频率域变换

数字图像处理

本章包含的主要内容
傅立叶变换 卷积和卷积定理 频率域低通滤波 频率域高通滤波
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问题1：傅立叶变换

?
空间域/灰度
?
频率域/幅值与频率
4

? 傅立叶变换的预备知识
? 点源和狄拉克函数
一幅图像可以看成由无穷多像素组成，每个像素可以看成 一个点源， 点源可以用狄拉克函数δ表示：
?∞ δ ( x, y ) = ? ?0
∞
x = 0, y = 0 其他
ε
满足
?∞
∫ ∫ δ ( x, y ) dxdy = ∫ ∫ ε δ ( x, y ) dxdy = 1
?
ε为任意小的正数
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? 狄拉克函数δ具性有的性质
9 δ函数为偶函数
δ ( ? x, ? y ) = δ ( x, y )
∞ ∞
9
位移性 或
f ( x, y ) =
?∞ ?∞
∫∫
f (α , β )δ ( x ? α , y ? β ) d α d β
f ( x, y ) = f ( x, y ) ? δ ( x, y )
9 9
可分性 筛选性
δ ( x, y ) = δ ( x)δ ( y )
f (α , β ) =
∞ ∞ ?∞ ?∞ ∞ ∞
∫∫
f ( x, y )δ ( x ? α , y ? β )dxdy
当α=β=0时
f (0, 0) =
?∞ ?∞
∫∫
f ( x, y )δ ( x, y )dxdy
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? 二维线性不变系统
满足线性和齐次性条件的系统称为二维线性系统 9 9 线性
T[ f1(x, y) + f2 (x, y)] = T[ f1(x, y)] +T[ f2 (x, y)]
齐次性
T [ af ( x, y )] = aT [ f ( x, y )]
9
二维线性系统
T[a1 f1(x, y) +a2 f2(x, y)] = aT 1 [ f1(x, y)] + a2T[ f2 (x, y)]
7

? 点扩散函数 当输入为单位脉冲δ(x,y),系统的输出为脉冲响应， 用h(x,y)表示，在图像处理中用作对点源的响应， 称为点扩散函数 ? 位移不变系统 当输入的脉冲响应延迟了α，β单位，即δ(x- α,yβ)，如果输出为h(x- α,y- β)，称此系统为位移不 变系统 对于位移不变系统，系统的输出仅和输入函数的性 态有关，和作用的起点无关
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? 二维线性位移不变系统输入，输出关系图
f (x, y) g(x,y)=f (x, y)* h ( x, y ) T
∞ ∞
g ( x , y ) = T [ f ( x , y )] = T
?∞ ?∞ ∞ ∞
∫∫
f (α , β )δ ( x ? α , y ? β ) d α d β
线性 位移不变
= =
?∞ ?∞ ∞ ∞
∫∫ ∫∫
f (α , β )T [δ ( x ? α , y ? β )]d α d β f (α , β ) h ( x ? α , y ? β ) d α d β
?∞ ?∞
线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系统脉冲响 应（点扩散函数）的卷积
9

