数值计算方法试题集和答案
《计算方法》期中复习试题
一、填空题：
1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得
?≈3
1
_________
)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：，
2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数为 ，
拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，
)2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=
x x x x x x x L
3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；
4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；
答案
)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---
=+
5、对1)(3
++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；
6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；
7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为
( 1
2+-n a b )；
8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1
d )(x
x f ≈(
?++-≈1
)]
321
3()3213([21d )(f f x x f )，代数精
度为( 5 )；
12、 为了使计算
32)1(6
)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表
达式改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式
19992001-改写为 199920012
+ 。
13、 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区
间为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 14、 计算积分?1
5
.0d x
x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛
卜生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。
15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿
插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。
16、 求积公式
?∑=≈b
a k n
k k x f A x x f )(d )(0
的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具
有( 12+n )次代数精度。 17、
已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求?5
1
d )(x
x f ≈( 12 )。
18、 设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( )。
19、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。
20、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(21
10)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则
a =( 3 )，
b =（ 3 ），
c =（ 1 ）。
21、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
0)((
1 )，
∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((
j
x )，当
2
≥n 时
=
++∑=)()3(20
4
x l x x
k k n k k
( 32
4++x x )。
22、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导
数。
23、改变函数f x x x ()=+-1 (x >
>1)的形式，使计算结果较精确 ()x x x f ++=
11
。
24、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对
分 10 次。
25、设
()???≤≤+++≤≤=21,10,22
3
3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则
a= 3 , b= -3 , c= 1 。 26、若用复化梯形公式计算?
10
dx
e x ，要求误差不超过6
10-，利用余项公式估计，至少用
477个求积节点。
27、若4
321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。
28、数值积分公式1
12
18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为
2 。 选择题
1、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。 A ． 2 B ．5 C ． 3 D ． 4
2、舍入误差是( A )产生的误差。
A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 3、是π的有( B )位有效数字的近似值。
A ． 6
B ． 5
C ． 4
D ． 7 4、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。 A ． 模型 B ． 观测 C ． 截断 D ． 舍入
5、用1+3x
近似表示3
1x +所产生的误差是( D )误差。
A ． 舍入
B ． 观测
C ． 模型
D ． 截断 6、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
7、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2 8、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 2 9、( D )的3位有效数字是×102。
(A) ×103 (B) ×10－2 (C) (D) ×10－1
10、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=
(x)，则f(x)=0
的根是( B )。
(A) y=
(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=
(x)交点的横坐标
(C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=(x)的交点
11、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。
(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)，
(B)
)!1()
()()()()1(+=
-=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x －x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)， (D)
)
()!1()
()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=
-=ωξ
12、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列
{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。
)()()D (0
)()()C (0
)()()B (0
)()()A (0000<'<''>'>''x f x f x f x f x f x f x f x f
13、为求方程x3―x2―1=0在区间[,]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相
应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。
(A)
1
1:,1
1
12-=-=+k k x x x x 迭代公式
(B)21211:,11k
k x x x x +=+
=+迭代公式
(C)
3
/12123)
1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式
(D)
11:,12
2
1
2
3+++==-+k k k
k x x x x x x 迭代公式
14、在牛顿-柯特斯求积公式：?
∑=-≈b
a
n
i i n i x f C a b dx x f 0)()
()()(中，当系数)
(n i C 是负值时，
公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，
（1）二次； （2）三次；
（3）四次； （4）五次
151732.≈计算4
1)x =，下列方法中哪种最好（ ）
(A)28- (B)24(-； (C ；。 26、已知
33
0221224()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数，则,a b 的值为
( )
(A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。
） i x １ ２ ３ ()i f x -1 (A)； (B)4； (C) ； (D ) 2。 17、形如112233()()()()
b a
f x dx A f x A f x A f x ≈++?
