全等三角形章末复习
第十二章章末总结
一、考点透视
全等三角形是中考的热点内容，很多问题都可以转化为全等三角形加以解决，在中考中有填空或选择题的形式，但更多是解答题,常与平行线、勾股定理、等腰三角形等综合，还被用来解决四边形、圆、动点问题、存在性问题等。全等三角形为今后证明线段相等或角相等等的问题提供了基本方法，是初中数学教学的一大重点
二、学法指导
三、思维导图
同步测控
一、选择题
1、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）
A. 带①去
B. 带②去
C. 带③去
D. 带①和②去
[解析]三块中只有③具有三个边或角的已知条件，且满足ASA，因此带③去。[答案]C
2、如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AD=BC，AO=BO，CO=DO，则图中
全等三角形有（）对
A . 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解析]显然，可用SSS证△AOD≌△BOC；又由AO=BO，CO=DO可得AC=BD，图中有公共边BA, 用SSS得△ABD≌△BAC；同理得△ACD≌△BDC
[答案]C
3、以下能判断两个等腰三角形全等的是（）
A. 两边长是4和5
B. 两边长是4和6
C. 两边长是7和4
D. 两边长是4和8
[解析]等腰三角形中有两条边是相等的，且腰和底边长应该满足三角形的三边关系，故只有D是一种情况8、8、4，其它的三个备选答案都有两种情况，故不一定全等。
[答案]D
4、如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，AC=BC,AB＝12，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点D，则△DEB的周长为（）
5、如图，CA⊥FB于点A，FE⊥BC于点E，且AD＝AB＝2cm，AE＝5cm，则CD＝（）cm
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
F E
D
C
B
A
[解析]由CA⊥FB于点，FE⊥BC知∠EAD＝∠CAB＝∠EFC= 90°，由对顶三角形可得∠E ＝∠C，再有AD＝AB，所以有△EAD≌△CAB，所以有AE＝AC＝5cm，问题得解。
[答案]B
二、填空题
6、[2007，沈阳]如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得
△AOB≌△DOC，你补充的条件是．
[解析]本题已知∠A＝∠D，还有对顶角∠AOB＝∠DOC，因此只要添一条边利用角角边或角边角即可得三角形全等。
[答案]AO＝DO或AB＝DC或BO＝CO
7、如图，AB∥CD,AC与BD交于点O，欲证△ABO≌△CDO，应添加的条件是（添加一个条件即可）．
[解析]由两线平行得内错角相等，而对顶角又是相等，所以已具备三个角分别相等，因此本题只要填一条边相等就行。
[答案]填AB=CD或填AO=CO或填BO=DO
8、点E为等边△ABC内一点，EA＝EB，点D为等边△ABC外一点，且BD＝AC，BE平分∠DBC，则∠BDE的度数＝（）。
[解析]连接EC。可证△AEC≌△BEC（SSS）, 得∠BCE=∠ACE=30°,再证△BEC≌△BED, 得∠BDE=∠BCE=30°
[答案] 30°
C
9、如图，以Rt△ABC的直角边AB、AC为边分别作正方形ABDE、ACFG，过点D作DN
⊥CB 于点N 、作FM ⊥BC 于点M ，若S △DBN ＝1，S △CMF ＝2，则S △ABC ＝（ ）
[解析]过点A 作BC 的垂线段AP 把△ABC 分成两个三角形，分别证这两个三角形与△BDN 、△CMF 全等即可。
[答案]3 10、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，
M 为边BC 上的点，连接AM 。如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么
S △ABM =（ ）
[解析]要求面积，只需求出边AB 上的高即可，即点M 到AB 、AC 的距离MD 、ME 。用面积法得S △ABC ＝S △ABM +S △ACM ，于是有
AB?AC
2=3×6
2
=
3MD
2
+
AC?ME
2
=
3MD
2
+
6MD
2
=
9MD
2
,所以MD＝2，问题
得解。
[答案]3
三、解答题
11、如图所示，有人用它来推算海上的船与陆地之间的距离，你认为有道理吗？请说明理由。
[解析]由ASA得两三角形全等，而全等三角形的对应高是相等的，所以有道理。
[答案]解：有道理。理由是
在ABC与A/BC中
ABC=∠A/BC
ACB=∠A/CB
∴ABC≌A/BC（ASA）
所以有两三角形面积相等，而BC是公共边，所以对应高相等，即船到岸边的距离与点A/到岸边的距离相等，所以有道理。
12、（2013?内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．
[解析]根据等腰直角三角形的意义可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．
[答案]证明∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD 中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE．
