高中数学竞赛中不等式的解法
高中数学竞赛中不等式的解法
摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.
1．排序不等式 定理1
设1
212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有
1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）
1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）
其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.
（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和
顺序积和.）
证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式
1212...n
r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当
121,2,...,n r r r n
===时，S 达到最大值
1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有
.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）
事实上， ()()()0n n n n n
k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥
不等式（1-1）告诉我们当n
r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n
a 和n
b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122
...n n a b a b a b +++，这就证明了
1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.
再证不等式左端,
由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，
得
1211(...)n
n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++
即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .
例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3
()
a b c a b c
a b c abc ++≥.
思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：
lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++
lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++
有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3
a b c
a b c
a
b c abc ++≥
故 3
()
a b c a b c
a
b c abc ++≥ .
例2 设a,b,c R +
∈，求证：222222333
222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab
+++++≤
++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则 2
22a b c ≥≥且111
c b a
≥≥
根据排序不等式，有
222222111a b c a b c c a b a b c
++≥++ 222222111a b c a b c b c a a b c
++≥++ 两式相加除以2，得
222222
222a b b c c a a b c c a b
+++++≤++
再考虑3
33a
b c ≥≥，并且
111bc ca ab
≥≥
利用排序不等式，
333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc
++≥++
333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac
++≥++
两式相加并除以2，即得
222222333
222a b b c c a a b c c a b bc ca ab
+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.
例3 设1
2120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.
求证：
11
11
r s
n
n
n n
i j r s
r s r s a b a b r s
r s
====≥++∑∑∑∑
. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.
证明：令 1
s n
j r
s b d r s
==+∑
（r=1,2,...,n ）
显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 1
2...n b b b ≤≤≤ ， 且
111...(1)1
r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式
1
n
s
r s b d r s =≤+∑ 又因为 1
2...n a a a ≤≤≤
所以 11r
n
n
r r i r r r a d a d ==≤∑∑且111
n
n
n
s
r r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）
故
11
1
1
1
r s
s
r
n n
n n
n
i j j ir
i r
r s r s r a b b a a d
r s r s =======++∑∑∑∑∑
11111n n n
n n
s r s r r r r r s r s b a b
a d a r s r s
=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.
2.均值不等式
定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.
其中，
121()111
...n
H n a a a =
+++，
()G n ，
12...()n
a a a A n n
+++=
，
()Q n =
分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.
记
c =
i i
a b c
=
，
则 原不等式12...n b b b n ?+++≥
其中 12121
...( (1)
n n b b b a a a c =
= 取 12,,...,n x x x 使 1121
2123,,...,,n n n x x x
b b b x x x --=
== 则 1
.n n x b x = 由排序不等式，易证
11
12
21
......n n n n x x x b b b n x x x -+++=
+++≥
下证
()()A n Q n ≤
因为 2
22
21
2121...[(...)n n a a a a a a n +++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-
2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]
2121
(...)n a a a n
≥
+++ 所以
12...n a a a n +++≤
从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.
下面证明 ()()H n G n ≤
对n 个正数
12111
,,...,n
a a a ，应用 ()()G n H n ≤，得
12111
...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.
例4已知2201,0a x y <
<+=，求证：1
log ()log 28
x y a a a a +≤+
. 证明：由于 01a <<，0,0x
y a a >>，
有
x
y a
a +≥=从而
log ()log log 22
x
y a a a x y
a a ++≤=+
下证
128x y +≤ ， 即 1
4
x y +≤。 又因为 2
111()244x y x x x +=-=--+≤，等号在x=12(这时y=14
)时取得
所以 1log ()log 28
x y
a a a a +≤+ .
例5（IMO ）设a,b,c 是正实数，且满足abc=1. 证明：111
(1)(1)(1)1a b c b c a
-+
-+-+≤
证明：令 ,,y y z
a b c x z x
=
==，其中x,y,z 是正实数，将原不等式变形为 ()()()x y z y z x z x y xyz -+-+-+≤ （2-1）
记 ,,u x y z v y z x w z x y =
-+=-+=-+，
注意到u,v,w 任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数. 如果恰有一个负数，那么0uvw xyz ≤<
，
（2-1）式成立. 如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式
1
()2
x y z y z x x ≤-++-+=
y ≤
z 于是
xyz ≤
即 uvw xyz ≤，
（2-1）式得证.
例6 已知12,,...,0n a a a >，且12...1n a a a +++=.
求证：
1223131211...1...1 (21)
n n n n a a a n
a a a a a a a a a n -++≥++++++++++++-.