的高斯（Gauss ）型求积公式的代数精
度为（ ）
(A)9； (B)7； (C ) 5； (D) 3。
18、计算3的Newton 迭代格式为( )
(A)
132k k k x x x +=+；(B )1322k k k x x x +=+；(C) 122k k k x x x +=+；(D) 133k k k x x x +=+
。 19、用二分法求方程32
4100x x +-=在区间12[,]内的实根，要求误差限为31102ε-=?，
则对分次数至少为( )
(A )10； (B)12； (C)8； (D)9。
20、设()i l x 是以019(,,,)k x k k ==L 为节点的Lagrange 插值基函数，则9
0()i
k kl k ==
∑( ) (A)x ； （B ）k ； （C ）i ； （D ）1。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度 (A )5； (B)4； (C)6； (D)3。
21、已知
33
0221224()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数，则,a b 的值为( ) (A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。
35、已知方程3
250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在02x =不收敛的是
( )
(A)3125k k x x +=+； (B)152k k x x +=+； (C )315k k k x x x +=--； (D)
3
1225
32k k k x x x ++=-。 x
0 1 2 3 4 ()f x
1 2 4 3 -5 (A ) 4； (B)2； (C)1； (D)3。
23、5个节点的Gauss 型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8； (B )9； (C)10； (D)11。
三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）
1、已知观察值)210()(m i y x i i ，，，，
，Λ=,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时，)(x P n 的次数n 可以任意取。 ( )
2、用1-22
x 近似表示cos x 产生舍入误差。 ( )
3、))(()
)((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。 (
)
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
(
)
5、矩阵A =?
????
??-521352113具有严格对角占优。 ( )
四、计算题：
1、求A 、B 使求积公式
?-+-++-≈1
1)]21
()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求
?
=2
1
1dx
x I (保留四位小数)。
答案：2
,,1)(x x x f =是精确成立，即
???
??=+=+32212222B A B A 得98,91==B A
求积公式为)]21
()21([98)]1()1([91)(1
1f f f f dx x f +-++-=?-
当3)(x x f =时，公式显然精确成立；当4
)(x x f =时，左=52，右=31。所以代
数精度为3。
69286.0140
97
]
3
21132/11[98]311311[9131111322
1
≈=
+++-++++-≈+=??--=dt t dx x x t
2、已知
i x
1 3 4 5
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。
答案：
)53)(43)(13()
5)(4)(1(6
)51)(41)(31()5)(4)(3(2
)(3------+------=x x x x x x x L
)45)(35)(15()
4)(3)(1(4
)54)(34)(14()5)(3)(1(5
------+------+x x x x x x
差商表为
)
4)(3)(1(4)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P
5.5)2()2(3=≈P f 5、已知
求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。 答案：解：
正规方程组为
???
?
?=+==+41
34103101510520
120a a a a a
1411,103,710210=
==a a a
221411103710)(x x x p ++=
x
x p 711
103)(2+=' 103
)0()0(2
='≈'p f 6、已知x sin 区间[，]的函数表
如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。
答案：解： 应选三个节点，使误差
|)(|!3|)(|33
2x M x R ω≤
尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点
}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果
596274.063891.0sin ≈，
且
4
1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!
31
596274
.063891.0sin -?≤----≤
-
7、构造求解方程0210=-+x e x
的根的迭代格式Λ,2,1,0),(1==+n x x n n ?，讨论其收敛
性，并将根求出来，4
110||-+<-n n x x 。
答案：解：令 010)1(,
02)0(,
210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x
.
且
010e )(>+='x
x f )(∞+-∞∈?，对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程
0)(=x f 变形为
)e 2(101
x x -=
则当)1,0(∈x 时
)e 2(101
)(x x -=
?，
1
10
e
10e |)(|<≤-='x x ?
故迭代格式
)e 2(101
1n x n x -=
+
收敛。取5.00=x ，计算结果列表如下：
且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .
10、已知下列实验数据
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
解：当0 ，则 e )(≤''x f ，且x x d e 1 0?有一位整数. 要求近似值有5位有效数字，只须误差 4) (11021 )(-?≤ f R n . 由 )(12)()( 2 3 ) (1ξf n a b f R n ''-≤，只要 4 22) (1102112e 12e ) e (-?≤≤≤n n R x n ξ 即可，解得 ???=?≥ 30877.67106e 2n 所以 68=n ，因此至少需将 [0,1] 68等份。 12、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式 )(2x P ,并估计误差。 解： )15.0)(05.0() 1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----? +----? =--x x e x x e x P )5.0(2)1(4)1)(5.0(2) 5.01)(01() 5.0)(0(15.01-+----=----? +---x x e x x e x x x x e 又 1 |)(|max ,)(,)(] 1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x 故截断误差 |)1)(5.0(|!31 |)(||)(|22--≤ -=-x x x x P e x R x 。 14、给定方程 01e )1()(=--=x x x f 1) 分析该方程存在几个根； 2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。 解：1）将方程 01e )1(=--x x （1） 改写为 x x -=-e 1 （2） 作函数1)(1-=x x f ，x x f -=e )(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*∈x 。 2) 将方程（2）改写为 x x -+=e 1 构造迭代格式 ?? ?=+=-+5.1e 101x x k x k ),2,1,0(Λ=k 计算结果列表如下： 3) x x -+=e 1)(?，x x --='e )(? 当]2,1[∈x 时，]2,1[)]1(),2([)(?∈???x ，且 1e |)(|1<≤'-x ? 所以迭代格式 ),2,1,0()(1Λ==+k x x k k ?对任意]2,1[0∈x 均收敛。 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x 0=, 计算三次，保留五位小数。 解：3是03)(2 =-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为 n n n n x x x x 23 2 1 -- =+， 即 ) ,2,1,0(2321Λ=+=+n x x x n n n 取x 0=, 列表如下： 16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解： )12)(12() 1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+? --+-+?+------? =x x x x x x x L )1)(1(34 )2)(1(23)2)(1(32-+--+---= x x x x x x 04167 .0241 )5.1()5.1(2≈=≈L f 17、n =3,用复合梯形公式求x x d e 10?的近似值（取四位小数）,并求误差估计。 解： 7342.1]e )e e (2e [3201d e 1210 310 ≈+++?-= ≈?T x x x x x f x f e )(,e )(=''=，10≤≤x 时，e |)(|≤''x f 05.0025.0108e 312e |e |||2 3≤==?≤ -=ΛT R x 至少有两位有效数字。 20、（82 bx a y += 解： },1{2 x span =Φ ??? ???=22 2 2 38312519 1111T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ??????=3529603339133914A A T ? ?????=7.1799806.173y A T 解得： ??? ???=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 21、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx e x ?-1 0时，试用余 项估计其误差。用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。 解：001302 .07681 81121)(12][022==??≤''--=e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++?+= 6329434.0= 22、（15分）方程013 =--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1） 31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)x x 11+ =对应迭代格式n n x x 111+=+；（3） 13-=x x 对应迭代格式 131-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。 解：（1）32 1(31 )(-+='）x x ?， 118.05.1<='）（?，故收敛； （2） x x x 1 121 )(2+ - ='?，117.05.1<='）（?，故收敛； （3）23)(x x ='?， 15.135.12>?='）（?，故发散。 选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ， 32476.15=x ，32472.16=x 25、数值积分公式形如 ?'+'++=≈1 ) 1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精 度尽量高；（2）设]1,0[)(4 C x f ∈，推导余项公式?-=10 ) ()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。 解：将3 2 ,,,1)(x x x x f =分布代入公式得： 201 ,301,207,203-==== D B B A 构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足??? ='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x 则有：?=103)()(x S dx x xH ， 2 2)4(3)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξ dx x x f dx x S x f x x R 21 03 )4(1 0)1(!4)(])()([)(-=-=??ξ 1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ηηηf f dx x x f =?=-=? 27、（10分）已知数值积分公式为： )] ()0([)]()0([2)(''20 h f f h h f f h dx x f h -++≈? λ，试确定积分公式中的参数λ，使其代 数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：1)(=x f 显然精确成立； x x f =)(时，] 11[]0[22220 -++==?h h h h xdx h λ； 2)(x x f =时，12122]20[]0[23322302= ?-=-++==?