13、如图，在△ADF与△CBE中，点A、E、F、C在一条直线上，有下面四个论断：①AD ＝CB；②AF=CE；③∠B＝∠D；④AD∥BC。请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学题并写出解答过程。
E B
F D
A
[解析]这是一道开放性试题。答案不唯一。①②④结合，运用SAS可得△ADF≌△CBE得结论③；②③④结合，运用AAS可得△ADF≌△CBE得结论①；①③④结合，运用ASA 可得△ADF≌△CBE得结论②；①②③结合就成SSA,不能判定全等。
[答案] ①③④为条件，②为结论。
已知：在△ADF与△CBE中，点A、E、F、C在一条直线上，AD＝CB，∠B＝∠D，AD ∥BC。
求证：AF=CE；
证明：∵AD∥BC ∴∠A＝∠C
在△ADF与△CBE中
∠A＝∠C
∠D＝∠B
∴△ADF≌△CBE(ASA)
∴AF=CE
多问题的题
[问题较多的题，前一个问题是后几个问题的基础，解这类问题的关键是解决好第
一个问。]
1 4、[2010，湖南娄底]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连结
AE、BE，BE⊥AE于点E，延长AE交BC延长线于点F，求证：（1）FC=AD，（2）AB=BC+AD
B
[解析]（1）证FC与AD是全等三角形的对应边即可。即证△ADE≌△FCE；（2）因为FC=AD，
所以BC+AD＝BC+CF＝BF,所以证AB与BF是全等三角形的对应边即可，即证△ABE≌△FBE.
[答案]证明：（1）∵AD∥BC ∴∠D=∠ECF ∵E为CD中点∴DE=CE
∠D=∠ECF
在△ABM与△ACM中，DE=CE
∠DEA=∠CEF
∴△ABM≌△ACM（ASA）
∴FC=AD
（2）∵FC=AD ∴BC+AD＝BC+CF＝FB
∵△ABM≌△ACM ∴AE=FE ∵BE⊥AE ∴∠AEB=∠FEB=90°
BE=BE
在△ABE与△FBE中，∠AEB=∠FEB
∴△ABE≌△FBE（SAS）
∴AB=FB 又∵BC+AD＝FB
∴AB= BC+AD
15、如图，A、D、E在一条直线上,C、B、F在一条直线上，AB=CD,AD=BC,DE=BF.（1）试判断AD与BC的位置关系。（提示：连接BD或AC）（2）试判断DF与BE的关系。并说明理由。
[解析]（1）连接BD，可由SSS证得△ABD与△CDB全等，于是对应角∠ADB与∠CBD 相等，问题得解。（2）证△DEB与△BFD全等，得DF=BE，∠DBE=∠BDF，于是BE∥DF。
[答案] 解：（1）AD∥BC。理由是：
连接BD。AB=CD
在△ABD与△CDB中，AD=BC
BD=DB
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠ADB =∠CBD ∴AD∥BC。
（2）BE = DF，BE∥DF。
理由是：
AD∥BC ∴∠EDB =∠FBD
DE=BF
在△ABD与△CDB中，∠EDB =∠FBD
BD=DB
∴△ABD≌△CDB（SAS）
∴BE=DF,∠EBD =∠FDB ∴BE∥DF。
16、如图，BD与CE分别为△ABC的角平分线，并交于点O,∠A＝60°。（1）求∠BOC 的度数；（2）求证：DO=EO.（提示：在BC上截取BF＝BE，连接OF，证EO＝FO=DO）
[解析]（1）根据三角形的内角和可知∠ABC+∠ACB＝120°，又∠1＝∠2, ∠3＝∠4，所以有∠2+∠3＝60°，所以∠BOC＝120°（2）证△BEO与△BFO全等得EO=FO；证△CDO 与△CFO全等得DO＝FO，问题得解。
[答案] （1）解
∵∠A＝60°，根据三角形的内角和为180°得∠ABC+∠ACB＝120°
∵BD与CE分别为△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2, ∠3＝∠4
∴∠2+∠3＝60°根据三角形的内角和为180°得∠BOC＝120°
（2）证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF
BE=BF
在△EBO与△FBO中，∠1 =∠2
BO=BO
∴△EBO≌△FBO（SAS）
∴EO=FO,∠5 =∠6。
∵∠BOC＝120°, ∴∠5＝60°, ∠8＝60°∠6＝60°
∴∠7＝60°= ∠8
∠3＝∠4
在△CDO 与△CFO 中， CO=CO
∠7＝∠8
∴△CDO ≌△CFO （ASA ）
∴DO=FO, ∵ EO=FO
∴DO=EO
17、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点。如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时．．
点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动。（1）∠B 与∠C 相等吗？为什么？（2）探究：当点Q 的运动速度为何值时，能保证P 、Q 运动到某位置时，使△BPD 与以C 、Q 、P 为顶点的三角形全等。
[解析]（1）目前等腰三角形的性质没学，所以可用全等三角形的性质来证。但两角所在的两个三角形不具备全等条件，因此只能通过作辅助线构造三角形来得解，辅助线的叙述不只一种.（2）本题已知的都是边。所以在（1）的基础上，只要夹∠B 与∠C 的两边分别相等就能达到目标，但哪两条边是对应边不确定，因此此题有两种情况。①BD=CP,BP=CQ;②BD=CQ,BP=CP.
