西北师大附中高三第五次诊断考试数学(文科)

西北师大附中2016届高三第五次诊断考试数学（文科）

数学（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知,m n R ∈，集合{}72,log A m =，集合{},B m n =，若{}0A B =I ， 则m n +=( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8 2．已知复数z 满足25)43(=+z i ，则z 的共轭复数为（ ）

A.34i -+

B.34i --

C.34i +

D.34i -

3.双曲线C :22

221y x a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为2y x =，则C 的离心率是

（ ）

A B ．2 D 4.我国明朝程大位《算法统宗》中用一首诗歌形式提出了的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？你算出塔顶有灯的盏数为 （ ）

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

5. 若变量y x ,满足约束条件??

?

??≤+-≤-+≥043041y x y x x ，则目标函数

y x z -=3的最小值为( )

A.4-

B.

3

4

C.0

D.4 6. 下列说法中正确的是（ ） A. “5x >”是“3x >”的必要条件

B.命题“对2

,10x R x ?∈+>，”的否定是“2

,10x R x ?∈+≤”

C.R m ∈?，使函数)()(2

R x mx x x f ∈+=是奇函数

D.设,p q 是简单命题，若p q ∨是真命题，则p q ∧也是真命题. 7. 执行如图程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 8.某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积等于（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．30

9．将函数sin(2)y x ?=+的图象向左平移4π

个单位后得到的函数图象关于点4(,0)3

π成中心对称，那么||?的最小值为（ ） A ．

6

π

B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 10.若直线20ax by -+=)0,0(>>b a 被圆2

2

2410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则

11

a b

+的最小值为（ ） A ．322+B ．

322+C ．1

4

D ．2

11.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2c cos 2B a b ?=+，若ABC ?

的面积为

2

S =

，则ab 的最小值为( ) A. 4 B. 12 C. 16 D. 24

12. 已知函数()1

1,1,

4ln ,

1,x x f x x x ?+?=??>?… 则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，

实数a 的取值范围是

A.10,4??

??? B.1,e 4?????? C.10,e ?? ??? D.11,4e ??????

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知函数,0,)2

1(0

,)(21

????

?≤>=x x x x f x

则=-)]4([f f . 14. 若向量b a ,的夹角为3

π

，且1,2==b a ，则a 与b a 2+ 的夹角为.

15. 已知正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于____.

16. 已知函数),(3)(2

3

R b a bx ax x x f ∈++-=，若函数)(x f 在]1,0[上单调递减，则

22b a +的最小值为____.

三、解答题（每小题12分，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知35a =，12749a a a +++=L . （1）求通项n a ； （2）若*1

1

()n n n b n a a +=

∈N ，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为

3的菱形，ο60=∠ABC .

⊥PA 面ABCD ，且3=PA .E 为PD 中点，F 在

E

F A

D

P

棱PA 上，且1=AF .

（Ⅰ）求证：//CE 面BDF ； （Ⅱ）求三棱锥BDF P -的体积.

19. 近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识， 某市面向全市征

召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)， 第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人. （1）求该组织的人数.

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率.

20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>3

，右顶点(2,0)A 。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点3

(,0)2

M 的直线l 交椭圆于B 、D 两点，设直线AB 斜率为k 1，直线AD 斜率为

k 2。求证：k 1k 2为定值，并求此定值。

21．（本小题满分12分）已知函数()2

ln 2(0)f x a x a x

=

+-> （1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线与直线2+=x y 垂直，求函数)(x f y =的单调区间；

（2）若对于任意),0(+∞∈x ，都有)1(2)(->a x f 成立，试求a 的取值范围；

（3）记)()()(R b b x x f x g ∈-+=).当1=a 时，函数)(x g 在区间],[1

e e -上有两个零点，

求实数b 的取值范围.

22.[选做题]本大题包括22、23、24、三小题，请选定其中一题．．．．．．．，若多做，则按作答的第一题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图, B A ,是⊙O 上的两点，P 为⊙O 外一点，连结PB PA ,分别交⊙O 于点D C ,，

且AD AB =，连结BC 并延长至E ，使PAB PEB ∠∠=. (1) 求证：PD PE =;

(2) 若1==EP AB ，且°120=BAD ∠，求AP . 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为??

?=-=t

y t x 33，（t 为参数），以坐标原点

为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42

=+-θρρ （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知11)(-++=x x x f ，不等式4)(

（1）求集合M ； （2）ab b a M b a +<+∈42,时，证明：当

西北师大附中2016届高三第五次诊断考试答题卡

数学（文科）

一、选择题

二、填空题

13. 14. 15. 16.

三、解答题（每小题12分，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

18．（本小题满分12分）

E

F C

A

D

B

P

19．（本小题满分12分）20．（本小题满分12分）

21．（本小题满分12分）

.

