湖北省麻城一中2024学年高三第一次素质测试数学试题试卷

湖北省麻城一中2024学年高三第一次素质测试数学试题试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x π

π+=-（

）（），且58

f π

=（），则b =（ ） A ．3

B ．3或7

C ．5

D ．5或8

2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

3．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则

63i

z

+=( ) A ．3 B ．5

C

D

．4．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

5．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i +

B ．43i -

C ．43i -+

D ．43i --

6．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12

B ．3.13

C ．3.14

D ．3.15

7．已知函数2,0

()4,0

x

x f x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)-∞-

B ．(1,0]-

C ．(1,)-+∞

D ．(,0)-∞

8．若函数3

2

()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

9．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i +

B ．66i -

C ．5i

D ．13

10．已知α满足1sin 3α=

，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫

+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．

718

B ．

7

9

C ．718

-

D ．79

-

11．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断： ①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数； ②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数； ③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数； ④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数 ⑤()g x 是偶函数；

⑥对任意的实数x ，()0g x ． 那么正确论断的编号是（ ） A ．③④

B ．①②⑥

C ．③④⑥

D ．③④⑤

12．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若存在直线l 与函数1

()(0)f x x x

=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．

14．5

22x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的展开式中4x 项的系数为_______． 15．函数2()log 2f x x =-的定义域是 ． 16．如图，在平面四边形

中，

，则

_________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4

3sin 4x t y t ππ

⎧

=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

（t 为

参数）.

（1）求1C 和2C 的普通方程；

（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||

||

ON OM 的最小值.

18．（12分）已知两数()ln f x x kx =+． （1）当1k =-时，求函数()f x 的极值点； （2）当0k =时，若()0(,)b

f x a a b R x

+

-∈恒成立，求11a e b --+的最大值． 19．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2

124n n a S n +=++，21a -，3a ，7a ，恰为等比

数列{}n b 的前3项．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列1n n n nb a a +⎧⎫⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ；若对*n N ∀∈均满足2020n m

T >

，求整数m 的最大值； （3）是否存在数列{}n c 满足等式()111

122n

n i

n i i a

c n ++-=-=--∑成立，若存在，求出数列{}n c 的通项公式；若不存在，

请说明理由．

20．（12分）在极坐标系中，已知曲线C 的方程为r ρ

=（0r >），直线l

的方程为cos 4πρθ⎛⎫

+

= ⎪⎝

⎭

.设直线l 与

曲线C 相交于A ，B

两点，且AB =r 的值.

21．（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少．．有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有．．．．1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以．1．小时为计量单位．．．．．．．）被每套系统监测出排放超标的概率均为(01)p p <<，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.

（1）当1

2

p =

时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.

22．（10分）若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求

111

323232

a b c +++++的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 【解题分析】 根据函数的对称轴8

x π=以及函数值，可得结果.

【题目详解】

函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，

若88f x f x π

π

+=-（

）（），则()f x 的图象关于8x π

=对称，

又58

f π

=（

），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【题目点拨】

本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题 2．B 【解题分析】 根据题意3

141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案.

【题目详解】

3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.

故选：B .

【题目点拨】

本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力. 3．C 【解题分析】

先由已知，求出1m =-，进一步可得63i

12i z

+=-，再利用复数模的运算即可 【题目详解】

由z 是纯虚数，得10m +=且20m -≠，所以1m =-，3z i =.

因此，

6363123i i

i z i

++==-=故选：C. 【题目点拨】

本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 4．B 【解题分析】

通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数. 【题目详解】

“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表，

可知需要的次数为4次. 故选：B. 【题目点拨】

本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题. 5．A 【解题分析】

利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【题目详解】 由34zi i =+，则3434

431

i i z i i +-=

==--，

所以z =43i +. 故选：A 【题目点拨】

本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题. 6．B 【解题分析】

先利用几何概型的概率计算公式算出x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出π. 【题目详解】

因为x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，所以有01x <<，01y <<，若x ，y 能与1构成锐角三角形三边长，

则2211x y x y +>⎧⎨+>⎩，由几何概型的概率计算公式知11435411142000

m P n ππ⨯-

==-==⨯， 所以435

4(1)2000

π=⨯-

=3.13. 故选：B. 【题目点拨】

本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题. 7．B 【解题分析】

对0x 分类讨论，代入解析式求出0()f x ，解不等式，即可求解. 【题目详解】

函数2,0

()4,0x x f x x -⎧⎪=+>，由()02f x <

得00

220x

x -⎧<⎪⎨⎪⎩或0

2

0x <>⎪⎩ 解得010-

本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题. 8．D 【解题分析】

对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【题目详解】

因为()3

2

39f x x ax x =++-，所以()2

323f x x ax =++'，

又函数()3

2

39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，

所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【题目点拨】

本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 9．A 【解题分析】

利用复数的乘法运算可求得结果. 【题目详解】

由复数的乘法法则得()()2

2332656125i i i i i +-=+-=+.

