二次根式知识点总结附解析
一、选择题
1．若 3x - 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x >
B ．3x ≥
C ．3x ≤
D ．x 是非负数
2．对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（ ） A ．
(
)
2
b
a b a +=+ B ．22222(b a b )a +=+ C ．22b a b a +=+ D ．2(b)a b a +=+
3．下列计算正确的是（ ） A ．42=±
B ．
()
2
33-=- C ．()
2
5
5-= D ．()
2
33
-=-
4．下列各式计算正确的是（ ） A ．2+3=5
B ．43﹣33=1
C ．27÷3=3
D ．23×33=6
5．在实数范围内，若2x +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x≠2
B ．x >-2
C ．x <-2
D ．x≠-2
6．若2019202120192020a =⨯-⨯，2202242021b =-⨯，2202020c =+，则
a ，
b ，
c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
7．若化简|1-x|-2816x x -+的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数 B ．1≤x ≤4
C ．x ≥1
D ． x ≤4
8．若a 、b 、c 为有理数，且等式
成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值
是（ ）
A ．1999
B ．2000
C ．2001
D ．不能确定 9．下列属于最简二次根式的是( ) A 8B 5C 4
D 1
3
10．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ） A 1a +1a -B 3和
13
C 2a b 2ab
D 318二、填空题
11．已知实数,x y 满足(2
22008
20082008x x y y --=，则
2232332007x y x y -+--的值为______.
12．322+=___________．
13．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果11
22
n x n -<+≤，则()f x n =z ．
如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ，
试解决下列问题：
①f =z __________；②f =z __________；
+
=__________．
14．若a ，b ，c 是实数，且10a b c ++=，则
2b c +=________．
15．10=，则22
2516
x y +=______.
16．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0=___________
17．计算： 2008
2009
⋅-=_________．
18．使式子
2
x +有意义的x 的取值范围是______．
19．，3，，
，则第100个数是_______．
20．a ，小数部分是b b -=______.
三、解答题
21．先阅读下列解答过程，然后再解答：
,a b ，使a b m +=，ab n =，使得
22m +==
)a b ==>
7,12m n ==，由于437,4312+=⨯=，
即：227+=，=
2===+。 问题：
① __________=___________=；
② （请写出计算过程）
【答案】（112；（22. 【分析】
a 的形式化简后就可以得出结论
了． 【详解】
解：（1
=
1=
2；
（2
2
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．
22．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛
⎫-÷
⎪++⎝⎭
，其中1x =.
. 【分析】
根据分式的运算法则进行化简，再代入求解. 【详解】
原式=2
2
1(1)12(3)
232(3)3(1)
1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.
将1x =
= 【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
23．-
10 【分析】
先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】
=(2
2
⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
=()212--
10+．
10． 【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．
24．先观察下列等式，再回答下列问题：
111
11
1112=+-=+；
111112216=+-=+
1111133112
=+-=+
(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．
【答案】(1)1120
(2)()111n n ++（n 为正整数） 【解析】
试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子
也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
试题解析：(1)=1+1
4
−
1
41
+
=
1
1
20
，
1 1 20
(2)1
n
−
1
n1
+
=1+()
1
n n1
+ (n为正整数).
a
=，也考查了二次根式的运算.此题是
一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.
25．计算
(2)2
；
(4)
【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）
【分析】
（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．
【详解】
解：
=
=
(2)
2
=22
-
=63
-
=9-
(4)
=
=
=
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．26．先化简，再求值：
222
22
1
2
⎛⎫
--
--÷
⎪
-+
⎝⎭
x y x y
x
x x xy y
，其中x y
==．【答案】原式
x y
x
-
=-
，把x y
==
代入得，原式1
=-.
【详解】
试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可．试题解析：
222
22
1
2
⎛⎫
--
--÷
⎪
-+
⎝⎭
x y x y
x
x x xy y
()
()()
2
22
=
x y
x y x x
x x x x y x y
-
⎛⎫
-
--⋅
⎪
+-
⎝⎭
=
y x x y
x x y
---
⋅
+
x y
x
-
=-
把x y
==代入得：
原式1
==-+
考点：分式的化简求值．
27．计算下列各式：
（1
；
（
2
【答案】（1
2
；（2
）
先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】
（1）原式2=-
2=
；
（2）原式=
=. 【点睛】
本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键(0)
(0)a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
，
)
0,0a b =≥≥
=
（a ≥0，b >0）.
