高中数学不等式解题技巧
不等式解题漫谈
一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用
不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.
倒数法则:若ab>0,则a>b 与1a <1
b
等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。如:(1998年高考题改编)解不等式log a (1-1
x
)>1.
分析:当a>1时,原不等式等价于:1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a, 1
x 同
号,由倒数法则,得x>11-a ; 当0 x <1, ∵0 ∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号,由倒数法则,得1 1-a ; 综上所述,当a>1时,x ∈(11-a ,+∞);当0 1-a ). 注:有关不等式性质的试题,常以选择题居多,通常采用特例法,排除法比较有效。 二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用 绝对值不等式:||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。这里a,b 既可以表示向量,也可以表示实数。 当a,b 表示向量时,不等式等号成立的条件是:向量a 与b 共线; 当a,b 表示实数时,有两种情形:(1)当ab ≥0时,|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时,|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时,不等式就可转化为等式(部分地转化),这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。如: 若1<1a <1 b ,则下列结论中不正确的是( ) A 、log a b>log b a B 、| log a b+log b a|>2 C 、(log b a)2 <1 D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 分析:由已知,得0 注:绝对值不等式是一个十分重要的不等式,其本身的应用价值很广泛,但在高考或其他试题中常设计成在等号成立时的特殊情况下的讨论,因此利用等号成立的条件(a,b 同号或异号)是解决这一类问题的一个巧解。 三、“抓两头 看中间”,巧解“双或不等式”——不等式的解法 (1)解不等式(组)的本质就是对不等式(组)作同解变形、等价变换。 (2)多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向 不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。常用画数轴的方法来确定,但毕竟要画数轴.能否不画数轴直接就可得出解集呢?下面的方法就十分有效。可以“先同向再异向”的原则来确定,即先将同向不等式“合并”(求交集),此时“小于小的,大于大的”;最后余下的两个异向不等式,要么为空集,要么为两者之间。 如解不等式组:?????x<1 ① x<3 ② x>-3 ③x>0 ④-1 , 先由③④(同>)得x>0(大于大的);再由①②(同<)得x<1(小于小的);再将x>0与x<1分别与⑤作交集,由x>0与⑤得0 (3)双或不等式组的解集合成 形如???f 1(x)b f 2(x) g 2(x)>d 的不等式组称为“双或”型不等式组(实际上包括多个“或”型不 等式组成的不等式组也在此列),这是解不等式组中的一个难点。解决这类不等式组时常借用数轴来确定,但学生在求解时总会出现一些错误。这里介绍一种不通过数轴的直接方法:“抓 两头 看中间”!如:???xb x ,先比较a,b,c,d 四个数的大小,如a 有xd (即抓两头);再看x>b 与x 四、巧用均值不等式的变形式解证不等式 均值不等式是指:a 2 +b 2 ≥2ab(a,b ∈R) ①;a+b ≥2ab( a,b ∈R +) ②. 均值不等式是高考的重点考查内容,但其基本公式只有两个,在实际解题时不是很方便。若能对均值不等式进行适当变形,那么在解题时就能达到事半功倍的效果。下面的一些变形式在解题时就很有用,不妨一试。当然你也可以根据需要推导一些公式。如: (1) a 2 ≥2ab-b 2 ③; 是将含一个变量的式子,通过缩小变为含两个变量的式子,体现增元之功效,当然 反过来即是减元; (2) a 2b ≥2a-b ④; (a,b>0) 是将分式化为整式,体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解: 求证:(1)a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ac;(2) a 2 b +b 2 c +c 2 a ≥a+b+c. (a,b,c>0) (析:(1)由a 2 ≥2ab-b 2 得b 2 ≥2bc-c 2 ,c 2 ≥2ac-a 2 ,三式相加整理即得;(2)∵a 2 b ≥2a-b ∴同样可得另两式,再将三式相加整理即得)。 (3)ab ≤(a+b 2 )2 ⑤; 利用不等关系实现两数和与两数积的互化; (4) a 2 +b 2 2≥ a+b 2 ≥ab ⑥;(a,b>0) 利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化; 注:涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分常见的问题,利用⑤、 ⑥两式可以使其中的关系一目了然。从解题分析上看,对解题有很好的导向作用。 (5)若a,b ∈R +,则x 2 a +y 2 b ≥(x+y)2 a+b ⑦(当且仅当x a =y b 时取等号); 此式在解题中的主要作用表现在:从左向右看是“通分”(不是真正的通分)或“合并”,化多项为一项,项数多了总不是好事;从右向左看,是“分解”或“拆项”,实现“一分为二”的变形策略。这在解不等式相关问题中就很有作为!请看下例: 例:已知-1 1-ab . 分析:由上不等式,立即得到 11-a 2+11-b 2≥(1+1)2 2-a 2-b 2≥ 42-2ab =2 1-ab 。 ⑦式还可推广到三个或更多字母的情形,即x 2 a +y 2 b +z 2 c ≥(x+y+z) 2 a+b+c (a,b,c>0); b 12 a 1+ b 22 a 2+…+ b n 2 a n ≥( b 1+b 2+…+b n ) 2 a 1+a 2+…+a n (a 1,a 2,…,a n >0) (6) ax+by ≤a 2 +b 2 x 2+y 2 .(柯西不等式) 此不等式将和(差)式与平方和式之间实现了沟通,灵活应用此式可以很方便地解决许多问题.