?
傅立叶积分的定义 ? 调谐信号：
e
jω t
= cos( ω t ) + j sin( ω t )
其中j2=-1 变换因子
? 傅立叶积分：
H ( f ) =
∫
∞ ?∞
h ( t )e
? j 2 π ft
dt
其中t代表时间，f代表频率
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?
傅立叶变换的定义(一维) f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：
F (u ) =
?∞ ∞
∫
f ( x )e ?
∞
j 2 π ux
dx
其反变换为： f ( x ) =
?∞
∫
F (u ) e j 2π ux du
复数形式：F ( u ) = R ( u ) + j I ( u ) 实部： R(u ) = ∫?∞ f ( x) cos(2π ux)dx 虚部： I (u ) = ? ∫?∞ f ( x ) sin(2π ux ) dx 振幅： F ( u ) = ? ? R (u ) + I (u ) ? ?
2 2 1 2
∞
∞
相位： Φ ( u ) = a r c t g [ I ( u ) / R ( u ) ]
2 2 E ( u ) = [ R ( u ) + I (u )] 能量：
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?
一维傅立叶变换举例
方波信号：
?A f ( x) = ? ?0 ? X /2≤ x ≤ X /2 其他
振幅图形
经过傅立叶变换：
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?
一维离散傅立叶变换 一维离散傅立叶变换公式为： 变换因子
1 F (u) = N
逆变换为：
N ?1
∑
f ( x )e
?j
2 π ux N
x=0
u = 0 ,1 , L , N ? 1
f ( x) =
N ?1 u= 0
∑ F (u)e
j
2πux N
x = 0,1, L , N ? 1
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?
二维傅立叶变换 二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来： 变换因子
+∞ +∞
F ( u, v ) =
? ∞? ∞
∫∫
f ( x , y ) exp[ ? j 2 π ( ux + vy )]d xd y
+∞+∞
逆变换： f ( x, y) = 复数形式： 振幅： 相位： 能量：
? ∞? ∞
∫ ∫ F ( x, y) exp[ j 2π(ux + vy)]dudv
2 2 1 2
F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)
F (u , v ) = ? ? R (u , v ) + I (u , v ) ? ?
Φ ( u , v ) = a rc t g [ I ( u , v )
E (u , v) = [ R 2 (u , v) + I 2 (u , v)]
R (u , v )
]
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?
二维傅立叶变换举例
对于二维方波信号
傅立叶变换为：
幅度：
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?
二维离散傅立叶变换(DFT) 对于二维傅立叶变换，其离散形式为：
变换因子
? ? ux vy ? ? ? ? j 2π ? M + N ? ? ? ?? ?
1 F (u , v) = MN
逆变换为：
M ?1 N ?1 x =0 y =0
∑∑ f ( x, y)e
f ( x, y ) = ∑∑ F (u , v)e
u =0 v =0
M ?1 N ?1
? ? ux vy ? ? j π 2 ? + ?? ? ? M N ?? ?
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?
二维离散傅立叶变换的性质
1. 线性性质：
a1 f1 ( x , y ) + a 2 f 2 ( x , y ) ? a1 F1 ( u, v ) + a 2 F2 ( u, v )
1 ?u v? F? , ? 2. 比例性质： f ( ax, by ) ? ab ? a b ?
3、可分离性
1 F (u , v) = N
? j 2π x / N e ∑ x =0
N ?1
1 N
∑
y =0
N ?1
f ( x, y )e ? j 2π y / N
= Fy {Fx [ f ( x, y )]}
f ( x, y) = =
N ?1 u= 0 N ?1 N ?1 u= 0 v = 0 N ?1 v =0 j 2π ( ux + vy ) / N F ( u , v ) e ∑∑ j 2πvy / N ?1 ?1 F ( u , v ) e = F { F ∑ u v [ F ( u, v )]}
∑e
j 2πux / N
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4、平移性质 空间位移性： f ( x ? x0 , y ? y0 ) ? F ( u, v ) exp[? j 2π ( ux0 / M + vy0 / N )] 频率位移性质：
f ( x , y )e
9
j 2 π ( u0 x + v 0 y ) / N
? F ( u ? u0 , v ? v 0 )
图像中心化 把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移到 u0=v0=N/2的位置上
e
j 2π (u0x+v0 y)/ N
=e
jπ (x+y)
= (?1)
x+y
f ( x , y )( ? 1)
x+ y
N N ? F (u ? , v ? ) 2 2
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5、微分性质
f (x, y) n j u F (u,v ) ? ( 2 π ) n ?x ? n f (x, y) n j v F (u,v ) ? ( 2 π ) n ?y 6、周期性和共轭对称性
周期性：
?
n
F (u, v ) = F (u + M , v ) = F (u, v + N ) = F (u + M , v + N )
f ( x, y ) = f ( x + M , y ) = f ( x, y + N ) = f ( x + M , y + N )
共轭对称性： F * ( ? u, ? v ) = F ( u, v )
F ( u , v ) = F ( ? u ,? v )
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?
周期性的应用
图形的频谱分析和显示
7、旋转不变性 以极坐标表示x, y, u, v：
x = r cos θ u = w cos ?
y = r sin θ v = w sin ?
f(x,y)和F(u,v)可由f(r,θ)和F(w,φ)来表示，代入傅立叶 变换的公式，可以得到： f ( r ,θ + θ 0 ) ? F ( ρ , ? + θ 0 )
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