成才之路人教B数学必修1同步测试：第2章综合测试B 含答案

第二章综合测试(B)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－9

x －3与y ＝x ＋3

B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1

C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)

D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z [答案] C

[解析] A 中的两函数的定义域不同，B 、D 中两函数的对应法则不同，C 中两函数的定义域和对应法则都相同，故选C ．

2．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝x －1

2

D ．y ＝x 2，x ∈[0,1]

[答案] B

[解析] 选项B 中，函数y ＝2x 2－3的定义域为R ，令f (x )＝2x 2－3，f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，

∴函数y ＝2x 2－3为偶函数．

3．(2014～2015学年度重庆南开中学高一上学期期中测试)下列函数在(0，＋∞)上单调递减的是( )

A ．y ＝x 2

B ．y ＝x 3

2

C ．y ＝x 1

2

D ．y ＝x －1

2

[答案] D

[解析] 函数y ＝x －12＝1

x

在(0，＋∞)上单调递减．

4．(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)已知函数f (x )的定义域为[－2,1]，函数g (x )＝

f (x －1)

2x ＋1

，则g (x )的定义域为( )

A ．????－1

2，2 B ．(－1，＋∞) C ．????－1

2，0∪(0,2) D ．???

?－1

2，2 [答案] A

[解析] ∵函数f (x )的定义域为[－2,1]， ∴f (x －1)中，－2≤x －1≤1， ∴－1≤x ≤2，

∴f (x －1)的定义域为[－1,2]． 又2x ＋1>0，∴x >－12，

∴g (x )的定义域为???

?－1

2，2. 5．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)已知f (x )＝

?

????

x －5x 2(x ≤5)

f (x －2)(x >5)，则f (8)的值为( ) A ．－312 B ．－174 C ．174 D ．－76

[答案] D

[解析] f (8)＝f (8－2)＝f (6)＝f (6－2)＝f (4)＝4－5×42＝－76. 6．已知函数f (x )＝|x |－a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a ≥0 D ．a ≤0

[答案] B

[解析] 当a <0时， f (x )＝|x |－a >0恒成立，∴函数f (x )无零点； 当a ＝0时， f (x )＝|x |的零点为0，故选B ．

7．函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的单调递增区间分别是( ) A ．(－∞，0]和(－∞，1] B ．(－∞，0]和[1，＋∞) C ．[0，＋∞)和(－∞，1] D ．[0，＋∞)和[1，＋∞)

[答案] C

[解析] 本题主要考查函数单调区间的判断．函数f (x )＝|x |的单调递增区间为[0，＋∞)，函数g (x )＝x (2－x )＝－(x －1)2＋1的单调递增区间为(－∞，1]．故选C ．

8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值是( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

[答案] B

[解析] 由题意，得f (6)＝－f (4)＝f (2)＝－f (0)， ∵函数f (x )是R 上的奇函数，

∴f (0)＝0，∴f (6)＝0.

9．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截该梯形所得位于l 左边图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的图象大致为( )

[答案] C

[解析] 由题意，当0≤t <1时， f (t )＝t 2； 当1≤t ≤2时， f (t )＝1＋2(t －1)＝2t －1.

即S ＝f (t )＝?

????

t 2，0≤t <1

2t －1，1≤t ≤2，

函数图象前一段为抛物线，后一段为线段，故选C ．

10．已知二次函数f (x )图象的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝6x 2－6x ＋4 B ．f (x )＝6x 2－12x －2 C ．f (x )＝6x 2－12x ＋4 D ．f (x )＝6x 2－6x －2

[答案] C

[解析] ∵f (x )图象的顶点坐标为(1，－2)，

∴设f (x )＝a (x －1)2－2(a ≠0)．

又该图象过点(2,4)，∴a －2＝4，∴a ＝6， ∴f (x )＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4.

11．已知一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则它们在同一坐标系中的大致图象是图中的( )

[答案] D

[解析] 选项A 中，一次函数中b <0，二次函数中b ＝0，故排除A ；选项B 、C 中一次函数中b >0；二次函数中b ＝0，故排除B 、C ，故选D ．

12．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列3个命题： ①c ＝0时，f (x )是奇函数；

②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中正确的命题是( ) A ．① B ．①③ C ．①② D ．①②③

[答案] C

[解析] c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，f (－x )＝－x |－x |－bx ＝－(x |x |＋bx )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，①正确；b ＝0，c >0时，

函数f (x )＝x |x |＋c ＝?

????

x 2＋c ，x ≥0

－x 2

＋c ，x <0，

∴方程f (x )＝0只有一个实数根，②正确；

当b ＝－1，c ＝0时，方程f (x )＝0，即 x |x |－x ＝0，∴x (|x |－1)＝0， ∴x ＝0或|x |－1＝0，

即x ＝0或x ＝±1，此时方程f (x )＝0， 有三个实数根，③错误，故选C ．

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2014～2015学年度上海复旦大学附属中学高一上学期期中测试)函数y ＝2－|x |

x －1

的定义域为________________．

[答案] [－2,1)∪(1,2]

[解析] 由题意得?????