22.[选做题] （本小题满分12分）本题包括22、23、24、三小题，请选定其中一题．．．．．．．

，若多做，则按作答的第一题评分。

西北师大附中2016届高三第五次诊断考试

数学（文科）参考答案

一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1-5 ACDCC 6-10 BBCAB 11-12 BD 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.4 14.

6

π 15. π84 16.59

三、解答题：本大题共5小题，每小题14分,共70分．

17.（1）解：由题意得：1125

72149+=??+=?a d a d 解得112a d =??

=?

21n a n ∴=-.

（2）解：因为11n n n b a a +=

，所以1

(21)(21)

n b n n =-+， 12111111[(1)()()]2335212121n n n

S b b b n n n ∴=+++=-+-++-=

-++L L

18.解：19.（Ⅰ）证明：如图所示，取PF 中点G ，连接,EG CG .

连接AC 交BD 于O ，连接FO .…………………2分

由题可得F 为AG 中点，O 为AC 中点，∴//FO GC ； 又G 为PF 中点，E 为PD 中点，∴//GE FD .…4分 又GE GC G =I ，,GE GC ?面GEC ；

FO FD F =I ，,FO FD ?面FOD ；

∴面//GEC 面FOD .

∵CE ?面GEC ，∴//CE 面BDF .…………6分 （Ⅱ）解：∵⊥PA 面ABCD ，

∴PA 是三棱锥P ABD -

的高，又

1332ABD S =??=

8分

∴13P ABD ABD V S PA -=

??=

，同理13F ABD ABD V S FA -=??=.………10分

∴P BDF P ABD F ABD V V V ---=-=

……………………………………………12分 19.解:（1）由题意：第2组的人数： 35=50.07n ??,得到：100n =， 故该组织有100人.

(2) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第 5组的人数为0.1×100=10.

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60

名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:20

60×6=2; 第5组:10

60×6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. (3)

记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. 其中第3组的3名志愿者A1,A2,A3,至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),

共

有

12

种

,

则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为124155

p =

= 20. 解:（1

）由题意得222,

2

?=+?

?=??=??

a b c c

a a

解得 2.1,a b c ?=?=??

=? 所以C 的方程为2

214

x y +=.…………………………4分 （2）由题意知直线l 斜率不为0，可设直线l 方程为32

x my =+，与2

214x

y +=联立

得2

2

7

(4)304

m y my ++-

=，0?>设1122(,),(,)B x y D x y ， 则1212227

34,44m

y y y y m m -

-+==++………………………… 8分

121212

12212121212

1111

(2)(2)()()()2224

y y y y y y k k x x my my m y y m y y ===-----++

2227747314(4)424

-

==--+++m m m ．

12∴k k 为定值，定值为7

4

-

…………………………12分 21.解：（1）直线y=x+2的斜率为1， 函数f(x)的定义域为 ()+∞,0 因为x a x x f +-

=2'2)(，所以()111

212'

-=+-=a f ，所以a=1

所以()()2

'

2

,2ln 2

f x

x

x f x x

x -=-+=

由()0'

>x f 解得x>2 ; 由()0'

所以f(x)得单调增区间是()+∞,2，单调减区间是()2,0

（2）2

2'2

2)(x ax x a x x f -=+-= 由()0'>x f 解得;2a x >由()0'

所以f(x)在区间),2(+∞a 上单调递增，在区间)2

,0(a 上单调递减

所以当a x 2=时，函数f(x)取得最小值)2

(min a

f y =

因为对于任意()())1(2f ,0x ->+∞∈a x 都有成立，所以)1(2)2

(->a a

f 即可

则

)1(222ln 22->-+a a a a

，由a a a >2ln 解得e a 20<<，所以a 得取值范围是)2,0(e （3）依题意得b x x x

x g -+-+=2ln 2)(，则22'

2)(x x x x g -+=

由()0'

>x g 解得x>1，由()0'

所以函数g(x)在区间[

]

e ,e 1

-上有两个零点，

所以??

?

??<≥≥-0

)1(0)(0

)(1g e g e g 解得121-+≤

选做题 22.解：（1）连结，因为，

，

又因为，所以

，所以．

由已知，，

所以，且， 所以，所以

．

(2) 因为，

所以∽

，则， 所以

又因为，，所以，

所以．所以

23.解析：（1）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ； 24.曲线的直角坐标方程为1)2(2

2

=+-y x （2）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则

2

|

35)6

cos(2|2

|33sin )cos 2(3|++

=

+-+=π

θθθd ]2

2

35,2235[

+-∈∴d 24.解：（1）)2,2(-=M

（2）

0)4)(4()4()(42

222<--=+-+b a ab b a

2

2)4()(4ab b a +<+ 所以原不等式成立。