[答案]解：（1）∠B=∠C 。理由是：
取BC 边中点M ，则得MB=MC 。
AB=AC
在△ABM 与△ACM 中， AM=AM
BM=CM
∴△ABM ≌△ACM （SSS ）
∴∠B=∠C
B
（2）∵AB ＝10，点D 为AB 的中点，∴BD ＝5
∵∠B=∠C ∴①BD=CP,BP=CQ 时，△PBD ≌△QCP （SAS ）.此时，P 与Q 运动的路程相等，运动的时间相同，故速度相同即Q 的运动速度为3厘米/秒
②BD=CQ,BP=CP 时，△PBD ≌△PCQ （SAS ），此时BP=CP ＝8÷2＝4，BD=CQ ＝5，由P 与Q 运动的时间相同得Q 的运动速度为5÷（4÷3）＝
415（厘米/秒） ∴当点Q 的运动速度为3厘米/秒或4
15厘米/秒时能保证P 、Q 运动到某位置时，使△BPD 与以C 、Q 、P 为顶点的三角形全等。
变式思维训练
（变式题往往图形在变化，但思维过程基本上相同，不管第一个图用不用我们证，都应该思考一下证法，它是后续几个问题的基础。）
18、阅读下列材料并解答问题
人教版课本第56页第9题：
如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为D 、E ，AD ＝2.5cm ，DE ＝1.7cm ，求BE 的长。
解：∵∠ACB=90°,BE ⊥EC ，AD ⊥CE, ∴∠BEC=∠ADC=90° (垂直定义) 由∠ACB=90°可知∠BCE+∠ACD=90°,∠CAD+∠ACD=90°. ∴∠BCE=∠CAD. 在△BEC 和△CDA 中
BCE=∠CAD
∠BEC=∠CDA
BC=AC
∴△BEC ≌△CDA （AAS ）
∴CE=AD,BE=CD ∵AD ＝2.5cm ，DE ＝1.7cm ，
∴BE=CD=EC-DE=AD-DE=2.5-1.7=0.8（cm ）
问题：
⑴、图中AD 、DE 、BE 之间的关系如何？
⑵、已知：∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为D 、E 。如
图甲位置时，猜想AD 、DE 、BE 之间的关系，并说明你的猜想理由； 如图乙位置时呢？直接写出结果不需说明理由。
A
[解析]（1）由阅读材料可知AD=BE+DE；（2）与（1）的思路完全一样，图甲可得BE=AD+DE, 图乙可得DE=AD+BE
[答案]解：（1）AD=BE+DE
（2）如图甲位置时，BE=AD+DE。理由是：
∵∠ACB=90°,BE⊥EC，AD⊥CE, ∴∠BEC=∠ADC=90° (垂直定义)
由图可知∠BCE+∠ACD=90°,∠CAD+∠ACD=90°. ∴∠BCE=∠CAD.
