浅谈小概率事件的原理及其应用

摘要

小概率事件原理是概率论中的一个基本而有实用意义的原理。论文围绕小概率事件展开讨论。首先，论述概率论起源及小概率事件的定义；其次，对小概率事件原理和小概率事件的推断方法进行详细的介绍，阐述了小概率事件和不可能事件之间的区别与联系。在日常生活中小概率事件随处可见，该论文分别从日常生活、福利彩票、体育、商业管理以及统计问题中介绍了小概率事件的应用，说明小概率事件原理的实用价值；最后，总结了小概率事件原理是概率论的精髓，是统计学存在和发展的理论基础。

关键字:概率论，小概率事件，推断方法

The Principle of Small Probability Event and Its

Application

Abstract：The principle of small probability event is a basic probability theory and has practical significance. The article discusses surrounding the small probability event. First of all, it discusses the origins and the definition of small probability event; Secondly, it introduces the principle and the inference method of the small probability in detail.In addition,it explains the difference and connection between the small probability event and the event which is impossible. Small probability event can be seen everywhere in daily life. The article describes the application of a small probability event from the daily life ,respectively, the welfare lottery, sports, business management and statistical issues .Finally , it summarizes that the principle of small probability event is not only the essence of probability theory but aslo the foundation of the existence and development of statistical theory.

Key words: probability, small probability events, inference method

目录

一、引言 (1)

二、概率论与小概率事件 (1)

三、小概率原理及其推断方法 (1)

（一）小概率原理 (1)

（二）小概率推断方法 (2)

四、小概率事件和不可能事件之间的区别和联系 (3)

五、小概率事件原理的应用 (3)

（一）小概率事件原理在概率统计中的应用 (3)

（二）日常生活中的应用 (6)

（三）在保险福利彩票等方面的应用 (7)

（四）小概率事件在体育中的应用 (8)

（五）小概率事件在商场管理中的应用 (10)

六、结束语 (11)

参考文献 (12)

一、引言

人们的生活中也能看见小概率事件的存在，而且经常应用到小概率事件的实际不可能原理，因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度：一种是不愿意承认小概率事件的发生，对小概率事件听之任之、不闻不问；另一种是更愿意承认小概率事件的发生，整日处于杞人忧天或守株待兔的境界。本文通过实例，用辩证思维方法来阐述小概率事件原理的应用。

二、概率论与小概率事件

概率论最早起源赌博问题。17世纪中叶，法国数学家帕斯卡（B.Pascal）、费马（P.deFermat）及荷兰数学家惠更斯（C.Huygens）等基于排列组合方法，解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”，于是出现了概率论。18～19 世纪，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间的相似性，从而概率论被广泛应用到这些领域，大大推动了概率论的发展。瑞士数学家贝努利（建立了概率论中的第一个大数定律。随后，经过数学家们不断深入的研究，概率论的理论逐渐成熟。概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等方面的应用价值体现越来越广泛，现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系。

概率论是研究随机现象统计规律的一门科学。概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。随机事件A 发生的概率一般用()

P A表示，并规定0()1

P A

≤≤。对于概率值很接近于1 的事件，其对立事件的概率必然很接近于0 。

在概率论中，我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件。

那么多大的概率值算小概率呢？

这要根据具体情况而确定：对于某些非常重要的试验（场合），当事件的发生会产生严重后果（如飞机失事、沉船等）时，应选得小一些如

0.0001，甚至更小一些；否则可以适当大一些。一般多采用0.01、0.005 这两个值：即事件发生的概率在0.01或0.005以下的事件称为小概率事件。而

0.01、0.005 这两个值称为小概率标准。

三、小概率原理及其推断方法

（一）小概率原理

定理一( 贝努利大数定律）：在n 次独立重复试验中，记事件A 发生的次数为A n 。P 是事件Ａ发生的概率。则对于任意正数ε＜ 0 ，有

lim {}1A n n P p n ε→∞-<=

或

lim {}0A n n P p n ε→∞-≥=

根据贝努利大数定律，事件A 发生的频率A n / n 依概率收敛于事件

A 发生的概率。就是说，当n 很大时，事件A 发生的频率与概率有较大偏差的可能性非常小。假如某事件A 发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替概率。倘若某事件A 发生的概率α很小，则它在大量重复试验中出现的频率也应该很小。

