2-1,直线x =2,y =0所围成的图形的面积.
图2-13-5
11.如图2-13-5所示,直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.
解析及答案
一、选择题
1.【解析】 ??0
1(e x
+2x)d x =(e x
+x 2
)|1
0=(e 1+12)-(e 0+02)=e .
【答案】 C
2.【解析】 当x ∈[0,π
4]时,cos x ≥sin x , 当x ∈(π4,π
2)时,sin x >cos x.
故所求平面区域的面积为∫π40(cos x -sin x)d x +∫π
2π4
(sin x -cos x)d x ,
数形结合知∫π40(cos x -sin x)d x =∫π
2π4(sin x -cos x)d x.
【答案】 C
3.【解析】 ∵f(π
2)=∫π20sin t d t =(-cos t)|π
20=1,
∴f[f(π
2)]=f(1)=??01sin t d t =(-cos t)|1
0=1-cos 1.
【答案】 D
4.【解析】 由x 2=14得x =12或x =-1
2
(舍),
则阴影部分的面积为S =∫120(14-x 2)d x +∫112(x 2-14)d x =(14x -13x 3)|1
20+(13x 3-14x)|112=14. 【答案】 D
5.【解析】 力F(x)所做的功为??0210d x +??24(3x +4)d x =20+26=46(J ).
【答案】 B 二、填空题
6.【解析】 ∵??01f(x)d x =??01(ax 2+1)d x
=(13ax 3
+x)|10=13a +1, ∴1
3a +1=2,即a =3. 【答案】 3
7.【解析】
由题图易知v(t)=?????34t , 0≤t ≤4,
9-32t ,4<t ≤6.
∴s =??06v(t)d t =??0434t d t +??46(9-3
2t)d t
=38t 2|40+(9t -34t 2)|6
4=6+3=9. 【答案】 9
8.【解析】 当x >0时,f(x)=f(x -4),则f(x +4)=f(x), ∴f(2 013)=f(1)=f(-3),
又∵∫π60cos 3x d x =(13sin 3x)|π
60=1
3,
∴f(2 013)=f(-3)=2-3+13=11
24. 【答案】
1124
三、解答题
9.【解】 ∵f(x)=x 2+2f′(2)x +3, ∴f ′(x)=2x +2f′(2), ∴f ′(2)=4+2f′(2), ∴f ′(2)=-4, ∴f(x)=x 2-8x +3, ∴??0
3f(x)d x =(
13x 3-4x 2+3x)|
30=-18.
10.【解】
作出直线x =2,曲线y =x 2-1的草图,所求面积为图中阴影部分的面积. 由x 2-1=0得抛物线与x 轴的交点坐标是(-1,0)和(1,0), 因此所求图形的面积为 S =??-11|x 2-1|d x +??12(x 2-1)d x
=??-11(1-x 2)d x +??12(x 2-1)d x =(x -13x 3)|1-1+(x 3
3-x)|21
=(1-13)-(-1+13)+(13×23-2)-(1
3-1) =1-13+1-13+83-2+23=83.
图2-13-5
11.【解】 抛物线y =x -x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1=0,x 2=1. 所以,抛物线与x 轴所围图形的面积 S =??
1(x -x 2)d x =(
x 22-13x 3)|
10=1
6.
又???y =x -x 2,y =kx ,
抛物线y =x -x 2与y =kx 两交点的横坐标为x 3=0,x 4=1-k , 所以,S 2=?
?0
1-k (x -x 2-kx)d x =(1-k 2x 2-13x 3)|1-k 0
=1
6(1-k)3.
又知S =16,所以(1-k)3=1
2, 于是k =1- 312=1-
34
2.
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名:张智 学生学号:201001164 所在班级:数学101 所在专业:数学与应用数学 指导老师:杨志林 摘要 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,自十七世纪以来,微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理,它的建立标志着微积分的完成,成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明,建立了微分中值定理与积分中值定理的联系,在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。 关键词:微积分基本定理,发展史,定理的应用,定理的证明 ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . (2)在 ()d b a f x x ? 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数()f x 叫做被 积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. 4.定积分的性质 (1)()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数); (2)[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??; (3) ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结:大概知道解题方向了,但没有解出来,请老师分析 考查知识点: ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为(4,2), 因此曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为: 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案:C 规律方法: 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点,确定出积分区间和被积函数,然后利用导数和积分的关 系求解. 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx (0≤x ≤π)与直线y=?围成的封闭图形面积是? 问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程: 规律方法: 利用定积分的知识求解。 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解,不能死记硬背。只有理解了定积分的概念,才能理解定积分的几何意义。 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主,其应用主要是求一个曲边梯形的面积,题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效()f x 在区间[a ,b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 三、教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求 定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 牛顿—莱布尼茨公式 前言 此证明主要是献给那些无论如何,竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始,然后给出积分上限函数的定义,最后总揽全局,得出结论。证明过程会尽可能地保持严密,也许你会不太习惯,会觉得多佘,不过在一些条件上如函数f(x),我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的,都是从最低层最简单开始的,所以你绝对,注意,请注意,你是绝对能看懂的,对于寻求真理的人,你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心,我建议你别看了,因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1],其中x 0=a ,x n =b ,第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义,我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积,因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限 即: 性质1:证明?b a c dx = C(b-a),其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2:F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数,证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ? 《微积分基本定理》(说课稿) 一、教材分析 1、教材的地位及作用 我所选用的教材是科学出版社出版的高等教育“十一五”规划教材《经济数学基础》,由宋劲松老师主编。微积分基本定理是第四章第二节内容,本节内容共设计两个课时,这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了不定积分和定积分这两个概念后的继续,它不仅揭示了不定积分和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 二、教学目标及重点、难点 1、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点,依据新课程标准要求,确定本节课的教学目标如下: (1)知识与技能目标:通过本节的学习,使学生了解变上限的定积分的定义及相关定理,掌握牛顿—莱布尼兹公式,通过例题及练习,使学生在增加对牛顿—莱布尼兹公式感性认识的基础上,熟练掌握求定积分的方法,从而能够熟练计算定积分. (2)能力目标:本节所讲数学知识主要是为学生学习专业课做准备。要逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、提高综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。 (3)德育目标:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 2、教学重点、难点 根据教材内容特点及教学目标的要求确定本节重点为通过探究变上限定积分与原函数的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 根据学生的年龄结构特征和心理认知特点确定本节难点:了解微积分基本定理的含义. ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的,而突破难点的关键在于让学生主动去探索,体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分,这样才能从真正意义上把握该定理的含义,提高学生的能力,体现学生的主体地位. 三、教法和学法 1、教法: 素质教育理论明确要求:教师是主导,学生是主体,只有教师在教学过程中注重引导,才能充分发挥学生的主观能动性,有利于学生创造性思维的培养和能力的提高,根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律,我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法,启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题,引导学生联想旧知识来解决和探索新知识,从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲,体现了学生的主体地位。 2、学法:微积分基本定理的证明
专题13 定积分与微积分基本定理知识点
高中数学~定积分和微积分基本原理
7.微积分基本定理练习题
2020年全国高考数学·第15讲 定积分和微积分基本定理
高中数学16微积分基本定理(教案)
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
微积分基本定理说课稿
(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解()