28．已知长方形的长a =
b =. (1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．
【答案】（1）2）长方形的周长大. 【解析】
试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析：
(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝
∴长方形的周长为 .
(2)11
4.23
=⨯⨯=
正方形的面积也为4. 2.= 周长为：428.⨯=
8.>
∴长方形的周长大于正方形的周长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】
有意义的x 的取值范围是：x ≥3． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是正确掌握定义和二次根式有意义的条件．
2．B
解析：B 【详解】
解：A 、错误，∵
2
=+a b
B 、正确，因为a 2+b 2≥0a 2+b 2；
C
D =|a +b |，其结果a+b 的符号不能确定． 故选B ．
3．C
解析：C 【分析】
直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案． 【详解】
解：A ，故A 选项错误；
B ，故B 选项错误；
C 选项：2=5，故C 选项正确；
D 选项：2=3，故D 选项错误， 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的化简进行选择即可．
【详解】
A
B、
C，故本选项正确；
D、=18，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，可得答案．
【详解】
有意义，得：
x+>，
20
x>-．
解得：2
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．
6．A
解析：A
【分析】
利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】
解：a=2019×2021-2019×2020
=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020
=20202-1-20202+2020
=2019；
∵20222-4×2021
=（2021+1）2-4×2021
=20212+2×2021+1-4×2021
=20212-2×2021+1
=（2021-1）2
=20202，
∴b=2020；
∵22
2020202020
+>，
∴c＞b＞a．
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、2
-⨯，利用完全平方公式计算出其值，是
202242021
解决本题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．
【详解】
原式可化简为|1-x|-|x-4|，
当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；
当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；
当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；
当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，
据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，
故选B．
【点睛】
本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．
8．B
解析：B
【解析】因
=，所以a=0，b=1，c=1，即可得2a＋999b＋1001c=999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
解：A，不符合题意；
B
C=2，不符合题意；
D
故选B．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
10．B
解析：B
【分析】
先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．
【详解】
解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;
B
C
D
故选B．
【点睛】
本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．
二、填空题
11．1
【分析】
设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．
【详解】
解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，
∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……
解析：1
【分析】
设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．
解：设
x 2−a 2=y 2−b 2=2008， ∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①
∵(x−a)(y−b)=2008……②
∴由①②得：x+a=y−b ，x−a=y+b
∴x=y ，a+b=0，
∴
， ∴x 2=y 2=2008，
∴3x 2﹣2y 2+3x ﹣3y ﹣2007
=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007
=2008+3×0−2007
=1.
故答案为1.
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x ，y 及a ，b 的关系.
12．+1
【分析】
先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.
【详解】
因为,
所以,
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二
+1
【分析】
先将3+,
()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩
进行化简即可.
【详解】
因为(2231211+=+=+=+,
11=
==
故答案为:1.
【点睛】
本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解.
13．3
【解析】
1、；
2、根据题意，先推导出等于什么，
（1）∵，
∴，
（2）再比较与的大小关系，
①当n=0时，；
②当为正整数时，∵，
∴，
∴，
综合（1）、（2）可得：，
解析：3
20172018
【解析】
1、(1.732)2z z f f ==；
2、根据题意，先推导出f 等于什么，
（1）∵2221142n n n n n ⎛⎫+<++=+ ⎪⎝⎭，
12
n <+， （2）
12n -
的大小关系，
①当n=012n >-
； ②当n 为正整数时，∵2212n n n ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭1204
n =->， ∴2
212n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，
12
n >-，
综合（1）、（2）可得：1122
n n -
<+，
∴f n =z ，
∴3f =z ．
3、∵f n =z ，
∴(
2017z f +
1111122334
20172018=++++⨯⨯-⨯ 111111112233420172018=-+-+-++- 112018=-
20172018
=． 故答案为（1）2；（2）3；（3）
20172018. 点睛：（1）解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当
n 为非负整数时，1122
n n -<+，从而得到f n =z ；（2）解题③的要点是：当n 为正整数时，111(1)1
n n n n =-++. 14．21
【分析】
结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．
【详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的
解析：21
【分析】
结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得
【详解】
∵10a b c ++=
∴100a b c ---=
∴222
1490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∴2221)2)3)0++=
∴123
===
∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩
∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴2251121b c +=⨯+=．
【点睛】
本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
15．【解析】
【分析】
把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.
【详解】
移项得，
两边平方得，
整理得，
两边平方得，
所以，
两边除以400得，1.
故答案为1.