例如，若α＝0.001，则大体上在1000次试验中，A 才能出现1 次。因此，概率很小的事件在一次试验中不大可能发生。在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件。实际不可能事件在一次试验中实际上是不可能发生的。这就是小概率原理，也称为小概率的实际不可能性原理。它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据，也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理。

小概率事件迟早会发生。小概率事件在一次试验中实际不会发生，并不代表它永远都不会发生。小概率事件迟早都会发生是指只要独立的试验次数无限增多，那么小概率事件将会发生。下面我们将说明这一结论。在随机试验中，设事件A 出现的概率为ε，设k A 表示“A 在第k 次试验中出

现”，则()k P A ε=，()1k P A ε=-，在前n 次相互独立的试验中A 一次都不出现的概率为1212()()()()(1)n k k P A A A P A P A P A ε==- ，则在前n 次相互

独立的试验中A 至少出现一次的概率为121()1(1)n n k P P A A A ε=-=-- ，无

论ε如何小，当n →∞时，1n P →，这说明小概率事件迟早会发生。

（二）小概率推断方法

小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是首先提出假设，其次根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准作出判断。

若导致不合理现象出现，即小概率事件发生，则拒绝假设；若未导致不合理现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设。

小概率原理在概率论中并不占有多么重要的地位，但却是一个简单、基本而且颇有实用意义的原理，在我们的日常生活中有着很广泛的应用。小概率原理常常在不经意间指导人们的实际生活。因为人们坚持这样一个信念：小概率事件在1 次试验中是不会发生的。如果居然发生了，绝不会认为是必然现象，而认为是一定有着某些偶然因素。这就是人们为什么在明知道有飞机失事发生，仍然敢于乘飞机旅行、出差的原因。

但也有相反的情况：即人们更愿意承认小概率事件的发生。例如在福利彩票、体育等的发行过程中，尽管人们知道中大奖的机会几乎为0 ，但人们购买的热情依然很高。这里，当然有人们愿意为福利事业、体育献爱心的一面，但最主要的因素是人们期望小概率事件在一次试验中发生（购买几张彩票就中大奖）的侥幸心理作祟。

四、小概率事件和不可能事件之间的区别和联系

概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。

人们通常用0来表示不可能事件发生的可能性。即：不可能事件的概率为0。但概率为0的事件不一定为不可能事件。

小概率事件因其概率小而常常会与不可能事件混淆。但两者从本质上来讲，是有区别的。所谓小概率事件是指发生的可能性小，但有发生机会的事件，而不可能事件是指完全不可能发生，概率为零的事件。比如，某人在某时刻既在甲地又在乙地，这属于自相矛盾的事件，所以这是一个不可能事件。而随着社会的不断进步和发展，人的能力与素质的不断提高，有些不可能事件可能会转变成为小概率事件。

例如，一直让我们引为自豪的110米栏的跨栏项目，在2006年7月12日之前，打破12秒91的世界记录是一件不可能事件，但是，在7月12日这一天，我国运动员刘翔跑出了12秒88的好成绩，成功打破12秒91的世界记录。至此，打破12秒91的世界记录这一事件，由一不可能事件转换成一小概率事件。

五、小概率事件的应用

（一）小概率事件原理在概率统计中的应用

统计推断的基础是小概率原理,而不是逻辑推理. 在显著性假设检验理论中, 一般把小概率α称为显著性水平.假设检验是在给定显著性水平之下, 判断某一假设的正确性的. 从逻辑上讲, 是一种含有否定意义的结论形式,这个推断结论是有α可能性错误的结论, 它不但表现了概率统计的特点, 而且体现了可能与不可能的辩证关系.