在△BEC 和△CDA中
BCE=∠CAD
∠BEC=∠CDA
BC=AC
∴△BEC≌△CDA（AAS）
∴CE=AD,BE=CD
∴BE=CD=EC+DE=AD+DE 即BE=AD+DE
如图乙位置时，DE=AD+BE
19、（2013?衢州）【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
[解析]（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论；
（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．
[答案]（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN ．
（2）解：结论∠ABC=∠ACN 仍成立．
理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，
∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN ，
在△BAM 和△CAN 中，
∴△BAM ≌△CAN （SAS ），
∴∠ABC=∠ACN ．
20、已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB ＝OC 。（1）小明经过探究发现：如图①，若点O 在BC 上，则AB ＝AC ；如图②，若点O 在△ABC 的内部，AB ＝AC 也成立；请你以图②为例给出相应的证明；（2）请你思考：若点O 在△ABC 的外部，AB ＝AC 成立吗？请画图表示。 A
C O
E
F 图①图②F
E
O B A
[解析]此题可以只用全等直接证AB ＝AC ，在第十三章就可以通过证∠ABC ＝∠ACB 得AB ＝AC 。连接AO 则利用HL 可得AE ＝AF ，BE ＝CF ，问题得解。
[答案] （1）证明：连接AO 。∵ OE 、OF 是点O 到AB 、AC 的距离
∴∠AEO ＝∠AFO=∠BEO ＝∠CFO =90°
在Rt △AEO 与Rt △AFO 中， AO=AO
EO ＝FO
∴Rt △AEO ≌Rt △AFO （HL ）
∴AE=AF
在Rt △BEO 与Rt △CFO 中， BO=CO
EO ＝FO
∴Rt △BEO ≌Rt △CFO （HL ）
∴BE=CF ∵ AE=AF
∴AE+BE=AF+CF 即AB=AC
（2）解：不一定成立，如图③④所示。
图②
如图，不成立图③
B 如图，成立图④
21、如图①，A 、E 、F 、C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AB ＝CD 。
（1）试证明BD 平分EF ；
（2）若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动变为②时，其余条件不变，上述结论是否成立？说明理由。
[解析]（1）用HL 证△ABF 与△CDE 全等，得BF ＝DE ；再用AAS 证△GBF 与△GDE 全等，得GE ＝GF ；（2）成立，参照（1）。注意BD 平分EF 和BD 与EF 互相平分的区别。
[答案] （1）证明：∵AE ＝CF ∴AE+EF=CF+EF ∴AF=CE ∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠AFB ＝∠CED =90°在Rt △ABF 与Rt △CDE 中，
AB ＝CD
AF=CE
∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ）
∴BF ＝DE
在△ GBF与△ GDE中
∠AFB＝∠CED
∠FGB =∠EGD
FB=EG
∴△ GBF≌△ GDE（AAS）
∴GE＝GF即BD平分EF
（2）解：仍然成立。理由是：
∵AE＝CF∴AE－EF=CF－EF ∴AF=CE ∵DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠AFB＝∠CED =90°
在Rt△ABF与Rt△CDE中，AB＝CD
AF=CE
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）
∴BF＝DE
在△ GBF与△ GDE中
∠AFB＝∠CED
∠FGB =∠EGD
FB=EG
∴△ GBF≌△ GDE（AAS）
∴GE＝GF即BD平分EF
22、（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE 相交于点P，求证：BE=AD．并求∠DPE的度数。
（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是①②③（只填序号即可）
①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；
（3）如图3，在△BCD中，∠BCD＜90°，分别以BC、CD为边在△BCD外部作正方形AGBC、正方形CDFE，连接AD、BE交于点P，求∠DPE的度数
图3P E
D C
B A
[解析] （1）根据等边三角形的性质得出BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，求出
∠BCE=∠ACD ，证出△BCE ≌△ACD ，推出BE=AD ，∠BEC=∠ADC 根据对顶三角形即可求出∠DPE=60°；
（2）求出BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，∠BCE=∠ACD ，证△BCE ≌△ACD ，推出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，同理△FDC ≌△BDE ，推出BE=CF ，∠BED=∠FCD 根据对顶三角形可求出∠DPE=60°＝∠EPC ∴∠CPA=60°；
（3）求出BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=∠ACD ，证△BCE ≌△ACD ，推出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，根据对顶三角形即可求出∠DPE=90°；
M
P
E
D C
A
图1M
图2P F
D C B A M
图3P G E
D C
B A
[答案] （1）证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD ，
在△BCE 和△ACD 中
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴BE=AD，∠CEP=∠CDA；
又∵∠DME=∠CEP+∠DPE, ∠DME=∠DCE+∠CDA（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠DCE=∠DPE=60°
（2）解：①②③都正确，
理由是：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∴②正确；
同理△FDC≌△BDE，
∴BE=CF，∠DCF=∠DEB
∴BE=AD=CF，∴①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CEP=∠CDA，
又∵∠DME=∠CEP+∠DPE, ∠DME=∠DCE+∠CDA（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠DCE=∠DPE=60°
同理∠CME=∠DCF+∠EPC, ∠CME=∠DEB+∠CDE∴∠EPC=∠CDE=60°，即
∠DPE=∠EPC =60°，由平角定义知∠CPA=60°∴③正确；
故答案为：①②③；
（3）解：∵△ABC和△CDE都是正方形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠CEP=∠CDA；
又∵∠DME=∠CEP+∠DPE, ∠DME=∠DCE+∠CDA（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠DCE=∠DPE=90°
[综合提高]
全等三角形练习题及答案
全等三角形练习题及答案 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定
9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（） A．600 B．700C．750D．850 10、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（） （A）（B） （C）（D）∥ 14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠D的度数为（）.