思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为112
(1)22n
n
i i i i i
a a a ===---∑∑. 左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项
2
2i
a -可看为倒
数形式，尝试用调和平均. 证明：不等式左边化为
112
(1)22n
n
i i i i i a a a ===---∑∑， 对
12222
,, (222)
a a a ---，利用
()()A n H n ≥有 11
1222n i
n
i i i
i a n
a n a ==≥--∑∑
即 222
1
1
221122122n
i
n
i i i a n n n n n n a ==-≥
==
--
-∑∑ 所以 2
111
222(1)22221n
n n
i i i i i i i a a n n n a a n ===-=-=-≥----∑∑∑21n n =
- .
3．柯西不等式
柯西不等式的推广 命题1
若级数∑∑==n
i i n
i i b a 12
12
与收敛，则有不等式∑∑∑===≤??
? ??n
i i n i i n i i i b a b a 12
122
1。
证明：∑∑==n
i i n i i b a 12
12,Θ收敛，??
? ????? ??≤??? ??≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 12122
10
i n
i i b a ∑=∴1
收敛，且∑∑∑=∞
→=∞→=∞→≤??? ??n
i i
n n i i n n i i i n b a b a 12
122
1lim lim lim
从而有不等式∑∑∑===≤??
? ??n
i i n i i n i i i b a b a 12
122
1成立。
命题2[3]
若级数∑∑==n
i i n
i i b a 12
12
与收敛，且对N n ∈?有∑∑∑===≤??
? ??n
i i n i i n i i i b a b a 12
122
1，则对定义在[]b a ,上的任意连续函数
()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f b
a b a
b a ???≤??
? ??222
证明：因为函数
()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x f x g x f 22、、与在[]b a ,上可积，将
[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：
()()()()()()()()x
g dx x g x f dx x f x
g dx x g x f dx x f i n
i n b
a
i n
i n b
a
n
i i
n b
a
n
i i
n b
a
?=?=?=?=∑?∑?
∑?∑?=∞
→=∞
→=∞
→=∞
→ξξξξ1
221
221
1
lim ,lim lim ,lim
令()()12
21
12
2
1
,ξξg b f a
==，则∑∑==n
i i
n i i b a 1
2
1
2
与收敛，由柯西不等式得
()()()()()()()()??? ?????? ???≤??? ?????
? ?????? ???≤??? ???∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===n i i n n i i n n i i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 1212
2
112122
1lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式
()()()()dx x g dx x f dx x g x f b
a b a
b a ???≤??
? ??222
。 赫尔德不等式[4]
例7设
12
,,...,
n
x x x R+
∈，求证：
22
22
1
12
12
231
......
n n
n
n
x x
x x
x x x
x x x x
-
++++≥+++. 思路分析：注意到式子中的倒数关系，考虑运用柯西不等式来证明.
证明：因为
12
,,...,
n
x x x>0，故由柯西不等式，得
22
22
1
12
231
231
2
2
231
(...)(...)
...
(...)
n n
n
n
n
x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
-
++++++++
≥++
=++++
所以
22
22
1
12
12
231
......
n n
n
n
x x
x x
x x x
x x x x
-
++++≥+++.
例8 已知实数,,,a b c d ，e 满足222228,16a b c d e a b c d e ++++=++++=，求e 的取值范围.
思路分析：由2
2222a
b c d e ++++联想到应用柯西不等式.
解：因为
222222224()(1111)()a b c d a b c d +++=++++++
2
(),a b c d ≥+++
即
224(16)(8)e e -≥-，
2
26446416e e e -≥-+
即 2
5160e
e -≤，所以
(516)0e e -≤，
故
605
e ≤≤
. 评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目.
例9 123,,x x x R +
∈满足2
221
231x x x ++=，求
312
222
123
111x x x x x x ++---的最小值.
解
：容易猜到123x x x ===
312222
123
111x x x x x x ++---
. 为了证明这一点，利用柯西不等式，得
3
33
32
22111
.(1)11i i
i i i i i i x x x x x ===-≥=-∑∑∑， 只需要证明
3
321
(1)i i i x x =-≤
∑
等价于
3
3
5
31
1
i i i i x x ==+≥∑∑ （3-1）
由几何—算术平均不等式，得
25311x x +≥=， 同理可证，
25322x x +≥=，
2
53
33
x x
+≥=，
以上三式相加，（3-1）式得证，进而证得
3
12
222
123
111
x
x x
x x x
++
---
的最小值是
2
，当且仅当
123
x x x
===
评述：柯西不等式中的
i i
a b
∑的项i i a b如何拆成两个因式i a和i b
的积，可以说是应用此不等式的主要技巧（上例
3
32
1
(1)
i i
i
x x
=
-≤
∑，我们将32
1
i
i
x
=
∑中的2i x
的积），正因为i i
a b可以按照我们的需要加以分解，柯西不等式的应用更为广泛.