【点睛】
解析：【解析】
【分析】
把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.
10=-
两边平方得，
()()22223=1003x y x y ++--+
整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=
两边除以400得，22
2516
x y +=1. 故答案为1.
【点睛】
本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.
16．【解析】
根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b ＞0时，=；
当b ＜0时，=.
故答案为：.
解析：00b b 当时当时>⎨⎪<⎪⎩
【解析】
根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b
＞0
= 当b
＜0
=
故答案为：00b b ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩
当时当时. 17．【解析】原式==
18．且
【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【详解】
由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分
解析：3x ≤且2x ≠-
【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【详解】
由题意得：2030x x +≠⎧⎨-≥⎩
， 解得3x ≤且2x ≠-，
故答案为：3x ≤且2x ≠-．
【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．
19．【分析】
原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n 个数是，进而可得答案．
【详解】
解：原来的一列数即为：，，，，，，
∴第100个数是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数的规律探求，属于常考
解析：【分析】
，
，于是可得第n 进而可得答案．
【详解】
，
∴第100=．
故答案为：
【点睛】
本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．
20．【详解】
若的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=1，b=，
∴a-b==1．
故答案为1．
解析：【详解】
a，小数部分为b，
∴a=1，b
1，
∴
-b1)=1．
故答案为1．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结 1. 二次根式的定义和性质 二次根式是指具有形式√a的数，其中a是非负实数。以下是二次根式的一些重 要性质： •非负性：对于任何非负实数a，√a也是一个非负实数。 •平方性：对于任何非负实数a，(√a)2=a。 •唯一性：每个非负实数都有唯一的平方根。 2. 化简和计算二次根式 化简和计算二次根式是处理二次根式的基本操作。下面是一些常见的规则和方法：•合并同类项：如果两个或多个二次根式具有相同的根指数并且根下的值相同，则可以合并它们。 •分解因子：对于某些特定的二次根式，可以将其分解为更简单的形式，例如√ab=√a⋅√b。 •有理化分母：当一个二次根式出现在分母中时，可以通过乘以适当的形式来 有理化分母，例如 √2=√2 2 。 •乘法和除法规则：二次根式可以与其他数进行乘法和除法运算，例如√a⋅ √b=√ab和√a √b =√a √b ⋅√b √b =√ab b 。 3. 二次根式的性质和定理 二次根式具有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们解决各种问题。以下是一些常见的性质和定理： •无理数性质：对于大多数非完全平方数a，√a是一个无理数。 •比较大小：对于两个非负实数a和b，如果a •方程：将方程两边进行平方操作，然后化简为二次根式形式，最后解得方程的解。 •不等式：根据二次根式的性质，可以比较大小或使用其他方法来解决不等式。 5. 与其他数学概念的关系 二次根式与其他数学概念之间存在着密切的关系。以下是一些与二次根式相关的重要概念： •平方数：对于某个非负实数a，如果存在另一个非负实数b，使得b2=a，那么a就是一个平方数。平方数可以看作是某个非负实数的平方根。 •无理数：大多数非完全平方数都是无理数。二次根式经常涉及到无理数。•三角函数：三角函数涉及到角度和弧度单位，而弧度单位通常涉及到π的倍数。在三角函数中经常会遇到√π或√2π等形式。 总结 二次根式是数学中的重要概念，具有许多有用的性质和定理。掌握二次根式的化简、计算、方程和不等式解法以及与其他数学概念的关系，可以帮助我们更好地理解和应用二次根式。通过深入学习和练习二次根式相关知识，我们可以在解决各种数学问题时更加灵活和高效。 二次根式及性质 b.二次根式的基本性质:知识要点： （1 ）平方根与立方 根 ②(禹)2 =a (a>0) a.平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。用±V a 表 示。 例如：因为（±5）2 =25，所以25的平方根为±（25= ±5。 b.算术平方根的概念：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。0的算术平方 a (a > 0) J a2 =|a|= f 0 (a= 0) [-a (a c 0) 根为0。用J a表示a的算术平方根。④J ab = 7a V b (a>0, b>0) 例如：3的平方根为土J3，其中为3的算术平方根。 3 — c.立方根的概念：如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根，用a 6 =芈(a A O, bXO) ⑤ V a V a c.二次根式的乘除法 表 示。 例如：因为33 =27，所以27的立方根为V27 =3。 ①扁尿=届（a>0，b> 0） d.平方根的特征： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ②0有一个平方根，就是0本身。 ③负数没有平方根。 e.立方根的特征： ①正数有一个正的立方根。 ②负数有一个负的立方根。 ③0的立方根为0。 J b f b 〒「一(a>0, b>0) ② V a V a d.最简二次根式的标准： ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号） ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 e.同类二次根式的识别： 几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。 ④= -V a。例如：恵=2丘与应是同类二次根式, 3妬与-5爲是同类二次根式。 ⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0,—1。 （2 ）二次根式 a.二次根式的概念：形如脳（a>0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式掐>0 ）。 f.二次根式的加减法运算法则： 在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算, 并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不 变）为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最 简） h.