2－|x |≥0

x －1≠0

，

∴－2≤x <1或1

14．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知f (x )为一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，则函数f (x )的解析式为____________．

[答案] f (x )＝x ＋3

[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∴3[a (x ＋1)＋b ]－ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，

∴????? 2a ＝23a ＋2b ＝9，解得?

????

a ＝1

b ＝3. ∴f (x )＝x ＋3.

15．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (2x )

[答案] (1，＋∞)

[解析] 由题意得2x >x ＋1，∴x >1.

16．已知关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是________．

[答案] 1

[解析] 本题可转化为函数y ＝|x 2－4x ＋3|与y ＝a 的图象的交点个数问题．作出函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象，如图所示．由图象知，只有当a ＝1时，两函数图象才有三个交点．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)已知一次函数f (x )满足2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1.

(1)求这个函数的解析式；

(2)若函数g (x )＝f (x )－x 2，求函数g (x )的零点． [解析] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，

由题意得????? a －b ＝5a ＋b ＝1，解得?????

a ＝3

b ＝－2

.

∴f (x )＝3x －2.

(2)g (x )＝f (x )－x 2＝3x －2－x 2，

令g (x )＝0，得3x －2－x 2＝0，∴x ＝1或x ＝2. ∴函数g (x )的零点是1和2.

18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度湖北部分重点中学高一上学期期中测试)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1.

(1)求f (x )的解析式；

(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的增区间．

[解析] (1)设x <0，则－x >0，f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1， ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2－x ＋1. 又∵f (x )在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0. ∴f (x )＝????

?

x 2

－x －1 (x >0)0 (x ＝0)

－x 2

－x ＋1(x <0)

.

(2)函数f (x )的图象如图所示，

由图象可知，函数f (x )的增区间为?

???－∞，－1

2， ???

?12，＋∞.

19．(本小题满分12分)若函数f (x )＝x 2＋4x ＋a 的定义域和值域均为[－2，b ](b >－2)，求实数a 、b 的值．

[解析] ∵函数f (x )的对称轴方程为x ＝－2， ∴函数f (x )在定义域[－2，b ](b >－2)上单调递增， ∴函数f (x )的最小值为f (－2)＝a －4＝－2， ∴a ＝2.

函数f (x )的最大值为f (b )＝b 2＋4b ＋2＝b . ∴b 2＋3b ＋2＝0，∴b ＝－1或b ＝－2(舍去)， ∴b ＝－1.

20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数)满足条件：①图象过原点；②f (1＋x )＝f (1－x )；③方程f (x )＝x 有等根．

(1)求f (x )的解析式；

(2)求f (x )在x ∈[－1,2]上的值域．

[解析] (1)∵函数f (x )图象过原点，∴c ＝0， 又∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数图象的对称轴为x ＝1， ∴－b

2a ＝1，即b ＝－2a .∴f (x )＝ax 2－2ax .

又∵方程f (x )＝x 有等根， ∴方程ax 2－(2a ＋1)x ＝0有等根，

即Δ＝[－(2a

＋1)]2＝0，∴a ＝－1

2.

∴f (x )＝－1

2

x 2＋x .

(2)由(1)知，f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋1

2，

∴当x ＝1时，f (x )取最大值1

2，

当x ＝－1时，f (x )取最小值－3

2

，

∴函数f (x )在x ∈[－1,2]上的值域为[－32，1

2

]．

21．(本小题满分12分)关于x 的二次方程为x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．

[解析] 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1， ∵f (－1)＝2，f (0)＝2m ＋1， f (1)＝4m ＋2，f (2)＝6m ＋5. 由题意知抛物线

f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得满足的条件为

?????

f (－1)>0

f (0)<0f (1)<0f (2)>0

，即?????

2>0

2m ＋1<04m ＋2<0

6m ＋5>0

，解得?????

m ∈R

m <－1

2m <－

1

2

m >－56

，

∴－56

.

22．(本小题满分14分)为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b

人．假设每个窗口的售票速度为c 人/min ，且当开放2个窗口时，25min 后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完)；若同时开放3个窗口，则15min 后恰好不会出现排队现象．

(1)若要求售票10min 后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？

(2)若a ＝60，在只开1个窗口的情况下，试求第n (n ∈N *且n ≤118)个购票者的等待时间t n 关于n 的函数．

[解析] (1)设至少需要同时开x 个窗口，则根据题意有， ????

?

a ＋25

b ＝50

c ①a ＋15b ＝45c ②a ＋10b ≤10cx ③

，

由①②得，c ＝2b ，a ＝75b ，代入③得， 75b ＋10b ≤20bx ，∴x ≥174

，

即至少同时开5个窗口才能满足要求．

(2)由a ＝60得，b ＝45，c ＝8

5，设第n 个人的等待时间为t n ，则由题意得，

当n ≤60(n ∈N *)时，t n ＝

n －185

＝5(n －1)

8； 当60

5t ，

此时已有85t 人购到票离开队伍，即实际排队的人数为n －8

5

t ，

∴t n ＝(n －8

5

t )－185＝595－5n

8，

综上，t n 关于n 的函数为 t n

＝???

??

5(n －1)8 (n ≤60，n ∈N *

)595－5n 8(60

)

.