2017-2018学年高中数学苏教版3教学案：第3章3.3几何概型含解析

错误!

预习课本P106～109，思考并完成以下问题

1．什么是几何概型？几何概型有何

特征？

2．几何概型的计算公式是什么？

错误!

1．几何概型的定义

对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．

2．几何概型的特征

（1)在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个,即基本事件有无穷多个．

（2）在随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等,即基本

事件的发生是等可能的．

[点睛］

(1）判断一个随机试验是否为几何概型时，两个条件“无限性"与“等可能性”的验证缺一不可．

（2）注意几何概型与古典概型的区别，前者基本事件有无限个，而后者只有有限个．

(3）在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．

3．几何概型的计算公式

在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P（A)＝错误!。

这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度"分别是长度、面积和体积等．

1．下列概率模型：

①从1~10中任意取一个整数,求取到5的概率；

②从区间[1,10］内任意取一个数，求取到5的概率；

③一枚硬币连掷三次，求出现一次正面朝上的概率;

④一个十字路口的交通信号灯中，红灯、黄灯、绿灯亮的时间分别为30秒、50秒、60秒，求某辆车到达路口遇见绿灯的概率．其中是几何概型的是________（填序号)．

答案：②④

2．在区间［1,3］上任取一数，则这个数大于1。5的概率为________．

答案：0。75

3．在边长为4的正方形中有一个半径为1的圆，向这个正方形中随机投一点M,则点M落在圆内的概率为________．

答案：错误!

一维几何概型

［典例] (1)在区间［－1,2］上随机取一个数x，则｜x｜≤1的概率为________．

（2)某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，则一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率为__________．

[解析] （1)∵区间[－1，2］的长度为3，由|x｜≤1，得x∈[－1，1]，而区间［－1，1］的长度为2,x取每个值为随机的，

∴在［－1，2］上取一个数x，|x|≤1的概率P＝错误!。

（2)设上一辆车于时刻T1到达,而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点,且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．

记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上（不含端点）时，事件A发生．

∴P（A)＝错误!＝错误!＝错误!，

即该乘客等车时间超过10 min的概率是错误!.

［答案] （1)错误!（2）错误!

(1）几何概型的关键是选择测度，等可能

的角度不同，相应的测度也不同．(2)一维几

何概型，常以长度和角度为测度．

［活学活用]

1．已知函数f(x)＝log2x，x∈错误!，在区间错误!上任取一点x0，则使f（x0）≥0的概率为________．

解析：欲使f（x）＝log2x≥0，则x≥1，而x∈错误!,

∴x0∈［1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率

P＝错误!＝错误!.

答案：错误!

2．在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求使AM＞AC的概率．

解：如图所示：

设事件D为“作射线CM，使AM＞AC”．在AB 上取点C′，使AC′＝AC。

∵△ACC′是等腰三角形，

∴∠ACC′＝错误!＝75°,

∠BCC′＝90°－75°＝15°,∠ACB＝90°,

∴P（D）＝错误!＝错误!.

二维几何概型

［典例］(1）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．

（2）设关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0。

①若a是从0,1，2，3这四个数中任取一数，b是从0，1,2这三个数中任取一个数，则此方程有实根的概率为________．

②若a是从［0,3］中任取一数，b是从[0,2］中任取一个数,则此方程有实根的概率为________．

[解析］(1)由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为1

2

×π

×12＝错误!，矩形面积为2，则所求概率为错误!＝1－错误!.

（2）①此题是古典概型，所有基本事件为

（0,0)，(0，1)，（0，2），（1,0)，(1,1），（1,2)，（2,0)，（2,1)，(2，2)，(3,0),（3,1)，(3，2）共12个．

要使方程有实根则Δ＝4a2－4b2≥0,

∴a≥b，符合此条件的基本事件有

(1,0)，（1,1)，(2，0），（2，1)，（2，2），(3，0），（3，1)，（3，2）共8个．

故所求概率为8

12

＝错误!。

②该试验的全部结果所构成的区域为如图所示：即｛（a,b）｜0≤a≤3，0≤b≤2}．

构成事件的区域为图中阴影部分OABC所示,即｛(a,b)｜0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b｝．

∴所求的概率P＝错误!＝错误!＝错误!.

[答案] （1)1－π

4

（2）①错误!②错误!

如果试验的结果所构成的区域的几何度量涉及两

个变量时,要利用平面直角坐标系来讨论，可考虑用与

面积有关的几何概型概率的计算公式进行求解．对于

此类问题，关键是构造出与事件对应的几何图形，利

用区域面积，代入公式进行求解．

[活学活用]

1.如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内, 用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,则P（A）＝________。

解析：圆的半径是1，则正方形的边长是错误!，故正方形EFGH(区域d)的面积为（错误!)2＝2。又圆(区域D)的面积为π，则由几何概型的概率公式,得P(A）＝错误!。

答案：错误!

2．已知函数f（x）＝ax2－bx－1，其中a∈（0，2）,b∈(0，2）,则函数f（x）在［1，＋∞)上为增函数的概率为________．

解析：该问题是几何概型，试验的全部结果构成的区域为如图

所示正方形OABC,要使f(x）在[1，＋∞）上单调增,则错误!≤1，即b≤2a。

符合此条件的点(a，b)对应的区域为图中阴影部分，即直角梯形OABD

又S正方形OABC＝4，S梯形＝错误!×(1＋2)×2＝3.

故所求概率P＝错误!。

答案:错误!

［典例］已知正方体ABCD。A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M。

(1)求点M落在三棱锥B1.A1BC1内的概率；

(2）求点M与平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离都大于错误!的概率；

(3)求使四棱锥M。ABCD的体积小于错误!a3的概率．

[解］（1)棱长为a的正方体的体积V＝a3。

由正方体的性质可知VB1-A1B C1＝1

6

a3，

∴点M落在三棱锥B1-A1BC1内的概率为

P＝错误!＝错误!.