全等三角形压轴题精选
全等三角形压轴题精选（1） 1．（2016?常德）已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F． （1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF； （2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论． 2．（2015?菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF ⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
4．（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 5．（2013春?北京校级期中）探究 问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为______． 拓展
八年级数学上册全等三角形单元测试卷(含答案解析)
八年级数学上册全等三角形单元测试卷（含答案解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________． 【答案】10 【解析】 【分析】 由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果． 【详解】 解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ， ∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ， ∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ， ∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ， ∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠， ∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ， 过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152 DE BD ==，12 BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠= ∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ， ∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5， ∴11451022 ABC S AB CF =?=??=． 故答案为：10．
八年级数学上册全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)
八年级数学上册全等三角形单元测试卷 （word 版，含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，AB=10cm ，点P 是这个菱形内部或边上的一点．若以P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，A （P ，A 两点不重合）两点间的最短距离为______cm ． 【答案】10310- 【解析】 解：连接BD ，在菱形ABCD 中， ∵∠ABC =120°，AB =BC =AD =CD =10，∴∠A =∠C =60°，∴△ABD ，△BCD 都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P 与点D 重合时，PA 最小，最小值PA =10； ②若以边PB 为底，∠PCB 为顶角时，以点C 为圆心，BC 长为半径作圆，与AC 相交于一点，则弧BD （除点B 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在AC 上时，AP 最小，最小值为10310-； ③若以边PC 为底，∠PBC 为顶角，以点B 为圆心，BC 为半径作圆，则弧AC 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点A 重合时，PA 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； 综上所述，PA 的最小值为10310-（cm ）． 故答案为：10310-． 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．在ABC ?中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=?，
全等三角形练习题含答案
七年级全等测试 ?选择题（共3小题） 1. 如图，EB交AC于M，交FC于D, AB交FC于N,/ E=Z F=90° / B=Z C, AE=AF,给出下列结论：①/ 1 = /2;②BE=CF③厶ACN^A ABM:④CD=DN 其中正确的结论有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 如图，△ ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE AE与BD相交于点P，BF丄AE于点F.若BP=4则PF的长（） A. 2 B. 3 C. 1 D. 2 二 3. 如图，OA=OC OB=OD且0A丄OB, OCX OD,下列结论：①△ AOD^A COB ②CD=AB③/ CDA=Z ABC; 其中正确的结论是（） D A.①② B.①②③ C?①③D.②③ 二.解答题（共11小题） 4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC BD交于点O, AB=AC点E是BD上点，且AE=AD / EAD=Z BAC
（1）求证：/ ABD=/ ACD
(2)若/ ACB=65，求/ BDC的度数. B C 5. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB// DC, E是BC的中点，若AE是/ BAD 的平分线，试探究AB, AD，DC之间的等量关系，证明你的结论； (2)如图②，在四边形ABCD中，AB// DC, AF与DC的延长线交于点F, E是BC 的中点，若AE是/BAF的平分线，试探究AB，AF, CF之间的等量关系，证明你的结论. 6 .已知：在△ ABC中，AB=AC D为AC的中点，DE丄AB, DF丄BC,垂足分别为点E, F,且DE=DF求证：△ ABC是等边三角形. 7. 已知，在△ ABC中，/ A=90°, AB=AC点D为BC的中点. (1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE丄DF,求证：BE=AF (2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE丄DF,那么BE=AF吗？请利用图②说明理由. 圍①图 图圏
全等三角形解答题--答案
2016暑假作业(七) 全等三角形解答题答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共28小题） 1．（2012?邵阳）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：AD∥BC． 【解答】证明：∵AC、BD交于点O， ∴∠AOD=∠COB， 在△AOD和△COB中， ∵ ∴△AOD≌△COB（SAS） ∴∠A=∠C， ∴AD∥BC．2．（2016?重庆校级模拟）如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AE∥BD．求证：EF∥CD． 【解答】证明：∵AE∥BD， ∴∠A=∠B， ∵AC=BF， ∴AC+CF=BF+CF， ∴BC=AF， 在△EAF和△DBC中 ∵， ∴△EAF≌△DBC（SAS）， ∴∠EFA=∠BCD， ∴EF∥CD．
3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由． 【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠B=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD． ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度． ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45°， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度． 即CF⊥BD． （2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
八年级全等三角形单元测试卷(解析版)
八年级全等三角形单元测试卷（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC，
∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD=1 2 ×180°=90°， ∴顶角∠BAC=90°， 综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为30°或150°或90°． 点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________． 【答案】 5 4),0, 4 ?? ? ?? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可． 【详解】 有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝ = ∴D（0）； ②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×y A=4， ∴P（0，4）； ③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC， 由勾股定理得：OC＝AC， ∴OC＝5 4 ， ∴C（0，5 4 ）； 故答案为： 5 4),0, 4 ?? ? ?? ．
【精选】全等三角形单元测试卷(解析版)
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0． （1）求a，b的值； （2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°， ①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为； ②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标． 【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】 【分析】 （1）利用非负数的性质解决问题即可． （2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题． ②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】 （1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0 ∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0 ∴a＝﹣2，b＝4． （2）①如图1中， ∵∠APB＝45°，∠POB＝90°， ∴OP＝OB＝4， ∴P（4，0）． 故答案为（4，0）． ②∵a＝﹣2，b＝4 ∴OA＝2OB＝4 又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45° ∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90° ①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．
∴∠PCB＝∠BOA＝90°， 又∵∠APB＝45°， ∴∠BAP＝∠APB＝45°， ∴BA＝BP， 又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°， ∴∠ABO＝∠BPC， ∴△ABO≌△BPC（AAS）， ∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2， ∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2， ∴P（4，2）． ②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D． ∴∠PDA＝∠AOB＝90°， 又∵∠APB＝45°， ∴∠ABP＝∠APB＝45°， ∴AP＝AB， 又∵∠BAD+∠DAP＝90°， ∠DPA+∠DAP＝90°， ∴∠BAD＝∠DPA， ∴△BAO≌△APP（AAS）， ∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4， ∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2， ∴P（2，﹣2）． 综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．
八年级上有关全等三角形_探究题_总结
探究题讲练 类型1．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）A．330°B．315°C．310°D．320° 2．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（） A．50 B．62 C．65 D．68 3.如图，在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在点P(4,4)处,两直角边与 坐标轴交于点A和点B。 （1）求OA+OB的值；
（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值； 类型2.线段间的数量关系 基础练习 1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
2.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：AF+EF=DE； （2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
全等三角形单元测试题
全等三角形单元测试 一、选择题 1．下列三角形不一定全等的是（ ） A ．有两个角和一条边对应相等的三角形 B ．有两条边和一个角对应相等的三角形 C ．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形 D ．三条边对应相等的两个三角形 2．下列说法： ①所有的等边三角形都全等 ②斜边相等的直角三角形全等 ③顶角和腰长对应相等的等腰三角形全等 ④有两个锐角相等的直角三角形全等 其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如图，AB 平分∠CAD ，E 为AB 上一点，若AC=AD ，则下列结论错误的是（ ） A.BC=BD B.CE=DE C.BA 平分∠CBD D.图中有两对全等三角形 4.AD 是△ABC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下 列结论中错误的是 ( ) A.DE=DF B.AE=AF C.BD=CD D.∠ADE=∠ADF 5.在△ABC 中，∠B=∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是130°，那么△ABC 中与这个 角对应的角是（ ）． A ．∠A B ．∠B C ．∠C D ．∠B 或∠C 6.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AD=CD ，BD=ED ，若∠ABC=54°，则∠E=（ ）． A ．25° B ．27° C ．30° D ．45° 7.如下左图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，且AB ＝10 cm ， D A C E B
F E D C B A 则△BED 的周长为 ( ) A ．5 cm B ．10 cm; C ．15 cm D ．20 cm 8．如上右图，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BOF ≌△COE ；③ 点O 在∠BAC 的角平分线上，其中正确的结论有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 9.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 作BE ⊥AD 于E ，过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，则( ) A 、AF=2BF; B 、AF=BF; C 、AF>BF; D 、AF 全等三角形单元练习（Word版含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3 ∴BE ＝ 23﹣6； ③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45° ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAE ＝45° ∴AE 平分∠BAC ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝ 1 2 BC ＝3． 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形 （1）如图，在ABC ?