2017长春二模3月数学理科

长春市普通高中2017届高三质量监测（二） 数学理科

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．

是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）

1. 已知集合{01,2}A =，，{|2,}x B y y x A ==∈则A B =

A. {0,1,2}

B. {1,2}

C. {}1,2,4

D. {}1,4

2. 已知复数=1z i +，则下列命题中正确的个数为

①

||z ；② 1z i =- ；③ z 的虚部为i ；④ z 在复平面上对应点在第一象限. A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

3. 下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递增的函数是

A. x x y e e -=+ B . ln(||1)y x =+ C. sin ||

x

y x =

D. 1y x x =-

4. 圆22

(2)4x y -+=

关于直线3

y x =

对称的圆的方程是

A. 22((1)4x y +-=

B.22((4x y +=

C. 22(2)4x y +-=

D.

22(1)(4x y -+=

5. 堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”

答案是

C. 46500立方尺

D. 48100立方尺

6.在 △ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且1132AD AB AC =+ ，则BCD ABD

S

S ??=

A. 16

B. 13

C. 12

D. 23

7.运行如图所示的程序框图，则输出结果为

A. B. C. 2016 D. 2017 8. 关于函数2sin(3)14

y x π

=+

+，下列叙述有误．．

的是 A.其图象关于直线4

x π

=-

对称

B.其图象可由2sin()14y x π

=++图象上所有点的横坐标变为原来的1

3

倍得到 C.其图象关于点11(

,0)12

π

对称

D. 其值域是[1,3]-

9. 右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确

的是 A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高

B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降

C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州

D.平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 10. 如图，扇形AOB 的圆心角为120?，点P 在弦AB 上，且1

3

AP AB =，延长OP 交弧AB 于C .现向扇形AOB 内投点，则该点落在扇形AOC 内的概率为

A.

1

4

B.

13 C. 27

D. 38 11. 双曲线C

的渐近线方程为y x =

，一个焦点为(0,F

，点A ,点P 为双曲线第一象限

内的点，则当P 点位置变化时，PAF ?周长的最小值为

A. 8

B. 10

C.

4+

D. 3+12. 已知定义域为R 的函数()f x 的图象经过点(1,1)，且对x ?∈R ，都有()2f x '>-，

则不等式2(log |31|)3|31|x x f -<--的解集为 A. (,0)(0,1)-∞ B. (0,)+∞ C. (1,0)(0,3)- D. (,1)-∞

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13.

11()e

x dx x +=?___________.

14. 将1,2,3,4,…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是___________.

2016届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有______种.（用数字作答）

16. 已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ,PE BC ⊥于E ，

1EC =，AB =，3BC =，2PE =，则四棱锥P ABCD -外接球半径为___________.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）

已知数列{}n a 满足13

2

a =

，131()n n a a n N ++=-∈. (1)若数列{}n b 满足1

2

n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；

(2) 若数列{}n c 满足3log n n c a =，12+n n T c c c =++…，求证：(1)

2

n n n T ->

. 18. （本小题满分12分）

为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.

7731497331151964

01675541758

8801812667

9552190034589966

320

2

23

抗倒伏

易倒伏

(1) 完成2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？ (2)（i ）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X,求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；

（ii ）若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.

2()0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.072 2.706

3.841 5.024 6.6357.87910.828

P k k K ≥

( 2

2

()()()()()

n ad bc a b c d a c b d -K =++++,其中n a b c d =+++ )

19. （本小题满分12分） 已知三棱锥A BCD -中，△ABC 是等腰直角三角形，且AC ⊥BC ，2BC =，AD ⊥平面BCD ，1AD =.

（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；

（2）若E 为AB 中点，求二面角A CE D --的余弦值.

20. （本小题满分12分）

已知抛物线C ：22(0)y px p =>与直线40x +=相切. (1)求该抛物线的方程;

(2)在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，使得

22

11

||||AM BM +为定值.如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由.

21. （本小题满分12分） 已知函数2

1()(1)ln ,2

f x x a x a x a =

+--∈R . （1）若()f x 存在极值点为1，求a 的值；

（2）若()f x 存在两个不同零点12,x x ，求证：122x x +>.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.

已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为22(3sin )12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα

=+??