故选：A. 【题目点拨】

本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题. 10．A 【解题分析】

利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【题目详解】

1

sin 3

α=，

cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

∴+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪

⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎝

⎭

()()222

11cos cos sin cos sin 12sin 222222ααααααα⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2

117122318

⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【题目点拨】

本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 11．A

【解题分析】

根据函数奇偶性的定义即可判断函数()g x 的奇偶性并证明. 【题目详解】

当()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，

所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；

当()f x 是奇函数时，则()()f x f x -=-，

所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；

当()f x 为非奇非偶函数时，例如：()5f x x =+， 则()27f

-=，()23f -=，此时(2)0g ->，故⑥错误；

故③④正确. 故选：A 【题目点拨】

本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题. 12．C 【解题分析】

试题分析：集合{}|1A y y =≥- A B B B A ∴⊆∴⋂= 考点：集合间的关系

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【解题分析】

设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1

(,)(0)A m m m

<，2(,)B n n a +，

因为2

1()f x x '=-

，所以函数()f x 的图象在点A

处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212

y x m m =-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l

与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以2

2122n m n a m ⎧

=-⎪⎪⎨⎪-+=

⎪⎩

，所以4

124a m m =+， 令1(0)t t m =

<，设41

()2(0)4

h t t t t =+<，则3()2h t t '=+， 当32t <-时，()0h t '<，函数()h t 单调递减；当320t -<<时，()0h t '>，函数()h t 单调递增， 所以33

min 32()(2)2

h t h =-=-

，所以实数a 的最小值为3322-． 14．40 【解题分析】

根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数． 【题目详解】

根据二项定理展开式的通项式得()

52

1035522r

r

r

r r r

C x C x

x --⎛⎫= ⎪⎝⎭

所以1034r -= ，解得2r

所以系数22

5240C ⨯=

【题目点拨】

本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题． 15．[4,)+∞ 【解题分析】

解：因为2log 204x x -≥∴≥，故定义域为[4,)+∞ 16．

【解题分析】 由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可．

【题目详解】 由题意得

，

∴

．

【题目点拨】

突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表

示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）曲线1C 的普通方程为：2

2

(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=（2

）1)- 【解题分析】

（1）消去曲线12,C C 参数方程中的参数，求得1C 和2C 的普通方程.

（2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数

值域的求法，求得||||

ON OM 的最小值.

【题目详解】

（1）曲线1C 的普通方程为：2

2

(2)4x y -+=； 曲线2C 的普通方程为：80x y +-=.

（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫

=≤<≠∈ ⎪⎝⎭

； 由22(2)4x y -+=得22

40x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=

在曲线1C 中，4|o |c s OM β=.

由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以 而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8

||sin cos ON ββ

=

+，

因此2

8

||2

4

sin cos ||4cos sin cos cos 21

4ON OM ββπββββ

β+===+⎛

⎫++ ⎪⎝

⎭，

即

||||ON OM

1)=. 【题目点拨】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.

18．（1）唯一的极大值点1，无极小值点．（2）1 【解题分析】

（1）求出导函数，求得()0f x '=的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点；

（2）问题可变形为ln b a x x +恒成立，由导数求出函数ln b y x x =+的最小值，0b ≤时，ln b y x x

=+无最小值，因此只有0b >，从而得出,a b 的不等关系，得出所求最大值．

【题目详解】

解：（1）()f x '

定义域为(0,)+∞，当1k =-时， 1()ln ,()1f x x x f x x

'=-=-， 令()0f x '=得1x =，当()0,01;()0,1f x x f x x ''><<<>

所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，

所以()f x 有唯一的极大值点1x =，无极小值点．

（2）当0k =时，()ln b b f x a x a x x

+

-=+-． 若()0,(,)b f x a a b R x +-∈恒成立，则ln 0(,)b x a a b R x

+-∈恒成立， 所以ln b a x x +恒成立， 令ln b y x x =+，则2x b y x -'=，由题意0b >，函数在(0,)b 上单调递减，在(,)b +∞上单调递增， 所以ln 1a b +，所以1ln a b -

所以1a e b -，

所以111a e b --+，

故11a e b --+的最大值为1．

【题目点拨】

本题考查用导数求函数极值，研究不等式恒成立问题．在求极值时，由()0f x '=确定的0x 不一定是极值点，还需满足在0x 两侧()f x '

的符号相反．不等式恒成立深深转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用．

19．（2）1n a n =+，2n n b =（2）1212n n T n +=-+，m 的最大整数是2．（3）存在，12n n c -= 【解题分析】

（2）由2124n n a S n +=++可得2123n n S a n -=++（2n ≥），然后把这两个等式相减，化简得11n n a a +=+，公差为2，