使分母不带根号（分母有理化）常用方法： ①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后, 运算时只有同类二次根式才能合 ，合并同类二次根式之后的式子作 其结果不再含根号的因 式。 二次根式知识点总结 二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。本文 将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其 在实际问题中的应用。 一、二次根式的定义 二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。它可以表示为 一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。 二、二次根式的性质 1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。当 根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次 根式为无理数。 2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数 相等。 3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a > √b。 4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质： - 加法：√a + √b = √(a + b) - 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b - 乘法：√a * √b = √(a * b) - 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0 三、二次根式的化简 当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简： 1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。 2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。 四、二次根式的应用 1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。 2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。 3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。通过对图形进行分解、转化，可以运用二次根式的知识求解出面积。 综上所述，二次根式是数学中重要的一个概念，它不仅具有一定的理论价值，还在实际问题中具有广泛的应用。了解和掌握二次根式的 二次根式的定义性质和概念 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。 即：若，则x叫做a的平方根，记作x= 。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。 关于二次根式概念，应注意： 被开方数可以是数，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。 二次根式的性质： 1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形势中被开方数不能有分母存在。 2.零的平方根是零，即 ; 3.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。 4.无理数可用有理数形式表示, 如: 。 二次根式的几何意义 1、(a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质在实数范围内因式分解]; 2、都是非负数;当a≥0时， ;而中a取值范围是a≥0，中取值范围是全体实数。 3、c= 表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论; 4、逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如 ﹙a>0﹚，﹙a<0﹚ ﹙a≥0﹚，﹙a<0﹚ 5、注意: ，即具有双重非负性。 算术平方根 正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。 0的算术平方根为0. 开平方运算 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 化简 化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。 最简二次根式 定义概要(❶被开方数不含分母❷被开方数中不含能开得尽的因数或因式) 二次根式化简一般步骤： ①把带分数或小数化成假分数; ②把开方数分解成质因数或分解因式; ③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外; ④化去根号内的分母，或化去分母中的根号; ⑤约分。 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式 注意﹙①他们必须是成对出现的两个代数式;②这两个代数式都含有二次 根式;③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式④一个二次根式可以与几个二 次根式互为有理化因式﹚ 分母有理化 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．916916+=+ B ．2222-= C ．() 2 23 6 = D ． 1515533 == 2．下列各式成立的是（ ） A ．2(3)3-= B ．633-= C ．222 ()33 - =- D ．2332- = 3．下列算式：（1）257+= ；（2）5x 2x 3x -=；（3） 8+50 2 =4257+=；（4）33a 27a 63a +=，其中正确的是（ ） A ．（1）和（3） B ．（2）和（4） C ．（3）和（4） D ．（1）和（4） 4．下列各式计算正确的是（ ） A ．532-= B ．1236?= C ．3232+= D ．222()-=- 5．下列运算正确的是（ ） A ．32-=﹣6 B ．311 82 -=- C ．4=±2 D ．25×32=510 6．已知226a b ab +=，且a>b>0，则a b a b +-的值为( ) A ．2 B ．±2 C ．2 D ．±2 7．下列计算不正确的是 （ ） A ．35525-= B ．236?= C 77 4= D 363693=+== 8．下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A 0.1 B 19 C 8 D 1 4 4 9．若式子 2 2 (1) m m +-有意义，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2 B ．m ＞﹣2且m ≠1 C ．m ≥﹣2 D ．m ≥﹣2且m ≠1 10．下列运算错误的是（ ） A B 2 C ． D 1=二、填空题 11．若m m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____． 12．已知a ，b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对． 13．能力拓展： 1A = 2A =；3:A =； 4A =________． …n A ：________． ()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空． ()2比较大小1A 和2A ()3 - 14．