例10试问：当且仅当实数
01
,,...,(2)
n
x x x n≥满足什么条件是，存在实数
01
,,...,
n
y y y使得
2222
012
...
n
z z z z
=+++成立，其中
k k k
z x iy
=+，i为虚数单位，k=0,1,…,n. 证明你的结论.（高中联赛，1997）
思路分析：将2222
012
...
n
z z z z
=+++成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找
(1,2,...,)
i
x i n
=的范围.
解：将2222
012
...
n
z z z z
=+++转化到实数范围内，即
2222
00
11
00
1
,
n n
k k
k k
n
k k
k
x x y y
x y x y
==
=
?
-=-
??
?
?=
??
∑∑
∑
（3-2）
若存在实数
01
,,...,
n
y y y使（3-2）成立，则222
00
1
()
n
k k
k
x y x y
=
=∑.
由柯西不等式可得2222
00
11
()()
n n
k k
k k
x y x y
==
≤∑∑（3-3）
如果22
1
n
k
k
x x
=
>∑，由（3-2）可知22
1
n
k
k
y y
=
>∑，从而
2222
00
11
()()
n n
k k
k k
x y x y
==
>∑∑与（3-3）矛盾
于是得 220
1
n
k k x
x =≤∑ （3-4）
反之若（3-4）成立，有两种情况：
⑴220
1n
k k x
x ==∑，则取k k y x =，k=0,1,2,…,n ，显然（3-2）成立.
⑵220
1
n
k
k x
x
=<∑，记2
22
01
0n
k k a
x x ==->∑，则1,...,n x x 不全为0. 不妨设0n
x ≠，
取
0,0,1,2,...,2k y k n ==-，并且取
1n n y y -=
=
易知（3-2）成立.
综上，所求的条件为 220
1
n
k k x
x =≤∑.
4．切比雪夫不等式 定理4 设
12,,...,n
x x x ，
12,,...,n
y y y 为任意两组实数，若
12...n
x x x ≤≤≤且
12...n
y y y ≤≤≤或
12...n x x x ≥≥≥且12...n y y y ≥≥≥，则
111
111()()n n n
i i i i i i i x y x y n n n ===≥∑∑∑ （4-1）
若1
2...n x x x ≤≤≤且12...n y y y ≥≥≥或12...n x x x ≥≥≥且12...n y y y ≤≤≤，则
111
111()()n n n
i i i i i i i x y x y n n n ===≤∑∑∑ （4-2）
当且仅当1
2...n x x x ===或12...n y y y ===时，（4-1）和（4-2）中的不等式成立.
证明： 设1212,,...,,,,...,n n x x x y y y 为两个有相同次序的序列，由排序不等式有
11221122......n n n n x y x y x y x y x y x y +++=+++ 112212231......n n n x y x y x y x y x y x y +++≥+++ 1122
13242......n n n x y x y x y x y x y x y +++≥+++
…………
11221211......n n n n n x y x y x y x y x y x y -+++≥+++
把上述n 个式子相加，得 1
1
1
()()n
n n
i i
i i i i i n
x y
x y ===≥∑∑∑
上式两边同除以2
n ，得 111
111()()n n n
i i i i i i i x y x y n n n ===≥∑∑∑
等号当且仅当1
2...n x x x ===或12...n y y y ===时成立.
例 10 设0(1,2,...,)i a i n >=，
求证：121
21
(...)1
2
12...(...)
n n a a a a a a n
n
n a
a a a a a +++≥
证明：不妨令 12...0n a a a ≥≥≥>，则 12lg lg ...lg n a a a ≥≥≥
由切比雪夫不等式，有
11221212lg lg ...lg 1
(...)(lg lg ...lg )n n
n n a a a a a a a a a a a a n
+++≥
++++++ 即 12121
(...)1212lg(...)lg(...)
n n a a a a a a n
n
n a
a a a a +++≥
从而证得 12121
(...)1
2
12...(...)
n n a a a a a a n
n
n a a a a a a +++≥.
例11 已知1
211...0,...0n n n a a a b b b -≥≥≥>≥≥≥>.