1、正态分布的“3σ—原则”

若2~(,)X N μσ，则~(0,1)X Y N μσ-=

所以 (3,3)(33)(3)(3)X P P μμσμσφφσ--+=-<≤=--

2(3)120.9986510.9973φ=-=?-=

由此看出, X 的值几乎以概率1落在(3,3)μσμσ-+，区间内,也就是说, X 的值以很小的概率落在(3,3)μσμσ-+之外。

这个结论在实际中也有重要应用. 如:某生产线中袋装盐的质量X 服从均值为1000g,标准差为20g 的正态分布,即2~(1000,20)X N ,现对袋装盐的质量进行抽查,发现有一袋盐质量为1080g,问:是否有理由怀疑生产线存在故障?

由正态分布的“3σ—原则”,袋装盐质量应以概率1落在（1000-3?20,1000+3?20）即(940,1060)之内,现在被抽取的这袋盐为1080g,落在此区间的外部,即小概率事件竟然在一次试验中发生了,所以我们有理由怀疑该生产线发生了故障,需要检修.

2、在假设检验中的应用

利用小概率事件来做假设检验:在假设H 下设计一个小概率(如1%)事件A . 在一次试验中,这个一般不出现;但如果它居然出现了,便使人不得不怀疑假设H 的正确性,因此否定H .

例1 某厂有一批产品,共有200件,经检验合格才能出厂. 按国家标准,次品率不得超过1% ,今从中任抽5件,发现这5件中含有次品. 问这批产品是否能出厂?

解：设这批产品的次品率为p ,问题化为:如何根据抽样的结果来判断不等式“0.01p ≤”是否成立?

要检验的假设是“0.01p ≤”. 首先,我们假定0.01p ≤成立,此时, 200件中最多有2件次品,从中任取5件,令A “没有取到次品”,由古典概型知

()P A =5519820055199

20055200200///C C C C C C ????? 件中没有次品时当件中有一件次品时当件中有两件次品时当200200200 5198

5200198197196195194()0.95200199198197196C P A C ????≥=≥????

从而,任抽5件,出现次品的概率= 1-()P A ≤1-0.95=0.05

以上结果说明,如果“0.01p ≤”,那么平均在100回抽样中,事件A =“任取5件,出现次品”,最多出现5回. 也就是说,在一次抽样中,将很少遇到A 发生. 由小概率原理可知,小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的,如果在一次试验中,某个小概率事件竟然发生了,那么就认为这是一种反常现象. 然而现在的事实是,在一次具体的抽样实践中,A 竟然发生了,这是“不合情理”的. 为什么会出现这种不合情理的情况呢?其根源在于我们假定了

0.01p ≤,因此“0.01p ≤”的假设是不能接受的.

这只能说明该产品次品率不止0.01,故判断不能出厂.

由于小概率事件在一次试验中实际上是有可能会发生的,故采用上述方法将可能会判断失误. 假设检验中可能会产生的两类错误. 其中,第一类错误是当0H 实际上成立的条件下,被我们判断为不成立,即犯了“弃真”

的错误. 显然,犯“弃真”错误的概率就是显著性水平α. 第二类错误是当0H 实际上不成立时,反而被我们判断为成立,即犯了“采伪”的错误. 就

我们的主观愿望来说,自然是希望犯这两类错误的概率都尽可能的小,即二者都是小概率事件. 然而可以证明,当样本容量确定之后,犯两类错误的概率不可能同时减小,减小其中一个,另一个往往就会增大. 若要它们同时减小,只有增加样本容量. 在实际问题中,因人们常把“弃真”看得比“采伪”更重要些,一般总是控制犯第一类错误的概率α,这就是数理统计中的“显著性检验”.

从上面的叙述看到,假设检验的基本方法就是从抽取的样本值出发,通过观察一个“小概率事件”在一次抽样中是否发生来判断原来对总体X 的某种“看法”(原假设0H )是否正确. 具体做法是:为了检验某个假设0H 是否成立,首先假设0H 成立,如果由此导出了一个小概率(小于某个数α,α

即为显著性水平,常取α=0.05, 0.01等)事件发生,则认为是“反证法”推出了矛盾,从而应否定0H ,否则接受0H .