如下例: 例: 使关于x 的不等式x-3+6-x ≥k 有解的实数k 的取值范围是【 】 A 6- 3 B 3 C 6+ 3 D 6 分析:所求k 的范围可以转化为求不等式左边的最大值即可,由柯西不等式得 x-3+6-x ≤2(x-3)2 +(6-x)2 =23= 6.∴k ≤6,∴k 的最大值是 6.填D. 五、不等式中解题方法的类比应用 1、三种基本方法:比较法、分析法、综合法。其中比较法可分为作差比较法和作商比较法,不仅在不等式的证明和大小比较中有广泛的应用,同时在其他方面也有很大的作用。如分析法就是一种重要的思维方法,在数学的其他章节中也有广泛的应用。 2、放缩法:是不等式证明中一种十分常用的方法,它所涉及的理论简单,思维简单,应用灵活,因而在解题时有着十分重要的应用。如果能灵活应用放缩法,就可以达到以简驭繁的效果。 活题巧解 例1若1<1a <1 b ,则下列结论中不正确...的是【 】 A log a b>log b a B| log a b+log b a |>2 C (log b a)2 <1 D |log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 【巧解】特例法、排除法 由已知,可令a=12,b=1 3,则log a b=log 23>1,0 两边相等,故选D 。 例2 不等式组???|x-2|<2 log 2(x 2 -1)>1 的解集为【 】 (A) (0,3); (B) (3,2); (C) (3,4); (D) (2,4)。 【巧解】 排除法 令x=3,符合,舍A 、B ;令x=2,合题,舍D ,选C 。 [答案] C 。 例3 已知y=f(x)是定义在R 上的单调函数,实数x 1≠x 2,λ≠-1α=x 1+λx 21+λ,β=x 2+λx 1 1+λ, 若|f(x 1)-f(x 2)|<|f(α)-f(β)|,则【 】 A .λ<0 B .λ=0 C. 0<λ<1 D .λ≥1 【巧解】 等价转化法 显然λ≠0,β=x 2+λx 1 1+λ=x 1+ 1 λx 21+1 λ , ∴ α、β分别是以x 1,x 2为横坐标的点所确定的线段以 λ和1 λ为定比的两个分点的横坐标.由题意知,分点应在线段两端的延长线上,所以λ<0,故 选A 。 例4 0 (A )|log (1+a)(1-a) |+| log (1-a)(1+a)|>2 (B )| log (1+a)(1-a)|<| log (1-a)(1+a) | (C )| log (1+a)(1-a)+log (1-a)(1+a)|<| log (1+a)(1-a)|+|log (1-a)(1+a)| (D )| log (1+a)(1-a)-log (1-a)(1+a)|>| log (1+a)(1-a)|-|log (1-a)(1+a)| 【巧解】换元法、综合法 由于四个选项中只涉及两个式子log (1+a)(1-a) 和log (1-a)(1+a),为了简化运算看清问题的本质,不妨设x= log (1+a)(1-a),y= log (1-a)(1+a),由02 B |x|<|y| C |x+y|< |x|+|y| D |x-y|< |x|-|y| 这样选A 就是极自然的事了。 [答案] A 。 例5已知实数 a ,b 满足等式(12)a =(13)b ,下列五个关系式:①0 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 【巧解】数形结合法 在同一坐标系内同时画出两个函数图象:y 1=(12)x ,y 2=(13)x ,(如图)作直线y=m(m>0图中平 行于x 轴的三条虚线),由图象可以看到:当0 [答案] B 。 例6 如果数列{a n }是各项都大于0的等差数列,且公差d ≠0,则【 】. (A )a 1+a 8a 4+a 5 (D )a 1a 8=a 4a 5 【巧解】特例法、排除法 取a n =n,则a 1=1, a 4=4, a 5=5, a 8=8,∴a 1 +a 8=a 4+a 5,故选B 。 [答案] B 。 例8 已知a,b,c 均为正实数,则三个数a+1b , b+1c , c+1 a 与2 的关系是【 】 A 、都不小于2 B 、至少有一个不小于2 C 、都不大于2 D 、至少有一个不大于2 【巧解】整体化思想 将a+1b , b+1c , c+1a “化整为零”,得a+1b +b+1c +c+1a = a+1a +b+1b +c+1 c ≥6,故已知的三个数中 a b 1 O y x (1 3)x (1 2 )x 1 2 o y x 至少有一个不小于2。故选B 。 [答案] B 例9 解不等式 –1< 3x x 2 -4 <1. 【巧解】数轴标根法、等价转化法 原不等式等价于 (3x+x 2 -4)(3x-x 2 +4)<0,即(x+4)(x-1)(x+1)(x-4)>0, 由数轴标根法,知解集为{x|x<-4或-1 注:可以证明不等式m g(x) 例10 不等式|x+2|≥|x|的解集是______. 【巧解】 数形结合法 由数轴上点的意义知,上述不等式的意义是数轴上的点x 到-2的距离不小于到原点的距离。由图形,易知,x ≥-1。 [答案] {x|x ≥-1} 例11已知c>0,不等式x+|x-2c|>1的解集是R ,求c 的取值范围。 【巧解】等价转化法 要使原不等式的解集为R ,只需不等式中不含x 即可,故有 x-x+2c>1 ∴ c>1 2。 [答案] c>1 2 注:这里将|x-2c|中去绝对值的讨论简化为符合题意的一种,显然简捷、精彩! 例12已知f(x)=(x-a)(x-b)-2 (a 【巧解】数形结合法 令g(x)= (x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2,由f(x)=0得g(x)=2,因此f(x)=0的两根m,n 可看成直线y=2与y=g(x)交点的横坐标,画出f(x),g(x)的图象,由图象容易得到m [答案] m 例13 若0 +d 2 =b 2 +c 2 ,求证:a+d 由0c-b,∴(d-a)2>(b-c)2,又(a+d)2+(a-d)2=(b+c)2+(b-c)2 , m b a 2 x O n 两式相减,得(a+d)2<(b+c)2 , ∴ a+d 注:本题的几何意义是:在Rt ΔABC 与Rt ΔABD 中,其中AB 为公共的斜边。若BC>BD,则AC 例14 求征:1+122+132+…+1n 2<2-1 n (n ≥2,n ∈N*). 【巧解】逆用公式法、放缩法 逆用数列的前n 项和的方法来求。设想右端2-1n 是某数列{a n }的前n 项和,即令S n =2-1 n , 则n ≥2时,a n =S n -S n-1=(2-1n )-(2-1n-1)=1n-1-1n =1n(n-1), 这样问题就转化为1n 2<1 n(n-1) ,而这显然。 ∴命题成立。 [答案] 见证明过程 例15 已知a>b>c,求证:1a-b +1b-c +1 c-a >0. 【巧解】放缩法 ∵0 a-c , ∴原式得证。 [答案] 见证明过程 例16 已知a,b,c 均为正数,求证:3(a+b+c 3 - 3 ab)≥2(a+b 2 - ab)。 【巧解】比较法、基本不等式法 ∵ 左边-右边=2ab+c-33ab=ab+ab+c-33ab ≥33ab-33 ab=0,∴原式成立。 [答案] 见证明过程 例18 已知a+b=1(a,b ∈R),求证:(a+1)2+(b+1)2 ≥92。 【巧解】数形结合法。 显然Q(a,b)是直线L :x+y=1上的点,(a+1)2 +(b+1)2 表示点Q 与P(-1,1)的距离的平方。如图,设PT ⊥直线L 于T ,所以|PQ|2≥|PT|2,又|PT|2=(|-1-1-1|1+1)2=92,∴|PQ|2 ≥92 ∴原式成立。 [答案] 见证明过程 例20 已知f(x)=x x+1,若a>b>0,c=2 1 b(a-b) ,求证:f(a)+f(c)>1. 【巧解】基本不等式法、放缩法 可以证明f(x)在(0,+∞)上是增函数。 ∵ c=2 1 b(a-b) ≥21 (a-b+b 2 )2=2 4a 2=4a >0,∴ c ≥4a , ∴f(c)≥f(4a ),而f(a)+f(c)≥f(a)+f(4a )=a a+1+4 a 4a +1=a a+1+4a+4>a a+4+4 a+4 =1. [答案] 见证明过程 例21 若关于x 的不等式x 2 +2ax-2b+1≤0与不等式-x 2 +(a-3)x+b 2 -1≥0有相同的非空解集,求a,b 的值。 【巧解】等价转化法,数形结合法 将y= x 2 +2ax-2b+1与 y=-x 2 +(a-3)x+b 2 -1两式相加,得 2y=(3a-3)x+b 2 -2b,此即为直线MN 的方程(其中M 、N 分别为两函数图象与x 轴的两个交点);另一方面,由题意知,MN 即x 轴,其方程为y=0,比较两式的系数得,3a-3=0,b 2 -2b=0,从而易得a=1,b=0或2,特别地当a=1,b=0时,两不等式的解集为{-1},也符合题意。 [答案] a=1,b=0或2。 例22设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m ) 【巧解】等价转化法 解:∵f(x) 是偶函数,∴f (-x )=f (x )=f (|x |), ∴ f (1-m ) 2。 [答案] -1≤m <1 2 . 注:本题应用了偶函数的一个简单的性质,从而避免了一场“大规模”的讨论,值得关注。 例23解不等式:12 +2x+3 2x 3+x+1 <3. 【巧解】构造法,定比分点法 把12、x 3 +2x+32x 3+x+1 、3看成是数轴上的三点A 、P 、B ,由定比分点公式知P 分所成的比t>0,即x 3 +2x+32x 3 +x+1-1 23-x 3 +2x+32x 3 +x+1 >0,化简得 x(3x+5)>0,∴ x ∈(-∞,53)∪(0,+∞)。 [答案] x ∈(-∞,5 3 )∪(0,+∞)。 例24 已知x,y,z 均是正数,且x+y+z=1,求证:1-3x 2 +1-3y 2 +1-3z 2 ≤6。 【巧解】配凑法、升幂法 不等式两边配上 2 3 ,再运用均值不等式升幂。(你知道为什么要配2 3 吗?) 23 1-3x 2 +23 1-3y 2 +231-3z 2 ≤23+1-3x 22 + 23+1-3y 22 + 23+1-3z 22 =5-3(x 2 +y 2 +z 2 ) 2≤5-3× 132=2, ∴原式成立。 [答案] 见证明过程 例25 设a,b,c 为ΔABC 的三条边,求证:a 2 +b 2 +c 2 <2(ab+bc+ca). 【巧解】综合法 ∵a+b>c,b+c>a,c+a>b,∴三式两边分别乘以c,a,b 得ac+bc>c 2 ,ab+ac>a 2 ,bc+ab>b 2 ,三式相加并整理得, a 2 +b 2 +c 2 <2(ab+bc+ca). [答案] 见证明过程 例26 解不等式 8(x+1)3+ 10x+1 - x 3 -5x>0. 【巧解】构造法,综合法 原不等式等价于(2x+1)3+5(2x+1 )>x 3+5x,构造函数f(x)= x 3 +5x,则原不等式即为f( 2x+1)>f(x),又f(x)在R 上是增函数,∴2 x+1>x,解此不等式得 x<-2或-1 例27已知函数f(x)=x 2 +ax+b(a,b ∈R),x ∈[-1,1],求证:|f(x)|的最大值M ≥12. 【巧解】反证法 假设M<12,则|f(x)|<12恒成立,∴-12 2 , 令x=0,1,-1,分别代入上式,得 -12 2 ③, 由②+③得-32 2 ,这与①式矛盾,故假设不成立,∴原命题成立。 [答案] 见证明过程 例28 已知二次函数f(x)=ax 2 +bx+c,且方程f(x)=0的两根x 1、x 2都在(0,1)内,求证:f(0)f(1)≤a 2 16 . 【巧解】待定系数法、基本不等式法 因方程有两个实根为x 1,x 2,故可设f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),于是 f(0)f(1)=ax 1x 2·a(1-x 1)(1-x 2)=a 2 x 1(1-x 1)x 2(1-x 2)≤a 2 ·14·14≤a 2 16 。 [答案] 见证明过程 例29 若a 1、a 2、…、a 11成等差数列,且a 12 +a 112 ≤100,求S=a 1+a 2+…+a 11的最大值和最小值。 【巧解】基本不等式法、综合法 (a 1+a 11)2 =a 12 +2a 1a 11+a 112 ≤2(a 12 +a 112 )≤200,∴|a 1+a 11|≤102, 又a 1、a 2、…、a 11成等差数列,∴S=a 1+a 2+…+a 11=11 2(a 1+a 11), ∴ S max =552,S min =-55 2. [答案] S max =552,S min =-55 2. 例30若0≤x,y ≤1,求证:x 2 +y 2 +(1-x)2 +y 2 +x 2 +(1-y)2 +(1-x)2 +(1-y)2 ≥2 2 等号当且仅当x=y=1 2 时成立。 【巧解】构造法 如图,设正方形ABCD 的边长为1,BH=x,AE=y,则 HC=1-x,BE=1-y,于是AP=x 2 +y 2 ,BP=x 2 +(1-y)2 , DP=(1-x)2 +y 2 , PC=(1-x)2 +(1-y)2 ,由AP+PC ≥AC ,BP+DP ≥BD ,而AC=BD=2。看,此时结论是不是显然的了? [答案] 见证明过程 例31 设m 是方程ax 2 +bx+c=0的实根,且a>b>c>0,求证:|m|<1. 【巧解】综合法 设方程的另一根为n,则由韦达定理得m+n=- b a <0,mn=c a >0,∴ m,n 同为负数, ∴ 1>b a >|m+n|=|m|+|n|,∴ |m|<1,|n|<1.∴结论成立。 G F E P D C B A 1-y y 1-x x H [答案] 见证明过程 例32 已知二次函数f(x)=ax 2 +bx+1(a,b ∈R,a>0),设方程f(x)=x 的两实根为x 1和x 2,如果x 1<2 【巧解】 数形结合法 设g(x)=f(x)-x=ax 2 +(b-1)x+1,由题意得???g(2)<0g(4)>0,即 ???4a+2b-1<016a+4b-3>0 ,目标是证明-b 2a >-1,即b a <2.