=?（t 为参数，(0,)2π

α∈）.

（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线； （2）设曲线2C 与曲线1C 的交点为,A B ，(1,0)P ，当7

||||2

PA PB +=时，求cos α的值. 23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.

(1) 如果关于x 的不等式|1||5|x x m ++-≤的解集不是空集，求m 的取值范围； (2) 若,a b 均为正数，求证：a b

b a

a b a b ≥.

长春市普通高中2017届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. B 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.

【试题解析】B 题意可知，{}1,2,4B =，{}1,2A B = . 故选B.

2. C 【命题意图】本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.

【试题解析】C 由已知，①②④正确，③错误.故选C. 3. D 【命题意图】本题考查函数的单调性与奇偶性知识.

【试题解析】D A 、B 选项为偶函数，排除，C 选项是奇函数，但在(0,)+∞上不是单调递增函数.故选D. 4. D 【命题意图】本题考查直线与圆的相关知识.

【试题解析】D 圆22(2)4-+=x y

的圆心关于直线3

=y x

对称的坐标为(1，从而所求圆的方

程为22(1)(4-+=x y .故选D.

5.C 【命题意图】本题主要考查空间几何体的体积.

【试题解析】C 由已知，堑堵的体积为

1

2018625465002

???=. 故选C. 6. B 【命题意图】本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题.

【试题解析】B 由已知，点D 在AB 边的中位线上，且为靠近BC 边的三等分点处，从而有

12ABD ABC S S ??=

，13ACD ABC S S ??=，111(1)236BCD ABC ABC S S S ???=--=，有1

3

BCD ABD S S ??=.故选B. 7. A 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.

【试题解析】A 有已知，01234201520161008=-+-++-+= S .故选A. 8. C 【命题意图】本题考查三角函数的有关性质.

【试题解析】C 由已知，该函数图象关于点11(

,1)12

π

对称.故选C. 9. D 【命题意图】本题主要考查考试对统计图表的识别.

【试题解析】D 由图可知D 错误.故选D. 10. A 【命题意图】本题主要考查几何概型.

【试题解析】A 设3=OA

，则==AB AP

=OP 30∠=?AOP ，

所以扇形AOC 的面积为34π，扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为31

434

π

π=.故选A.

11. B 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.

【试题解析】B 由已知双曲线方程为

22

143

-=y x ，设双曲线的上焦点为'F ，则||||4'=+PF PF ，△PAF 的周长为||||||||4||3'++=+++PF PA AF PF PA ，当P 点在第一象限时，||||'+PF PA 的最小值为||3'=AF ，故△PAF 的周长的最小值为10.故选B.

12. A 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.

【试题解析】A 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由

1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f

，因为2(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于

22(log |31|)2log |31|3-+-

从而|31|2-

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 21

2

+e 【命题意图】本题考查定积分的求解.

【试题解析】

2221

1

111()(ln )12222++=+=+-=?

e

e

x e e x dx x x .

14. 91【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.

【试题解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2

n ，所以第10行共19项，

最后一项为100，左数第10个数是91.

15. 1080【命题意图】本题考查排列组合综合问题.

【试题解析】若甲乙同时参加，有2

2

2

6222120=C A A 种，若甲乙有一人参与，有1

3

4

264960=C C A 种，从而总共的发言顺序有1080种.

16. 2【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题.

心为1O ，由

【试题解析】如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆

正弦定理可求出三角形PBC

外接圆半径为2

，F 为BC

边中点，进而求出11

2

=O F ，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的

平方为

221()42

+=BD O F ，所以四棱锥外接球半径为2. 三、解答题

17.(本小题满分12分)

【命题意图】本题考查等比数列及利用不等式性质证明与数列前n 项和有关的不等式.

【试题解析】(1) 由题可知*1113()()22N +-

=-∈n n a a n ，从而有13+=n n b b ，111

12

=-=b a ，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.

（6分）

(2) 由(1)知13-=n n b ，从而1

13

2-=+n n a ，11331

log (3)log 312

--=+>=-n n n c n ，

有12(1)01212-=+++>+++-=

n n n n T c c c n ，所以(1)

2

->n n n T .（12分） 18. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.

【试题解析】解：(1)

22?经计算7.287 6.635k ≈>.