中，25,105A ABC ∠=?∠=?，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ?分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______． （2）已知在ABC ?中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ?分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________． 【答案】130? 1807? ?? ??? 【解析】 【分析】 （1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=?，即可得到答案； （2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答 图12 图A ' C A D B E 21图4 C A D B E 图10 C A D B E F 图2 图6 m n C A B 图11 12C A D B E F M N O A B C D F 图 5 A B D C E F 图1 图3 45321D A O E C B D A C B 全等三角形综合复习测试题 一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！（每小题3分，共30分） 1．已知等腰三角形的一个内角为50，则这个等腰三角形的顶角为【 】. （A ）50 （B ）80 （C ）50或80 （D ）40或65 2. 如图1所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，且ABC S △＝4平方厘米，则BEF S △的值为 【 】. （A ）2平方厘米 （B ）1平方厘米 （C ） 12平方厘米 （D ）1 4 平方厘米 3. 已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，且第三边为奇数，则第三边长为【 】. （A ）5厘米 （B ）7厘米 （C ）9厘米 （D ）11厘米 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图2所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM =ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合．过角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是 【 】. （A ）HL （B ）SSS （C ）SAS （D ）ASA 5. 利用三角形全等所测距离叙述正确的是（ ） A.绝对准确 B.误差很大，不可信 C.可能有误差，但误差不大，结果可信 D.如果有误差的话就想办法直接测量，不能用三角形全等的方法测距离 6. 在图3所示的3×3正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于 【 】. （A ）145° （B ）180° （C ）225° （D ）270° 7. 根据下列条件，能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的是 【 】. （A ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，∠A =∠A ′ （B ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，AC =B ′C ′ （C ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′ （D ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，△ABC 的周长等于△A ′B ′C ′的周长 8. 如图4所示，△ABC 中，∠C =90°，点D 在AB 上，BC =BD ，DE ⊥AB 交AC 于点E ．△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6．则BC 的长为 【 】. （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 9. 将一副直角三角尺如图5所示放置，已知AE BC ∥，则AFD ∠的度数是 【 】. （A ）45 （B ）50 （C ）60 （D ）75 图7 图8 10. 如图6所示，m ∥n ，点B ，C 是直线n 上两点，点A 是直线m 上一点，在直线m 上另找一点D ，使得以点D ，B ，C 为顶点的三角形和△ABC 全等，这样的点D 【 】. （A ）不存在 （B ）有1个 （C ）有3个 （D ）有无数个 二、填一填，要相信自己的能力！（每小题3分，共30分） 1．在ABC ?中，若A ∠=112 3 B C =∠，则ABC ?是 三角形. 2. 如图7所示，BD 是ABC ?的中线，2AD =，5AB BC +=，则ABC ?的周长是 . 3. 如图8所示所示，在ABC ?中，BD ，CE 分别是AC 、AB 边上的高，且BD 与CE 相交于点O ，如果135BOC ∠=?，那么A ∠的度数为 . 4. 有5条线段，长度分别为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，以其中三条线段为边长，共可以组成________个形状不同的三角形． 5. 如图9所示，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1＋∠2=100°，则∠A 的大小等于_____度． 6. 如图10所示，有两个长度相同的滑梯(即BC =EF )，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则△ABC ≌△DEF ，理由是______． 7. 如图11所示，AD ∥BC ，AB ∥DC ，点O 为线段AC 的中点，过点O 作一条直线分别与AB 、CD 交于点M 、N ．点E 、F 在直线MN 上，且OE =OF ．图中全等的三角形共有____对． 8. 如图12所示，要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使BC =CD ，过D 作BF 的垂线DE ，与AC 的延长线交于点E ，则∠ABC =∠CDE =90°，BC =DC ，∠1=______，△ABC ≌_________，若测得DE 的长为25 米，则河宽AB 长为_________． 9. 如图13所示，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ． 10. 如图14所示，三角形纸片ABC ，AB =10厘米，BC =7厘米，AC =6厘米．沿 过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△AED 的周长为______厘米． 图14 C A D B E 图13 35° 八年级上册数学全等三角形单元测试卷（word版，含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____． 【答案】AD的中点 【解析】 【分析】 【详解】 分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出 AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短. 详解：如图，过AD作C点的对称点C′， 根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD ∴△ABP≌△DC′P ∴AP=PD 即P为AD的中点. 故答案为P为AB的中点. 点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝ 22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???． 【点睛】 本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 3．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥， 姓名: 得分: 一、选择（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）（2009?海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（） 72°60°58°50° D C．．A．B． ）CE=3.5EFD且AB=EF，，CD=3，则AC=（2．（3分）如图，△ABC≌△ 3 3.5 6.5 5 A．B．C．D． 3．（3分）如图，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，那么下列结论错误的是（） AC=CA AC=BC ∠1=∠2 ∠D=∠B A．B．C．D． 4．