因为21a -，3a ，7a 为等比数列，所以()3271a a a 2=-，化简计算得，12a =，从而得到数列{}n a 的通项公式，再计

算出 21a -，3a ，7a ，从而可求出数列{}n b 的通项公式；

（2）令112221

n n

n n n n nb c a a n n ++==-++，化简计算得10n n c c +->，从而可得数列{}n c 是递增的，所以只要n T 的最小值大于2020m 即可，而n T 的最小值为1113

T c ==，所以可得答案； （3）由题意可知，()()()()112132111112

2n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--， 即()1*

1212322,n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈，这个可看成一个数列的前n 项和，再写出其前（1n -）项和，两式相减得，()*12121,

n n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈，利用同样的方法可得()

1*2n n c n N -=∈. 【题目详解】 解：（2）由题，当1n =时，12225a S =+，即12225a a =+

当2n ≥时，2124n n a S n +=++ ① 2123n n S a n -=++ ②

①-②得22121n n n a a a +-=+，整理得()22

11n n a a +=+，又因为各项均为正数的数列{}n a ． 故{}11,n n n a a a +=+是从第二项的等差数列，公差为2．

又2371,,a a a -恰为等比数列{}n b 的前3项，

故()()()()2

23272221115a a a a a a =-⇒+=-+，解得23a =．又12225a a =+， 故12a =，因为211a a -=也成立．

故{}n a 是以12a =为首项，2为公差的等差数列．故211n a n n =+-=+．

即2，4，8恰为等比数列{}n b 的前3项，故{}n b 是以12b =为首项，公比为

422

=的等比数列， 故2n n b =．综上1n a n =+，2n n b = （2）令112221

n n

n n n n nb c a a n n ++==-++，则 2+1111121(1)2222()3221

n n n n

n n n n n n n n n b nb c c a a a a n n n n ++++++++-=-=---++++ 22231

n n

n n +=-++ 2(31)0(3)(+1)

n n n n +=>+

所以数列{}n c 是递增的，

若对*n N ∀∈均满足2020

n m T >，只要n T 的最小值大于2020m 即可 因为n T 的最小值为1113T c ==

， 所以20203

m <，所以m 的最大整数是2． （3）由()111122n

n i n i i a

c n ++-=-=--∑，得

()()()()1121321111122n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--，

()1*

1212322,n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈ ③ ()*123123(1)2(1)2,

2,n n n n c c c n c n n

n N ---+++⋯+-=---∈ ④ ③-④得，()*12121,n n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈ ⑤， ()1*123121,

2,n n n n c c c c n n N ----+++⋯+=-∈ ⑥ ⑤-⑥得，()

1*2n n c n N -=∈， 所以存在这样的数列{}n c ，()

1*2n n c n N -=∈ 【题目点拨】

此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

20．3r =

【解题分析】

先将曲线C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.

【题目详解】

以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，

可得曲线C ：r ρ=（0r >）的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆.

由直线l 的方程cos 4πρθ⎛

⎫+= ⎪⎝⎭，化简得cos cos sin sin 44ππ

ρθρθ-= 则直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=.

记圆心到直线l 的距离为d ，则d =

= 又2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

，即2279r =+=，所以3r =. 【题目点拨】

本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.

21．（1）2532

；（2）不会超过预算，理由见解析 【解题分析】

（1）求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

2332333333321111()()112()()22222

C C C C ⨯==++,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为1323119()[1()]2232

C -=，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，

1500.求得123(1500)(1)P X C p p ==-，123(900)1(1)==--P X C p p ，求得其分布列和期望()E X 29001800(1)p p =+-，对其求导，研究函数的单调性，

可得期望的最大值，从而得出结论.

【题目详解】

（1）某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

2332333333321111()()112()()22222

C C C C ⨯==++, 某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为

1323119()[1()]2232C -=∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为192523232

+=. （2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500.

123(1500)(1)P X C p p ==-，123(900)1(1)==--P X C p p

121233()900[1(1)]1500(1)E X C p p C p p ∴=---⨯⨯+29001800(1)p p =+-

令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈,则2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- 当1

(0,)3p ∈时，()0g p '>，()g p 在1(0,)3

上单调递增； 当1()1,3

p ∈时，()0g p '<，()g p 在上1(,1)3单调递减,

()g p ∴的最大值为14()327

=g , ∴实施此方案，最高费用为441009000(9001800)10115027

-+=⨯+⨯⨯（万元）， 11501200<，故不会超过预算.

【题目点拨】

本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.

22．1

【解题分析】 试题分析：由柯西不等式得

[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭

9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++ 试题解析：因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，

所以(32)(32)(32)9a b c +++++=． 于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭

9≥=， 当且仅当13

a b c ===

时，上式等号成立． 从而1111323232

a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 考点：柯西不等式