λλλh h h h h h h dx x h ； 3)(x x f =时，]30[121]0[24223403h h h h h dx x h -++==?； 4)(x x f =时，6]40[121]0[255324504 h h h h h h dx x h = -++≠=?； 所以，其代数精确度为3。 28、（8分）已知求)0(>a a 的迭代公式为： Λ 2,1,00)(2101=>+= +k x x a x x k k k 证明：对一切a x k k ≥=,,2,1Λ，且序列{}k x 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。 证明： Λ 2,1,0221)(211==???≥+= +k a x a x x a x x k k k k k 故对一切a x k k ≥=,,2,1Λ。 又1)11(21 )1(2121=+≤+=+k k k x a x x 所以k k x x ≤+1，即序列{}k x 是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。 29、（9分）数值求积公式? +≈30 )] 2()1([23 )(f f dx x f 是否为插值型求积公式为什么其代数 精度是多少 解：是。因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为 )2(121 )1(212)(f x f x x p ?--+?--= ?+=30)]2()1([23)(f f dx x p 。其代数精度为1。 30、(6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。 (6分) ()()[]n n n x x x cos 141 1+= =+φ，n=0,1,2,… ()()141 sin 41'<≤=x x φ ∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。 31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton ≈11510+(115-100)(115-100)(115-121) = ()2 5 83'''-=x x f ()()()()00163.029******* 3 61144115121115100115! 3'''25 ≈???≤---= -ξf R 32、(10分)用复化Simpson 公式计算积分 ()? =1 0sin dx x x I 的近似值，要求误差限为 5105.0-?。 ()()0.9461458812140611=???? ??+??? ??+=f f f S ()()0.94608693143421241401212=???? ??+??? ??+??? ??+??? ??+= f f f f f S 5-12210933.0151 ?=-≈ -S S S I 94608693.02=≈S I 或利用余项：()()Λ -+-+-==!9!7!5!31sin 8 642x x x x x x x f ()Λ-?+?-=!49!275142) 4(x x x f ()51 )4(≤ x f ()()5 4) 4(4 5 10 5.05288012880-?≤?≤ -= n f n a b R η，2≥n ，Λ=≈2S I 33、(10分)用Gauss 列主元消去法解方程组： ??? ??=++=++=++27 6234532424321 321321x x x x x x x x x 0.0 0000 ()T x 0000.5,0000.3,0000.2= 36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度： ()()121101 f A f A dx x xf +??? ??≈? 取f(x)=1,x ，令公式准确成立，得： 2110= +A A ，312110= +A A 310=A ，61 1=A f(x)=x 2时，公式左右=1/4; f(x)=x 3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 ∴ 公式的代数精度=2 40、(10分)已知下列函数表： (2)作均差表，写出相应的三次Newton 插值多项式，并计算15(.)f 的近似值。 解：（1） 3123023013012010203101213202123303132()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x ------------=+++ ------------ 3248 21 33x x x =-++ （2）均差表：011329327 2 618 26 43 34 1221123()()()() N x x x x x x x =++-+-- 315155(.)(.)f N ≈= 42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分 2 201 12+?dx x 的近似值（保留4位小数）。 21 12()f x x = +-----------------（2分） (1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=）： 4051206666670333333018181801111112.[(...).] T =+?+++ 0868687.= (2)复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）： 21 14066666701818182033333301111116[(..)..] S =+?++?+ 0861953.= 【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分） 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 数值计算方法I 上机实验考试题（两题任选一题） １．小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）．重力加速度取9.8米/秒2. A. 建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）； B. 求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度． ２．小型火箭初始质量为1200千克，其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生40000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数记作k ，火箭升空过程的数学模型为 0)0(,0,01222==≤≤-+?? ? ??-==t dt dx x t t mg T dt dx k dt x d m 其中)(t x 为火箭在时刻t 的高度，m =1200-15t 为火箭在时刻t 的质量，T （=30000牛顿）为推力，g (=9.8米/秒2)为重力加速度, t 1 (=900/15=60秒)为引擎关闭时刻． 今测得一组数据如下（t ~时间（秒），x ~高度（米），v ~速度（米/秒））： 现有两种估计比例系数k 的方法： 1．用每一个数据(t,x,v )计算一个k 的估计值（共11个），再用它们来估计k 。 2．用这组数据拟合一个k ． 请你分别用这两种方法给出k 的估计值，对方法进行评价，并且回答，能否认为空气阻力系数k=0.5（说明理由）． 数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4) 三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（） 期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 《数值计算方法》上机实验报告华北电力大学 实验名称数值il?