（3分）对于下列各组条件，不能判定△ABC≌△A′B′C′的一组是（） A．∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′B．∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′C．∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′D．AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′ 5．（3分）（2007?锦州一模）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，则判定△OAB ≌△OA′B′的理由是（） A．边边边B．角边角C．边角边D．角角边 6．（3分）（2005?广元）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配 一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（） A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去 ）上，则图中全等三角形有（AE在C，点BAD平分∠AE，AB=AD分）如图， 3．（7． 对．5．4对D3A．2对B．对C ）CD=2，则△ABD的面积是（，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=58．（3分） 如图， 0 210 2 5 D．．．C A．B 24分）8小题，每小题3分，共二、填空题.（本题共度．_________，∠O=70°C=25°，则∠AEB=OAD9．（3分）（2008?南通）已知：如图，△≌△OBC，且∠ ，可补充的一个条件ABDABC≌△∠DAB，要使△上，∠200610．（3分）（?浙江）如图，点B 在AECAB= ．（答案不唯一，写一个即可）是：_________ ，那么的周长为ACD24BC于D，△AD32宁夏）如图，311．（分）（2009?△ABC的周长为，且 全等三角形单元测试卷附答案 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3 ∴BE＝23﹣6； ③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45° ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝45° ∴AE平分∠BAC ∵AB＝AC， ∴BE＝1 BC＝3． 2 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为 ___________． 【答案】4 【解析】 【分析】 延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED， ∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案． 【详解】 延长AC至E，使CE=BM，连接DE． 全等三角形_探究题_(各种题型非常全) 探究题讲练 类型1．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（） A．330° B．315° C．310° D．320° 2．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（） A．50 B．62 C．65 D．68 3.如图，在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在点P(4,4)处,两直角边与坐标轴交于点A和点B。 （1）求OA+OB的值； （2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值； 类型2.线段间的数量关系 基础练习 1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 2.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠ D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：AF+EF=DE； （2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由． 3.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF 与边AC重合，且EF=FP． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点 D 作DF D E ⊥与点 F ， G 为BE 中点，连接AF ，DG ． （1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥； （2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明． 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析. 【解析】 【分析】 (1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可. (2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出. 【详解】 解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图， ∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°, ∴△ABD 是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF. ∴△DAE ≌△DBF. ∴BF=AE,DF=DE. ∴△FDE 是等腰直角三角形. ∴∠DFE=45°. ∵G 为BE 中点, ∴BF=EF. ∴AE=EF. ∴△AEF 是等腰直角三角形. ∴∠AFE=45°. ∴∠AFD=90°,即AF ⊥DF. （2）AF=2DG,且AF ⊥DG.理由:延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, ∵点G 为BE 的中点,BG=GE. ∵∠BGM ∠EGD, ∴△BGM ≌△EGD. ∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE. ∴∠MBE=∠EFD,BM=DF. ∵∠DAC=∠DBE, ∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE. ∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF, ∴∠BDF=45°-∠DBE. ∵∠ADE=∠BDF, ∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD. ∵BD=AD, ∴△BDM ≌△DAF. ∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM. ∵∠BDM+∠MDA=90°, ∴∠MDA+∠FAD=90°. ∴∠AHD=90°. ∴AF ⊥DG. ∴AF=2DG,且AF ⊥DG 【点睛】 本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质. 2．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板 八年级上册数学 全等三角形单元测试卷附答案 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____. 【答案】15CP ≤≤ 【解析】 【分析】 根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得. 【详解】 如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小， 此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1， 如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大， 此时CP=AC ， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5， 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5， 故答案为1≤CP≤5. 【点睛】 本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键. 2．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6，全等三角形单元练习(Word版 含答案)
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