求证： 111
n
i
n
i i n
i i
i
i a b n a b
===≥∑∑∑.
证明：取,i i i i x a y b ==，则由2211...0,...0n n n a a a b b b -≥≥≥>≥≥≥>，
可知i x ，i b 满足切比雪夫不等式的条件，故
11111111
()()n n n i
i i i i i i
a a n
b n n b ===≥∑∑∑ 又由均值不等式，正数12,,...,n b b b 的调和平均数不大于它们的算术平均数，
即
1
11n
i
i n
i i
b
n n
b ==≤
∑∑.
其中等号仅在12...n b b b ===时成立.
这样就有 111
1n
i
n i
i n i i
i
i a
b n a b
===≥∑∑∑，
即 111
n
i
n
i i n
i i
i
i a b n a b
===≥∑∑∑， 而且等号仅在1
2...n b b b ===时成立.
(完整版)高中数学不等式归纳讲解
第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。 ③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式
3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数： n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号)
历年全国高中数学联赛试题及答案
历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
高中数学基本不等式的解法十例
高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b a b +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2．2a b a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若a b 是定值，那么当且仅当a b =时，()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2 m a x 2a b a b +??= ??? ，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ，当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1m x n y +=上，则m n 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=，明显，和为 定，根据和定积最大法则可得：2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ，当且仅当12m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2 122 x x f x +=+ ，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =，当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式：已知2x >-，则12 x x + +的最小值为 。 解析：由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++，当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号，此时可得
概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编
概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公
比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =.
全国高中数学联赛试题及答案教程文件
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
高中数学精讲教案-不等式的解法
高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a). 2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其 他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的 顺序排列，则第2020个数是（ ） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线 常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。（答：{}|12x x x ≥=-或）； （2）不等式(0x -的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）； （3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<， ()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ （答：()[),12,-∞+∞U ； （4）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______. （答：81[7,)8 ） 二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式 不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式25123 x x x -<---（答：()()1,12,3-U ）； （2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞U ）. 三、绝对值不等式的解法： （1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）： 如解不等式312242 x x -++≥（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞U ） （4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围 高中数学-不等式的解法 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0， n € N *， n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 基础不等式的解法及应用 一、一元二次不等式的解法 例1、解下列不等式 2230x x --> 23520x x -+-> 24410x x -+> 2230x x -+-> 结论： 二、分式不等式的解法 例2、解下列不等式 3 07x x -<+ 20x x +< 42333x x x ->--- （高次不等式）1 x x > 结论： 三、简单的绝对值不等式 例3、解下列不等式 3x ≥ 13x -≤ 3235x <-< 练习 1、（2010，山东）已知全体U R =，集合{} 240M x x =-≤，则U C M =（ ） A 、{}22x x -<< B 、{}22x x -≤≤ C 、{}22x x x <->或 D 、{}22x x x ≤-≥或 2、（2009，安徽）若集合()(){}2130A x x x =+->，{}*5B x N x =∈≤，则A B 是（ ） A 、{}1,2,3 B 、{}1,2 C 、{}4,5 D 、{}1,2,3,4,5 3、（2010，全国）已知集合{}2,A x x x R =≤∈，{} 4,B x Z =≤∈，则A B =（ ） A 、()0,2 B 、[]0,2 C 、{}0,2 D 、{}0,1,2 4、（2009，安徽）若集合{}213A x x =-<，2103x B x x ?+?=，{}2680B x x x =-+<，则() U C A B 等于（ ） A 、[)1,4- B 、()2,3 C 、(]2,3 D 、()1,4- 7、设集合{}2230A x x x =--≤，21x B x x ??=>??+?? ，则R A C B =（ ） A 、{}13x x -<≤ B 、{}13x x -≤≤ C 、{}23x x -<≤ D 、{}21x x -≤≤- 8、函数()f x = ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,1-∞? C 、()1,+∞ D 、()[),01,-∞?+∞ 9、（2010，天津）设集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}15,B x x x R =<<∈，若A B =?，则实数a 的取值范围是（ ） A 、{}06a a ≤≤ B 、{}24a a a ≤≥或 C 、{}06a a a ≤≥或 D 、{}24a a ≤≤ 10、（08，天津）设集合{}23S x x =->，{}8T x a x a =<<+，S T R =，则a 的取值范围是（ ） A 、31a -<<- B 、31a -≤≤- C 、31a a ≤-≥-或 D 、31a a <->-或 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9 3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,高一数学不等式解法经典例题
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