算方法》上机实验课程名称数值计算方法专业班级：电力实08学生姓名：李超然学号:200801001008 成绩: 指导教师:郝育黔老师实验日期：2010年04月华北电力大学实验报告数值计算方法上机实验报吿一. 各算法的算法原理及计算机程序框图1、牛顿法求解非线性方程 *对于非线性方程，若已知根的一个近似值，将在处展开成一阶 xxfx ()0, fx ()xkk 泰勒公式 "f 0 / 2 八八,fxfxfxxxxx 0 0 0 0 0 kkkk2! 忽略高次项，有 ，fxfxfxxx 0 ()()()，，, kkk 右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程。将非线性方程的 **根代入，即fx ()0, X ，* fxfxxx 0 0 0 0, ,, kkk fx 0 fx 0 0, 解出 fX 0 *k XX,, k' fx 0 k 水将右端取为，则是比更接近于的近似值，即xxxxk, Ik, Ik fx ()k 八XX, Ikk* fx()k 这就是牛顿迭代公式。 ,2,计算机程序框图:，见, ,3,输入变量、输出变量说明: X输入变量:迭代初值，迭代精度，迭代最大次数，\0 输出变量:当前迭代次数，当前迭代值xkl ,4,具体算例及求解结果: 2/16 华北电力大学实验报吿 开始 读入 l>k /fx()0?,0 fx 0 Oxx，，01* fx ()0 XX,,，?10 kk, ,1，kN, ?xx, 10 输出迭代输出X输出奇异标志1失败标志 ,3,输入变量、输出变量说明: 结束 例：导出计算的牛顿迭代公式，并il ?算。（课本P39例2-16） 115cc （0）, 求解结果: 10. 750000 10.723837 10. 723805 10. 723805 2、列主元素消去法求解线性方程组，1,算法原理: 高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘 -个 方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上 对上三角 3/16 华北电力大学实验报告方程组求解。 列选主元是当高斯消元到第步时，从列的以下（包括）的各元素中选出绝 aakkkkkk 对值最大的，然后通过行交换将其交换到的位置上。交换系数矩阵中的 两行（包括常ekk 数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结 ,2,计算机程序框图:，见下页, 输入变量:系数矩阵元素，常向量元素baiji 输出变量:解向量元素bbb,,12n 数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)( 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 数值计算方法试题 重庆邮电大学数理学院 一、填空题(每空2分，共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收 敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过 。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, , 5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,，则p(x)是不超过二次的多项式 三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定 积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度至少具有,,,次代 数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若，证明用梯形公式计算积分所 系数之和,,, 得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。 参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围, 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题 格式 1、是,,,阶方法 二、计算题(每小题15分，共60分) 修德博学求实创新 李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、 右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001- 数值计算方法试题一 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（ ），c =（ ）。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0 =x ?，则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 MATLAB与数值分析实验报告 报告人：秦旸照 学号： 2015020901033 时间： 2016.4.8 电子科技大学电子工程学院 一、实验目的 实验一：MATLAB软件平台与程序设计实验 二、实验原理 1.熟练掌握矩阵的生成、加、减、乘、除、转置、行列式、逆、范数等运算操作。（用.m文件和Matlab函数编写一个对给定矩阵进行运算操作的程序） 2. 熟练掌握算术符号操作和基本运算操作，包括矩阵合并、向量合并、符号转换、展开符号表达式、符号因式分解、符号表达式的化简、代数方程的符号解析解、特征多项式、函数的反函数、函数计算器、微积分、常微分方程的符号解、符号函数的画图等。（用.m文件编写进行符号因式分解和函数求反的程序） 3. 掌握Matlab函数的编写规范。 4.掌握Matlab常用的绘图处理操作，包括：基本平面图、图形注释命令、三维曲线和面的填充、三维等高线等。（用.m文件编写在一个图形窗口上绘制正弦和余弦函数的图形，并给出充分的图形注释） 5. 熟练操作MATLAB软件平台，能利用M文件完成MATLAB的程序设计。 三、实验方案 1. 编程实现以下数列的图像，用户能输入不同的初始值以及系数。并以 x，y为坐标显示图像 x(n+1) = a*x(n)-b*(y(n)-x(n)^2); y(n+1) = b*x(n)+a*(y(n)-x(n)^2) 2. 编程实现奥运5环图，允许用户输入环的直径。 3. 实现对输入任意长度向量元素的冒泡排序的升序排列。 不允许使用sort函数。 四、实验结果 1. 编程实现以下数列的图像，用户能输入不同的初始值以及系数。并以 x，y为坐标显示图像 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数 是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ，则＝（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足（ ） A ． ＝0， B ． ＝0， C ．＝1， D ． ＝1， 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． B ． C ． D ． π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+= 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则 ， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数 ，那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ，所以 在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=? 实验报告 一、实验目的 二、实验内容 三、实验环境 四.实验方法 五、实验过程 1实验步骤 2 关键代码及其解释 3 调试过程 六、实验总结 1．遇到的问题及解决过程 2．产生的错误及原因分析 3．体会和收获。 七、程序源代码： 八、教师评语 实验报告 一.