（2)∵两平行平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离为a,三维几何概型

∴点M与平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离都大于错误!的概率为错误!。

(3）设点M到平面ABCD的距离为h。由题意，得错误!a2h＜错误! a3，∴h＜错误!。

∴使四棱锥M­ABCD的体积小于错误!a3的概率为错误!。

如果试验的结果所成的区域可用体积来度量,我们

要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本

事件所占的总的体积及事件A所分布的体积．其概率

的计算P（A）＝错误!。

[活学活用］

用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm的概率．解：设“砂粒距离球心不小于1 cm”为事件A,球心为O，砂粒位置为M，则事件A发生，即OM≥1 cm。

设R＝3，r＝1,

则区域D的体积为V＝错误!πR3，

区域d的体积为V1＝错误!πR3－错误!πr3。

∴P(A)＝错误!＝1－错误!3＝1－错误!＝错误!.

故砂粒距离球心不小于1 cm的概率为错误!.

[层级一学业水平达标］

1．某交通路口的红绿灯闪亮时间如下，红灯28秒，黄灯2秒，绿灯30秒,则赶到路口恰好能通过的概率为________．

解析：错误!＝错误!。

答案：错误!

2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC 内部投一点,那么落在△ABD内的概率为________．解析:

这是一个几何概型(如图)．

∵D为BC的中点，∴错误!＝错误!，即所求事件的概率为错误!.

答案:错误!

3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的,且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，

故P（A）＝错误!＝0。005。

答案:0。005

4. 如图,一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为________．

解析：试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的错误!＝错误!,而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为错误!。

答案：错误!

5．有一个底面半径为1,高为2的圆柱,点O为底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O距离大于1的概率．解：区域D的体积V＝π×12×2＝2π,当P到点O的距离小于1时，点P落在以O为球心，1为半径的半球内，所以满足P到O距离大于1的点P所在区域d的体积为V1＝V－V半球＝2π－错误!π＝错误!π。所求的概率为错误!＝错误!.

［层级二应试能力达标］

1。如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为错误!,则阴影区域的面积为

________．

解析：由几何概型知，错误!＝错误!，故S阴＝错误!×22＝错误!.

答案：错误!

2。如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于________．

解析：△ABE的面积是矩形ABCD的面积的一半,由几何概型知，点Q取自△ABE内部的概率为错误!.

答案：错误!

3．在区间[－2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x｜≤m的概率为错误!,则m＝________.

解析：由题意知m＞0，则由｜x|≤m，得－m≤x≤m，所以满

足|x｜≤m的概率为m－－m

4－－2

＝错误!＝错误!，解得m＝错误!.

答案：错误!

4．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为________．（填序号）

解析：根据几何概型的面积比，①游戏盘的中奖概率为错误!；②游戏盘的中奖概率为错误!；③游戏盘的中奖概率为错误!＝错误!；④游戏盘的中奖概率为错误!＝错误!.故①游戏盘的中奖概率最大．

答案：①

5．设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)＝________.

解析：如图所示,△DPQ为圆内接正三角形，当C点位于劣弧错误!上时；弦DC＞PD;

∴P(A）＝错误!.

答案：错误!

6．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离都超过1的概率为________．解析：由题意，蚂蚁若要距离三角形的三个顶点的距离都超过1，则蚂蚁应在图中阴影部分爬行,故P＝错误!＝1－错误!。

答案：1－错误!

7．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点P,则点P 到点A的距离小于等于a的概率为________．

解析:点P到点A的距离小于等于a可以看做是随机的,点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD。A1B1C1D1可视做试验的所有结果构成的区域,可用“体积比"

公式计算概率．

P＝错误!＝错误!π。

答案:错误!π

8。如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析:如图所示，不妨设扇形的半径为2a，记两块白色区域的面积分别为S1，S2，两块阴影部分的面积分别为S3,S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝S扇形OAB＝错误!π（2a）2＝πa2①，

而S1＋S3与S2＋S3的和恰好为一个半径为a的圆的面积，即S1＋S3＋S2＋S3＝πa2②。

由①－②，得S3＝S4.

又由图可知S3＝S扇形E OD＋S扇形C OD－S正方形OEDC＝错误!πa2－a2，所以S阴影＝πa2－2a2.

故由几何概型概率公式可得所求概率P＝错误!＝错误!＝1－错误!.

答案：1－错误!

9．正方形ABCD的边长为1，在正方形内(包括边界)任取一点M，求:

(1)△AMB面积大于或等于错误!的概率；

（2）AM的长度不小于1的概率．

解：(1)如图①，取BC，AD的中点E,F，连接EF，当M在矩

形CEFD内(包括边界）运动时，△AMB的面积大于或等于错误!，由几何概型的概率公式，知P＝错误!＝错误!。

(2)如图②，以AB为半径作弧，M在阴影部分(包括边界）时，AM长度大于或等于1，由几何概型的概率公式，知P＝错误!＝1－错误!。

10．已知|x｜≤2，｜y｜≤2，点P的坐标为（x，y）．

（1）当x,y∈R时，求P满足(x－2)2＋（y－2）2≤4的概率;

（2)当x,y∈Z时，求P满足（x－2）2＋（y－2)2≤4的概率．

解:(1)如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以（2,2）为圆心,2为半径的圆面（含边界）．

∴所求的概率P1＝错误!＝错误!。

(2）满足x，y∈Z，且｜x|≤2,|y｜≤2的点(x，y）有25个，满足x,y∈Z，且（x－2）2＋（y－2）2≤4的点（x,y)有6个，∴所求的概率P2＝错误!.