（4分）

(2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4株，则X 的可能取值为0,1,2,3,4.

416420(0)C P X C ==，13416420(1)C C P X C ?==，22416420(2)C C P X C ?==，314164

20(3)C C P X C ==，44

420

(4)C P X C == 即X

(ii) 在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占

5，即每次取出高茎玉米的概率均为2

5

，设取出高茎玉米的株数为ξ，则2~(50,)5B ξ，即250205E np ξ==?=，23

(1)

501255

D np p ξ=-=??=.

（12分）

19.(本小题满分12分

) 【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求二面角问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【试题解析】（1）证明：因为AD ⊥平

面,BCD ?BC 平面B C D ，所以⊥AD BC ，又因

为

,⊥= AC BC AC AD A ，所以⊥

BC 平面,ACD ?BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD .

（6分）

（2

）由已知可得

=CD 如图所示建立空间直角坐标系，由已知(0,0,0)C ，(0,2,0)B ，A ，

D ，1(,1,)22

E .有1(

)22= CE ，=

CA ，

= CD ，设平面ACE

的法向量(,

,)=

n x y z ，有00,10022

?+=??=???=++=??

? z n CA n CE x y z ，令1=x ，得(1,0,=

n ， 设平面

C E

D 的

法向量(,,)=

m x y z ，有

00,1

002?=??=???=++=?? m CD m CE x y z ，令1=y

，得(0,1,2m =- ，二面角--A CE D 的余弦值||cos 5||||n m n m θ?===? .（12分） x

20.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【试题解析】(1)

联立方程有，2

40

2?+=??

=??x y px

，有280-+=y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4?=-==p p p ，所以28=y x .

（4分）

(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+??=?x ty m

y x

，2880--=y ty m ，

设1122(,),(,)A x y B x y ，有12128,8+==-y y t y y m ，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，

22222

222

||()(1)BM x m y t y =-+=+， 22

21222222222222

12121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t m

AM BM t y t y t y y t m

+++=+==++++， 当4=m 时，22

11

||||AM BM +

为定值，所以(4,0)M . （12分） 21.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.

【试题解析】(1) ()1'=+--a

f x x a x

，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==

a a ，

经检验符合题意，所以1=a .

（4分）

(2) ()1(1)(1)(0)'=+--

=+->a a

f x x a x x x x

①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ，

当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数，当0<

又因为()f x 存在两个不同零点12,x x ，所以()0

1(1)ln 02

+--

整理得1

ln 12

>-a a ，

作()=y f x 关于直线=x a 的对称曲线()(2)=-g x f a x ，

令2()()()(2)()22ln -=-=--=--a x

h x g x f x f a x f x a x a x

22

22

22()220(2)()a a h x a x x x a a '=-+=-+≥---+所以()h x 在(0,2)a 上单调递增，

不妨设12<=，即2221()(2)()()=->=g x f a x f x f x ，

又因为212(0,),(0,),-∈∈a x a x a 且()f x 在(0,)a 上为减函数， 故212-x x a ，又1

ln 12

>-

a a ，易知1>a 成立，故122+>x x .（12分） 22. (本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.

【试题解析】 (1) 由2

2

(3sin )12ρθ+=得22

143

+=x y ，该曲线为椭圆. （5分）

（2）将1cos sin x t y t αα

=+??=?代入22

143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，

设12||||,||||==PA t PB t ，122

6cos ,4cos t t α

α

-+=- 12294cos t t α-=-

，所以122127||||||4cos 2PA PB t t α+=-==-，从而2

4cos 7α=，由于(0,)2πα∈

，所以cos 7

α=. （10分）

23.(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.

【试题解析】 (1) 令24,1|1||5|6

,1524,5-+≤-??

=++-=-<

x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集，有6≥m . （5分）

（2）由,a b 均为正数，则要证≥a b

b a

a b a b ，只需证1--≥a b b a

a

b

，整理得()1-≥a b a

b

，由于当≥a b 时，

0-≥a b ，可得()1-≥a b a b ，当a b a b ，可知,a b 均为正数时()1-≥a b a

b

，当

且仅当=a b 时等号成立，从而≥a b b a

a b a b 成立. （10分）