如图作出约束条件下的平 面区域(不含边界),而b a 表示区域内的点(a,b)与坐标原点连线的 斜率,易见b a <2,故命题成立。 [答案] 见证明过程 例33 已知12≤a k ≤1(k ∈N +),求证:a 1a 2…a n +(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n )≥1 2n-1. 【巧解】增量法、换元法 设令a k =12+b k (0≤b k ≤12),则原式左边=(12+b 1)(12+b 2)…(12+b n )+(12 -b 1)(12 -b 2)…(1 2 -b n )=[(12)n +M]+[(12)n +N]=(12)n-1+M+N ≥(12 )n-1 =右边,∴原式成立。 [答案] 见证明过程 (注:多项式M 和N 正负抵消部分项后,所余部分和必为非负数。) 例35 已知a,b,c ∈R,f(x)=ax 2 +bx+c.若a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大值是2,最小值是-52。证明:a ≠0且|b a |<2. 【巧解】反证法 假设a=0或|b a |≥2。 (1)若a=0,则由a+c=0,得c=0,∴f(x)=bx.由题设知b ≠0,∴f(x)在[-1,1]是单调函数,从而f(x)max =|b|;f(x)min =-|b|,于是|b|=2,-|b|=- 5 2 ,由此得矛盾; (2)若|b a |≥2,则|-b 2a |≥1且a ≠0,因此区间[-1,1]在抛物线f(x)=ax 2 +bx-a 的对称轴 x=-b 2a 的左侧或右侧,∴函数f(x)在[-1,1]上是单调函数,从而f(x)max =|b|;f(x)=-|b|,由(1)知这是不可能的。 综合(1)(2)知,命题成立。 [答案] 见证明过程 a (18,1 4 ) b 例36 是否存在常数C ,使得不等式x 2x+y +y x+2y ≤C ≤x x+2y +y 2x+y ,对任意正数x,y 恒成立? 试证明你的结论。 【巧解】分析法 令x=y=1,得23≤C ≤23,所以C=2 3 。下面给出证明: (1) 先证明:x 2x+y +y x+2y ≤23,因为x>0,y>0,要证:x 2x+y + y x+2y ≤2 3,只要证 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即证:x 2 +y y ≥2xy,这显然成立, ∴ x 2x+y +y x+2y ≤2 3 ; (2)再证:x x+2y +y 2x+y ≥2 3,只需证:3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y), 即证:x 2+y 2 ≥2xy,这显然成立,∴x x+2y +y 2x+y ≥23 。 综合(1)、(2)得,存在常数C=23,使对于任何正数x,y 都有x 2x+y +y x+2y ≤23≤x x+2y +y 2x+y 成 立。 [答案] 存在常数C=2 3 ,证明略. 第三章不等式 定义:用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性:如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y; ②传递性:如果x>y,y>z;那么x>z; ③加法性质;如果x>y,而z为任意实数,那么x+z>y +z; ④乘法性质:如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(符号法则) 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F(x)<G(x)与不等式G(x)>F(x)同解。 ②如果不等式F (x ) < G (x )的定义域被解析式H ( x )的定义域所包含,那么不等式 F (x )<G (x )与不等式F (x )+H (x )<G (x )+H (x )同解。 ③如果不等式F (x )<G (x ) 的定义域被解析式H (x )的定义域所包含,并且H (x )>0,那么不等式F(x)<G (x )与不等式H (x )F (x )<H ( x )G (x ) 同解;如果H (x )<0,那么不等式F (x )<G (x )与不等式H (x)F (x )>H (x )G (x )同解。 ④不等式F (x )G (x )>0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数: )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数: n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数: n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数: n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +,当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ,有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 (一) 知识容 1.含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式. 一元二次不等式的解集,一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表(以0a >为例): 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决.其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小值,③变更主元利用函数与方程的思想求解. 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈,且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一:解一元二次不等式 解不等式 (二)主要方法 1.解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式,然后求出对应方程的根(若有根的话),再写出不等式的解:大于0时两根之外,小于0时两根之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解. (三)典例分析: 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 . 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为( ) A .{|31}x x x -或≥≤ B .{|13}x x -≤≤ C .{|31}x x -≤≤ D .{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是( ) A .132? ?