3、在Bayes 统计中的应用

下面是英国统计学家Savage 曾考察的两个著名的统计实验：

A:一位常饮牛奶的女士称她能辨别先倒入杯子里的是茶还是牛奶,对

此做了十次试验她都答对了.

B:一个音乐家声称他能从一页乐谱辨别是Haydn 还是Mozart 的作品,十次试验中他都能正确辨别.

在这两个统计实验中,假如认为被实验者是在猜测,每次成功的概率为0.5,那么十次都猜中的概率为2～10 = 0.0009766. 这是一个很小的概率事件,是几乎不可能发生的,所以此假设应该被拒绝. 被实验者每次成功的概率要比0.5大得多,这就不是猜测,而是他们的经验帮了他们的忙,可见经验———先验假设是一种在推断中不可忽视的重要假设,我们应该加以利用.

Bayes 统计就是基本信息、总体信息、样本信息和先验信息的统计推断,通过小概率原理可知,先验信息在统计推断中起着非常重要的作用. Bayes 统计重视出现的样本观察值,即重视对先验信息的收集、挖掘和加工,使之数量化,形成先验分布,参加到统计推断中来,从而提高了统计推断的质量.

（二）日常生活中的应用

小概率事件在一次试验中是不会发生的，一旦发生决不会认为是必然现象，而认为是一定有着某些偶然因素。

例2 ．某接待站在一周曾接待12 次来访，已知所有这12 次来访都是在此周的某两天，问此接待站接待来访时间是随机的还是规定的？

解：假定此接待站接待来访时间是随机的，则12 次来访都在这两天的概率为

12122

0.00000037P ==

显然这是一个小概率事件，居然在一次试验中发生了，因此有理由认为是规定时间。

例3 ．一停车场有16 个车位排成一行，今发现有12个位置停了车，且有4 个连接的车位空着，这种现象使人感到意外吗？

解：设A ＝{12个车位停了车且有4个连接的车位空着} ，则由古典概型可知：

1213

12

16()0.006C P A C ==

这显然达到小概率事件的标准，由小概率原理有理由认为这种现象使人感到意外，发生这种情况的原因可能是人为所致，而非随机停车造成的。

在工业生产、车辆交通等方面中，发生意外事件（事故）认为是不可避免的。从统计学的角度来分析,一般情况下，事故是属于小概率事件的。因此我们可以通过及时的处理来控制这些破坏性的小概率事件不发生。

（三） 在保险、福利彩票等方面的应用

保险事业是最早使用概率的部门之一，它会有巨大的利润就是成功的运用了小概率事件原理。

例4. 某一保险公司，有2500个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险，在一年内，每个人死亡的概率为0.002。每个参加保险的人在1 月1 日付12 元保险费，而当它在这一年死亡时，家属可从公司领取保险费2000 元。求：此保险公司亏本的概率。

解：按年来算，1月1日，公司收入为2500?12=30000 元，假定死亡x 人，则保险公司一年付出2000x 元，亏本指：2000x >30000, x >15,即。把“参加保险的每人在该年是否死亡”看成一次随机试验，2500人参加试验就相当于2500重贝努利试验，于是x

~b

(k ,2500,0.002)。利用泊松定理可得 (25000.002)

250016{15}(25000.002)

0.0069!k k e P x k -?=>=??=∑

“此保险公司亏本”显然是一个小概率事件,因此有理由认为此保险公司在该年不会亏本。事实上可以计算该保险公司在本年的获利低于10000 元的概率为0.014，也就是说该保险公司在本年的获利不会低于10000 元。

自1987 年我国对彩票开禁以来，每年都有数十亿元人民币的彩票发行,人们购买彩票的热情很高,尽管大多数人知道中大奖的机会几乎为0，但大部分是抱着小概率事件在一次试验中发生的侥幸心理,当然也有人们是为社会献爱心。就以购买江苏体彩为例：从0 ～ 9这十个数中任选（可重复）6个数组成6位数,6 位数选定后,还要在0,1,2,3,4 中选一个“特别号”，