试验目的：练习用数值方法求解给定的非线性方程。 二.实验内容：求解人口方程: )1(5 .43e 1004.156-+ =λλλ e 要求误差小于410-。 三.实验环境：PC 计算机，FORTRAN 、C 、C ++、VB 任选一种。 四.实验方法：牛顿法 牛顿法简述：牛顿法是一种特殊的迭代法，其迭代公式为： ,2,1,0,) () (1='- =+k x f x f x x k k k k ， 当数列{}k x 收敛时，其极限值x 即为方程的解。 定理：给定方程],[,0)(b a x x f ∈= 1）设0)()(''x f x f ； 则牛顿法产生的序列{}k x 收敛于0)(=x f 在],[b a 内的唯一解x 。 五.实验过程: 1．编程: 用C 语言编出牛顿法的源程序。 2. 开机, 打开C 语言编译程序，键入所编程序源代码. 3. 调试程序, 修改错误至能正确运行. 六．实验总结: （1）牛顿法收敛速度快，但初值不容易确定，往往由于初值取得 不当而使迭代不收敛或收敛慢，但若能保证)()(1+>K K x f x f （称为下山条件），则有可能收敛。把新的近似值看作初值的话会比原来的取得好，有可能落入局部收敛的邻域。 （2）牛顿法要求)(x f '在x 附近不为零。亦即x 只能是单根, 不能求重根。可用重根加速收敛法求重根。 （3）牛顿法的每一步迭代中，都要计算一次导数值，若计算)(x f '比计算函数的近似值要麻烦的多。为了避免求导数，可用差商近似代替微商 1 1) ()()(----='K K K K K x x x f x f x f 此时牛顿迭代法改为 )() ()() (111--+--- =K K K K K K K x x x f x f x f x x . (4) 由于人口方程来源于实际问题, λ代表人口增长率, 其真实 值不会太大, 初值不应取得过大.否则会得到该方程的另外一个解 七、程序源代码： #include 1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0 .8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1) (2) 3()1(2)(2)(3) 310 N x x x x x x x =+--+--4. 给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 解： 5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值 6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) (b) 7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形 求积公式计算积分2 14dx x +?所需的步长h ，使得精度达到5 10 -。 8.求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)] 21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的 代数精度尽量高,并求其代数精度；利用 此公式求? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 9.已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 ) (x f 的三次插值多项式)(3 x P ，并求)2(f 的近 似值（保留四位小数）。 10.已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2 x p ，并求)0(f 的近似值。 11.已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表 数值计算方法考试试题 一、选择题（每小题4分，共20分） 1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ） A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若132)(3 56++-=x x x x f ，则其六阶差商 =]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ） A. 都发散； B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散； D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ） A. 02≤≤-h ； B. 0785.2≤≤-h ； C. 02≤≤-h λ； D. 0785.2≤≤-h λ ； 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 已知 ? ??? ??--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2 x 5，= 1Ax 16 ，=2A 22115+ 2. 已知 3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。 3. 要使 20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。 三、利用下面数据表， 1. 用复化梯形公式计算积分 dx x f I )(6 .28 .1? =的近似值； 解：1.用复化梯形公式计算 取 2.048 .16.2,4=-= =h n 1分 分 分分7058337 .55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04)) ()(2)((231 1 1 4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h T k n k k 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x 一、 名词解释 1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差， 简称误差。 2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能 表示其精确程度。如果近似值*x 的误差限是1 102 n -?，则称*x 准确到 小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。 3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。 4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足 （1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。 5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、 分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数 ()x ?作为()f x 的近似的方法。 6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值* x 的 相对误差，记为* ()r e x ，即** () ()r e x e x x = 7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。若||||A 满足 （1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ； （3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B数值计算方法试题及答案
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