-??? ? , B .132??-????, C .(]11132??????U ,, D .(]11132?? -???? U ,, 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ,则不等式 220.011 n n -<+的解集为( ) A .{}|199n n n *∈N ≥, B .{}|200n n n *∈N ≥, C .{}|201n n n *∈N ≥, D .{}|202n n n *∈N ≥, 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为( ) A .{}{}|01|1x x x x <<>U B .{}|01x x << C .{}|10x x -<< D .{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集,则实数a 的取值围是 _. 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________. 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123,,,则b 的取值围为 . 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解,则实数a 的取值围是( ) A .4a <- B .4a >- C .12a >- D .12a <- 【变式】 ⑴已知0a <,则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同,则a b -=______. 2019年高二第一学期数学教学计划教学进 度表 第1周 数学必修2:立体几何 1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图(1)(2) 第2周 1.2空间几何体的三视图和直观图(1)(2) 第3周 1.3表面积体积空间几何体的复习(1)(2) 第4周 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系(1)(2)(3)(4)(单元检测) 第5周 2.2直线、平面平行的判定及其性质(1)(2)(3)(4) 第6周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质(1)(2)(3)(4)(单元检测) 第7周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质(4) 空间点、线、面复习(月考) 第8周 选修2-1:空间向量 第三章3.1空间向量及其运算 第9周 空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法 第10周 期中考试 第11周 空间向量复习(单元检测) 第12周 第一章常用逻辑用语: 1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件 第13周 1.3简单的逻辑连结词1.4全称量词与存在量词 第14周 常用逻辑用语复习(2课时)2.1椭圆(3课时) 第15周 2.1椭圆(3课时)2.2双曲线(2课时) 第16周 2.2双曲线(2课时)2.3抛物线(3课时) 第17周 2.3抛物线(1课时)2.4直线与圆锥曲线的位置关系(3课时) 第18周 曲线与方程(2课时)复习(单元检测) 第19周 总复习 第20周 要练说,先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯:有的结巴重复,面红耳赤;有的声音极低,自讲自听;有的低头不语,扯衣服,扭身子。总之,说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键,面向全体,偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时,我总是笑脸相迎,声音亲切,动作亲昵,消除幼儿畏惧心理,让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中,改变过去老师讲学生听的传统的教学模式,取消了先举手后发言的约束,多采取自由讨论和谈话的形式,给每个幼儿较多的当众说话的机会,培养幼儿爱说话敢说话的兴趣,对一些说话有困难的幼儿,我总是认真地耐心地听,热情地帮助和鼓励他把话说完、说好,增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求,在说话训练中不断提高,我要求每个幼儿在说话时要仪态大方,口齿清楚,声音响亮,学会用眼神。对说得好的幼儿,即使是某一方面,我都抓住教育,提出表扬,并要其他幼儿模仿。长期坚持,不断训练,幼儿说话胆量也在不断提高。期末考试 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1.222a b a b +≥,其中,a b R ∈,当且仅当a b =时等号成立。 2.2a b a b +≥,其中[),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 3.常考不等式: 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ,其中(),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1:基本不等式与最值 解题思路: (1)积定和最小:若a b 是定值,那么当且仅当a b =时,()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ (2)和定积最大:若a b +是定值,那么当且仅当a b =时,()2 m a x 2a b a b +??= ??? ,其中,a b R ∈。 例题1:若实数,a b 满足221a b +=,则a b +的最大值是 . 解析:很明显,和为定,根据和定积最大法则可得:2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ,当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式:函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ,若点在直线1m x n y +=上,则m n 的最大值为______。 解析:由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ,将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=,明显,和为 定,根据和定积最大法则可得:2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ,当且仅当12m n ==时取等号。 