以兑特等奖用，不难算的中特等奖的概率为五百万分之一。可见中高额奖

金率极低,想在一夜间成为巨富极难。故买彩票要有一颗平常心。

，现有20万人次买彩票，例5 彩票“21选5”中头奖的概率为1

20349

问至少有一人中彩票的概率？

解：设X表示20万人次中奖的人次数，则51

X B?，由

~(210,)

20349

泊松定理知，它可近似于参数51

λ=??=的泊松分布，查泊

2109.828

20349

松分布得

≥=-=≈-=≈

P X P X

(1)1(0)10.0000450.9999551

由此可看出，一个人买一注彩票中奖的可能性微乎其微，但仍有人中了头奖，其原因就是每天几乎都有成千上万的人买彩票。

（四）小概率事件在体育中的应用

近几年来,我们在体育教学和科研中对统计学的应用真可谓是突飞猛进,若对其发展倾向作总结可分为两个方面的表现: (1) 数理统计的很多方法已经被越来越多地运用在体育运动的各个研究领域,这是令人欣慰的; (2) 在对体育统计的运用中一些方法的使用显得草率,甚至出现盲目性,这样必

然带来各种各样的问题。对此,根据笔者的教学经验,初学者所暴露的问题

比较突出。以往也曾有许多文献对其中存在的问题行过讨论,但还未能从根本上改变目前体育统计应用中不利的现状。

可以肯定的是,从目前我国体育科学发展的水平上分析,最紧迫的问题

并不是缺乏有效的数理统计的方法,而是在面对体育领域中的具体问题,运

用何种统计方法,以及如何正确使用统计方法的问题。

小概率事件原则作为统计推断的最基本的思想,在体育科研甚至在体

育统计教科书中都没有得到足够的重视。从国内体育科研文献中,采用统计方法进行处理的论文很多,但明确此思想的很少。从暴露的问题中发现,初

学者在处理统计推断过程中,对小概率事件原则这个概念也是模糊的。在一些体育统计教科书中,也并没有将这个思想提高到应有的地位加以明确,致

使在解决具体问题时,出现一定的实际困难。

分析其原因,有两个方面: (1) 对小概率事件原则在统计推断应用中的

地位和作用认识不足,产生轻视思想。(2)源于体育运动的复杂性,实际问题中的小概率事件原则有时难以确定,产生回避心理。对此,从教学过程中看,初学者反映尤其严重些。客观地讲,小概率事件原则是联系实际问题与统计方法的重要桥梁,轻视固然不行,回避也不妥。下面就谈谈小概率事件原理在体育方面的应用。

例6 根据以往资料，篮球运动员张三投篮的命中率都为70％，他在一场比赛开始后连续投篮7 次命中次数不超过2 次，可否认为该运动员尚未进入状态，为教练提供理论依据。

分析解答：假定7次投篮是相互独立的7 次试验，用ξ表示其投中的次数，则服从n =5, p =0.7 的二项分布，其概率分布为

77()0.70.3(0,1,,7)k k k p k C k ξ-==??=

投篮7次命中0次、1次、2次的概率分别为：

7{(0)}0.30.0002187

p ξ=== 167{(1)}0.70.30.0035721p C ξ==??=

225

7{(2)}0.70.30.0250047p C ξ==??= 命中次数不超过2次的概率为：

{(0)}{(1)}{(2)}

0.00021870.00357210.2500470.02879550.05p p p ξξξ=+=+==++=<

这是一个小概率事件，而在一次试验中竟然发生了。从而说明该运动员此时不在状态，这时他的命中率要低于0.7。同理，也可知道其他球员的比赛状态，作为教练指导比赛的参考依据。

例7 已知某体院四年级男生36人安静时心率均数为68.6次/分,标准差为6. 4 次/分,由文献得知,正常男子安静时心率均数为72次/分,那么体院四年级男生的心率是否与一般正常成年男子不同?