例题2:已知函数()2 122 x x f x +=+ ,则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________. 解析:很明显,积为定,根据积定和最小法则可得:2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =,当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式:已知2x >-,则12 x x + +的最小值为 。 解析:由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +,明显,积为定,根据和定积最大法则可得: ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++,当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号,此时可得 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 教学计划高中数学 教学计划(课程计划)是课程设置的整体规划,以下是整理的关于教学计划高中数学,欢迎阅读参考。 我以前一直是在教文科班的数学,这学期对于我来说,面临着挑战,因为本学期我接手了两个理科班。以前我带的始终是文科班,对于文科班的学生的情况比较理解,但对于理科班来说,我不知道他们对学习会有怎样的想法与做法。针对这种情况,我制定了如下的高中数学教学计划: 一、指导思想 在学校、数学组的领导下,严格执行学校的各项教育教学制度和要求,认真完成各项任务,严格执行“三规”、“五严”。利用有限的时间,使学生在获得所必须的基本数学知识和技能的同时,在数学能力方面能有所提高,为学生今后的发展打下坚实的数学基础。 二、教学措施 1、以能力为中心,以基础为依托,调整学生的学习习惯,调动学生学习的积极性,让学生多动手、多动脑,培养学生的运算能力、逻辑思维能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。精讲多练,一般地,每一节课让学生练习20分钟左右,充分发挥学生的主体作用。 2、坚持每一个教学内容集体研究,充分发挥备课组集体的力量,精心备好每一节课,努力提高上课效率。调整教学方法,采用新的教学模式。 3、脚踏实地做好落实工作。当日内容,当日消化,加强每天、每月过关练习的检查与落实。坚持每周一周练,每章一章考。通过周练重点突破一些重点、难点,章考试一章的查漏补缺,章考后对一章的不足之处进行重点讲评。 4、周练与章考,切实把握试题的选取,切实把握高考的脉搏,注重基础知识的考查,注重能力的考查,注意思维的层次性(即解法的多样性),适时推出一些新题,加强应用题考察的力度。每一次考试试题坚持集体研究,努力提高考试的效率。 5.注重对所选例题和练习题的把握: 6.周密计划合理安排,现数学学科特点,注重知识能力的提高,提升综合解题能力,加强解题教学,使学生在解题探究中提高能力. 7.多从“贴近教材、贴近学生、贴近实际”角度,选择典型的数学联系生活、生产、环境和科技方面的问题,对学生进行有计划、针对性强的训练,多给学生锻炼各种能力的机会,从而达到提升学生数学综合能力之目的.不脱离基础知识来讲学生的能力,基础扎实的学生不一定能力强.教学中不断地将基础知识运用于数学问题的解决中,努力提高学生的学科综合能力. 三、对自己的要求——落实教学的各个环节 1.精心上好每一节课 备课时从实际出发,精心设计每一节课,备课组分工合作,利用集体智慧制作课件,充分应用现代化教育手段为教学服务,提高四十五分钟课堂效率。 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0,解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a;若a<0,解集为?? ? ? ? ? x| x< b a;若a=0,当b≥0时,解集为?,当b<0时,解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论,对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集,可归纳为: 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 有两相异实根 x=x1或x=x2 有两相同实根 x=x1=x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2+bx+ c>0(a>0) {x|x 2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达 标训练新人教A 版选修 基础·巩固 1.如下图所示,矩形OPAQ 中,a 1≤a 2,b 1≤b 2,则阴影部分的矩形的面积之和_________空白部分的矩形的面积之和. 思路分析:这可沿图中线段MN 向上翻折比较即知.当然由图我们可知,阴影面积=a 1b 1+a 2b 2,而空白面积=a 1b 2+a 2b 1.根据顺序和≥反序和可知答案. 答案:≥ 2.设a 、b 、c 为某一三角形三边长,求证: a 2(b+c-a)+ b 2(c+a-b)+ c 2(a+b-c)≤3abc. 思路分析:运用排序原理,关键是弄出有序数组,通常从函数的单调性质去寻找,如f(x)=x 2在R +单调递增,f(x)=在R +单调递减. 证明:不妨设a≥b≥c,易证a(b+c-a)≤b(c+a -b)≤c(a+b -c). 由排序原理得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤a·b(c+a -b)+b·c(a+b -c)+c·a(b+c -a)=3abc. 3.对a,b,c∈R +,比较a 3+b 3+c 3与a 2b+b 2c+c 2a 的大小. 思路分析:将式子理解为积的形式a 2·a+b 2·b+c 2·c,a 2b+b 2c+c 2a,再依大小关系可求解. 解:取两组数a,b,c ;a 2,b 2,c 2. 不论a,b,c 的大小顺序如何,a 3+b 3+c 3都是顺序和,a 2b+b 2c+c 2a 都是乱序和; 故由排序原理可得a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a. 4.求证:正实数a 1,a 2,…,a n 的任一排列为a 1′,a 2′,…,a n ′,则有≥n. 思路分析:本题考查如何将和的形式构造为积的形式,本题关键是将n 理解为n 个1相加,而把1理解为x·的形式.这种方法有普遍的应用,应该加以重视. 证明:取两组数a 1,a 2,…,a n ;,,…,. 其反序和为=n ,原不等式的左边为乱序和,有≥n. 5.已知a,b,c∈R +,求证:≥a 10+b 10+c 10. 思路分析:可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式. 证明:不妨设a≥b≥c>0,则>0且a 12≥b 12≥c 12>0, 则ab c bc b ab a ab c ca b bc a 12 1212121212++≥++ c c b b a a a c c b b a 11 1111111111++≥++==a 10+b 10+c 10. 6.设a 1,a 2, …,a n 是1,2, …,n 的一个排列,求证: n n a a a a a a n n 1322113221-++≤-+++ . 第二讲 解不等式(一) 一、知识梳理 (一)考点目标定位 高考中解不等式主要涉及到一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)、分式不等式(组)、绝对值不等式(组)、指数不等式(组)、对数不等式(组)、三角不等式(组)以及含参数的不等式等。其中尤以一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、三角不等式为热门。 解不等式在高考中的题型主要是在综合题中作为解题的一个步骤有所涉及,在填空题中和集合结合为简单题型。 (二)复习方略指南 熟悉各种不等式的解题方法,特别是要注意分式不等式、对数不等式和三角不等式的定义域情况以及一元二次不等式的判别式情况。 二、知识回顾 1、不等式|2x 2-1|≤1的解集为 {x |-1≤x ≤1} 2、已知全集U R =,集合{}240M x x =-≤,则U M e= {} ()()+∞-∞--<>,22,22 或或x x x 3、不等式09 311421 2≥-x x 的解集为______(,3][2,)-∞-+∞_________ 4、不等式3 2-+x x x )(<0的解集为 ()(),20,3-∞- 5、不等式()210ax ab x b +++>的解集为{}12x x <<,则a b +=___- 23或-3____. 解析:∵ax 2+(ab +1)x +b >0的解集为{x |1<x <2}, ∴???? ?????==+-<.2310a b a ab a ,,解得?????-=-=121b a ,或???-=-=.21b a , ∴a +b =-23或-3. 6、不等式||52||1 x x ->-+的解集是 (1)(1-???,, . 三、典型例题 例1、解不等式:()R a x a ax ∈+<+2 1 解:原不等式化为()112-<-a x a 当1,1+<>a x a 有时; 当11+>-x x 解一:原不等式可化为??????<<-?∈<<-?∈-<-222223022x R x x R x x 高一上教学进度周次节次教学内容(包括复习,测试等安排) 11集合的含义及其表示2子集,全集,补集 1交集,并集 21习题课 1一元二次不等式的解法 1简单高次不等式及分式不等式的解法1简单绝对值不等式的解法 1复习课 32函数的概念和图像1函数的概念和图像2函数的表示方法 42函数的简单性质2函数的简单性质1映射的概念 52函数习题课 1二次函数图像、概念和性质 61二次函数在给定区间上的最值问题2分数指数幂 71指数函数3指数函数1对数 81对数 1对数函数2对数函数1幂函数 92习题课 1简单复合函数的研究2简单复合函数的研究 101二次函数与一元二次方程1用二分法求方程的近似解2函数模型及其应用 1习题课 112复习与期中考试 121任意角 1弧度制 1习题课(角范围的表示) 1任意角的三角函数的概念 1三角函数线(补充简单的三角不等式) 131同角三角函数的基本关系1同角三角函数的基本关系2诱导公式 1习题课 141三角函数的周期性 1正、余弦函数的图象及五点法 1正、余弦函数的性质(补充对称性)1正、余弦函数的性质习题课 1正切函数的图象与性质 151习题课 2函数y=Asin(ωx+φ)的图像2三角函数的应用 161向量的概念及其表示1向量的加法 1向量的减法 2向量的数乘 172习题课 1平面向量的基本定理 1平面向量的座标表示及运算1向量平行的座标表示 181向量的数量的概念 1向量数量积的座标表示1习题课 1复习与小结 191两角和与差的余弦 2两角和与差的正弦 1习题课(补asinx+bcosx的内容) 1两角和与差的正切 201 习题课 2二倍角的三角函数,明确降幂公式1 习题课 1 几个三角恒等式 三角函数的化简、求值和证明 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)( 第三章 不等式 一、选择题 1.已知x ≥2 5 ,则f (x )=4-25+4-2x x x 有( ). A .最大值45 B .最小值4 5 C .最大值1 D .最小值1 2.若x >0,y >0,则221+)(y x +221 +)(x y 的最小值是( ). A .3 B . 2 7 C .4 D . 2 9 3.设a >0,b >0 则下列不等式中不成立的是( ). A .a +b + ab 1≥22 B .(a +b )( a 1+b 1 )≥4 C 22 ≥a +b D . b a ab +2≥ab 4.已知奇函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (1)=0,则不等式x x f x f ) ()(--<0 的解集为( ). A .(-1,0)∪(1,+∞) B .(-∞,-1)∪(0,1) C .(-∞,-1)∪(1,+∞) D .(-1,0)∪(0,1) 5.当0<x <2 π时,函数f (x )=x x x 2sin sin 8+2cos +12的最小值为( ). A .2 B .32 C .4 D .34 6.若实数a ,b 满足a +b =2,则3a +3b 的最小值是( ). A .18 B .6 C .23 D .243 7.若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ++,所表示的平面区域被直线y =k x +34分为面积相等的两部分,则k 的值是( ). A . 7 3 B . 37 C . 43 D . 34 8.直线x +2y +3=0上的点P 在x -y =1的上方,且P 到直线2x +y -6=0的距离为 人教版高中数学教学计划:人教版高中数学 进度安排教 人教版高中数学教学计划高中数学教学计划(一): 新学期已经开始,在学校工作总体思路的指导下,现将本学期数学组工作进行规划、设想,力争使本学期的工作扎实有效,为学校的发展做出新的贡献。 一、指导思想以学校工作总体思路为指导,深入学习和贯彻新课程理念,以教育教学工作为重点,优化教学过程,提高课堂教学质量。结合数学组工作实际,用心开展教育教学研究活动,促进教师的专业发展,学生各项素质的提高,提高数学组教研工作水平。 二、工作目标1、加强常规教学工作,优化教学过程,切实提高课堂教学质量。 2、加强校本教研,用心开展教学研究活动,鼓励教师根据教学实际开展教学研究,透过撰写教学反思类文章等促进教师的专业化发展。 3、掌握现代教育技术,用心开展网络教研,拓展教研的深度与广度。 4、组织好学生的数学实践活动,以调动学生学习用心性,丰富学生课余生活,促进其全面发展。 三、主要工作1、备课做好教学准备是上好课的前提,本学期要求每位教师做好教案、教学用具、作业本等准备,以良好的精神状态进入课堂。