显然,该课题是研究经常参加锻炼是否会引起安静时心率的变化。针对36名经常参加锻炼的体院四年级男生同一般成年男子的安静时心率的差异,分析它是否是抽样误差引起的,就要确立一个小概率的显著性水平α (如取α=0.01) ,先假定其差异是仅源于抽样误差,则提出假设检验: 0μμ=。即体院的总体均数μ等于已知总体“一般”的总体均数μ。,可理解为体院样本是从总体“一般”中随机抽样的。在此前提下,再计算因为抽样误差而取得这样的样本的可能性,若可能性很小,即小于显著性水平α,有显著差异,就自然对原来的假设产生怀疑,从而拒绝原假设。

显然可用检验统计量：X t μ-=

来解决。

3.187t ===- 于是(35)0.013.187 2.724t t =>=，故0.01P <。

由0.01P <,可判定μ与0μ的差异具有高度显著性,可以基本认为安静

时的心率“体院学生”不同于“一般”,根本原因可能是长期锻炼导致心肌增强,每搏输出量增加等原因,而不是小小的抽样误差所能影响的。该例是体育统计教科书中统计假设检验部分的一个典型例题。从中不难说明,小概率事件原则的正确使用,统计推断就显得清楚、明朗,反之,若理解不透或认识错误,则后面的工作将陷入盲目,甚至得出错误的结论。

（五）小概率事件在商场管理中的应用

例8 商场某电器部门有12台电器,由于种种原因,每台电器有时需要开,有时需要关，每台电器的开或关是相互独立的。由以往的统计数据,每台电器在一个工作日内关闭的概率为1/3P =，为了了解该部门的用电情况,需要计算其在一天之内恰有k 台电器处于关闭状态的概率是多大?

这是一个简单的Bernoulli 概型问题．每个工作日内处于关闭状态的电器数X 服从参数为n=12,p=1/3 的二项分布，容易算出X 的分布列，见表一。

表一 X 的二项分布图

由表可以得出关闭的台数不超过1台的概率为:

1212(0)(1)0.053951P P +=

而关闭台数超过7台的概率为:

121212(8)(9)(12)0.018759P P P ++=

由此可见，若取小概率标准为0.05，则“停车台数不超过1台”和“停车台数超过7 台”均属小概率事件。根据小概率原理，可以认为在一个工作日内处于停车的车床台数在2～7台之间，进而可计算实际用电量。反之，还可以利用小概率原理，通过实际观察来检验原先对一台电器在一个工作日内关闭概率的估计值p =1/3是否正确。

如果在某个工作日内发现关闭的台数不超过1 台或超过7台，则表明上述两个小概率事件竟然发生了，因此可以认为这是不正常的．如果没有其他原因，就可以认为将关闭概率估计为1/3 是不正确的。

像例题这种类型的问题在商场管理中是经常遇到的。又如仍有12台电器，每台电器出现故障需要维修的概率是p =0.05，可以认为各台电器是否出现故障是相互独立的，而且一名维修工人每次只能维修一台电器．那么，为了减少因等待维修而影响生产，商场应配备几名维修工人？

这也是二项分布问题，其中同一天内出现故障车的床台数X ～b

(12,0.05)。不难算出: 12(0)0.541p =1, 12(1)0.341p =于是至少2台出现故

障的概率12121(0)(1)0.118p p p =--=。椐此，可以考虑只配备1名维修工，

因为超过1台出现故障的概率是小概率。

六、结束语

虽然小概率事件在一次试验中不可能发生，但我们也不能忽视小概率事件，事件重复的次数多了，小概率事件迟早也会发生。但我们也不需要过分惧怕小概率事件，把注意力集中在极端个别的现象，那样我们只会处处担心，导致无法正常学习和生活。由本文的讨论可知，小概率事件应用广泛，不仅是我们解决概率论中很多生活问题的理论依据，还是我们统计学中假设检验的理论依据，所以说小概率事件原理是概率论的精髓，是统计学存在和发展的理论基础。

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