备课是上好课的基础,本学期数学组仍采用年级组群众备课形式,要求教案尽量做到环节齐全,反思具体,有价值。群众备课时,所有教师务必做好准备,每个单元负责教师要提前安排好资料及备课方式,对于教案中修改或补充的资料要及时地在旁边批注,电子教案的可在旁边用红色批注(发布学校网数学组板块内),使群众备课不流于形式,每节课前都要做到课前的“复备”。 每一位教师在个人研究和群众备课的基础上构成适合自我、实用有效的教案,更好的为课堂教学服务。各年级组每月带给单元备课活动记录,在规定的群众备课时间,教师无特殊原因不得缺席。 提高课后反思的质量,提倡教学以后将课堂上精彩的地方进行实录,以案例形式进行剖析。对于原教案中不合理的及时记录,结合课堂重新修改和设计,同年级教师能够共同反思、共同提高,为以后的教学带给借鉴价值。数学教师每周反思不少于2次,每学期要有1-2篇较高水平的反思或教学案例,及时发布在向学校网上,学校将及时进行评审。 教案检查分平时抽查和定期检查两种形式,“推门课”后教师要及时带给本节课的教案,每月26号为组内统一检查教案时间,每月检查结果将公布在学校网数学组板块中的留言板中。 2、课堂教学课堂是教学的主阵地。教师不但要上好公开课,更要上好每一天的“常规课”。遵守学校教学常规中对课堂教学的要求。 高中数学-不等式的解法 若a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0, n € N *, n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 2 排序不等式 先来看一个问题: 设有10个人各拿一只水桶去接水,若水龙头注满第i 个人的水桶需要i a 分钟,且这些i a 各不相同。那么,只有一个水龙头时,应如何安排10个人接水的顺序,才能使它们等待的总时间最少?这个最少的总时间等于多少? 解决这一问题,就需要用到排序不等式的有关内容。在没有找到合理的解决办法之前,同学们可以猜测一下,怎样安排才是最优的接水顺序? 为了解决这一问题,先来了解排序不等式。 一般地,设有两组正数n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 ,且n a a a ≤≤≤ 21,n b b b ≤≤≤ 21. 若将两组中的数一对一相乘后再相加, 则其和同序时最大,倒序时最小.即 (倒序)(乱序)(同序)1 12121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n i n i i n n n +++≥+++≥+++- 其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的任一个排列,等号当且仅当n a a a === 21或 n b b b === 21时成立。 下面采用逐步调整法证明排序不等式。 证明:考察任意和式n i n i i b a b a b a s +++= 2121。 若1i b 是1b ,则转而考察2i b ; 若1i b 不是1b ,而某一k i b 是1b 。将1i b 与k i b 调整位置,得 n k i n i k i i b a b a b a b a s +++++=' 1221 则 0))(()()(111111≥--=-+-=-'i k i i k i i b b a a b b a b b a s s k k 这就是说,当把第一项调整为11b a 后,和不会减少。同样,可将第二项调整为22b a ,…, 高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 川师大四中高二上学期数学教学工作计划 一、指导思想: 全面贯彻教育方针,深入实施素质教育,使学生在高一学习的基础上,进一步体会数学对发展自己思维能力的作用,体会数学对推动社会进步和科学发展的意义以及数学的文化价值,提高数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。 二、学生情况分析: 高二文科班学生,学习数学的气氛不浓、基础比较差。由于学生对学过的知识内容不及时复习,致使对高二的数学学习有很大的影响,高一数学成绩充分反映没有尖子生,成绩特差的学生也有不少,有一批思维灵活的学生,但学习不够刻苦,学习成绩一般,但有较大的潜力,以后好好的引导,进一步培养他们的学习兴趣,从而带动全班同学的学习热情,提高学生的数学成绩。 三、本学期应达到的教学目标: 本学期本着从学生的实际出发,认真落实新课程的标准,认真体会新教材的要求,使自己的教学水平有长足的进步。本学期努力提高期末考试的优秀率和合格率,同时也重视培养学生的应试能力和对学科的兴趣,改善学生的学习习惯,全面落实基础,使学生的能力有较大的提高。达到以下目标: (1)通过分析问题的方法的教学,培养学生的学习的兴趣。 (2)提供生活背景,通过数学建模,让学生体会数学就在身边,培养学数学用数学的意识。 (3)在探究过程中,体验获得数学规律的艰辛和乐趣,在分组研究合作学习中学会交流、相互评价,提高学生的合作意识 (4)基于情感目标,调控教学流程,坚定学习信念和学习信心。 (5)还时空给学生、还课堂给学生、还探索和发现权给学生,给予学生自主探索与合作交流的机会,在发展他们思维能力的同时,发展他们的数学情感、学好数学的自信心和追求数学的科学精神。 四、教材分析和时间安排: 本学期教学内容为必修2第三章《直线与方程》、第四章《圆与方程》,必修3,选修1-2第一章《统计案例》,选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》。本学期课本内容多、难度大,又要迎接月考,期中和期末考试,正常的教学工作很难完成。针对这些具体情况,对本学期的教学进度安排如下: 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式, 分式不等式,高次不等式,指数、对数不等 式,三角不等式,含参不等式,函数不等式, 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; ) ()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <> 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式 (有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)23440x x -++>解集为 (2 23x -<< )(一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式 0)2(<-x f 的解集为 ),2 1 ()23,(+∞--∞Y 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解(完整版)高中数学不等式归纳讲解
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