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果11 22 n x n -<+≤，则()f x n =z ． 如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ， 试解决下列问题： ①f =z __________；②f =z __________； + =__________． 15．实数a 、b 10-b 4-b-2=+，则22a b +的最大值为_________． 二次根式知识点总结及常见题型 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________. 例3. 若04412=+-+-b b a ,则ab 的值等于 【 】 二次根式知识点归纳 1.定义：一般的，式子a （a ≥0）叫做二次根式。其中“ ”叫做二次根号，a 叫做被开方数。 2.性质：a （a ≥0）是一个非负数。即a ≥0 3.2a =a 即a ≥0，等于a ；a ＜0等于-a 4.（a ）2=a （a ≥0） 5. a · b =ab （a ≥0，b ≥0）反过来：ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 6. b a =b a （a ≥0，b ＞0）反过来：b a =b a （a ≥0， b ＞0） 7.最简二次根式必须满足：(1)被开方数不含分母（2）)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 8.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 9．二次根式的运算及化简：（1）先化成最简 （2）合并同类项 练习 1：求下列各式有意义的所有x 的取值范围。 （）；（）； （）；（）；（）；（）13221312411521645332 -++-++-----x x x x x x x x x x 2：写出下列各等式成立的条件： （1）422x x =- （2）()x x -=-222 （3）x x x 2933-=+-· （4）x x x x -=-33 （5）x x x x --=--23 23 3：已知y x x <-+-+1112 化简||21212y y y ---+ 4：已知x y y +++-=120||，求x, y 的值 5：化简(1)()232- (2)-33x (3)a a ?-1 (4)321442122x x x x x -+-++-≤<() 6：计算： (1)93121274827+-- (2)()()3272275162147+-+ (3)()()3553355322--+ (4)[]1841213213 +++÷ （5）-?? ???-?? ???-?? ???x b a a x bx ab x a ··2 (6)()()221151312 2--÷+ (7)已知x y x y = -+=+-+32 3232 3222，，求的值 7：如果最简根式m n m n m +-+-22413和是同类根式求m 、n 的值。 8：已知x =-123 ，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b a b --+2的值。 9：已知m,n 为实数，且满足m=3 49922-+-+-n n n ，求6m-3n 的值 10：实数x 、y 、z 满足下列条件 x y z x y z +-+-=+++1294 ，试求x 、y 、z 的值 11：计算 11313515712121+++++++-++……n n 二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:一、二次根式的定义 形如.a( a >0)的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a叫做被开方数. (1)二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围； (2)判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断： ①是否含有二次根号“”； ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式. (3)形如m?.a ( a > 0)的式子也是二次根式，其中m叫做二次根式的系数,它表示的是：m- a m a ( a > 0)； (4)根据二次根式有意义的条件，若二次根式、、A B与.B A都有意 义，则有A B. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质 (1)双重非负性：..a >0, a >0；(主要用于字母的求值) (2)回归性：...a2 a( a > 0)；(主要用于二次根式的计算) (3)转化性:a2 a a(a (主要用于二次根式的化简) a(a 0) 重要结论： (1)若几个非负数的和为°,则每个非负数分别等于0. 若 A B2C 0,贝卩 A 0,B 0,C 0. 应用与书写规范：V A B2.C 0, A > 0, B2>0,、C > 0 A 0, B 0, C 0. 该性质常与配方法结合求字母的值. (2)?. AB2 AB A BA B ；主要用于二次根式的化简. A2 B A 0 (3)A国—,其中 B > 0； 根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内，以达到化简的目的. 2 (4) A B A2 B,其中 B > 0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1.式子〒二在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ____________ . 寸x 1 分析：本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，注意分母不能为0. 解：由二次根式有意义的条件可知：x 1 0,二x 1. 例2.若x,y为实数，且y -x 1 J x丄，化简：丄」. 2 y 1 分析:本题考查二次根式有意义的条件，且有重要结论：若二次根式A B与B A都有意义,则有A B . 解：?/ x 1 > 0, 1 x > 0 x》1, x W 1 /. x 1 ? 1 1 , …y 0 0 1 2 2 初二二次根式所有知识点总结和常考题 知识点： 1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。②非负性 2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。 3、化最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、二次根式有关公式 （1）)0()(2 ≥=a a a （2）a a =2 （3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）除法公式)0,0( b a b a b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．式子有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣且x ≠1 B ．x ≠1 C ． D ． 3．下列计算错误的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．估计 的运算结果应在（ ） A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间 D ．9到10之间 5．如果=1﹣2a，则（） A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥ 6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 7．是整数，则正整数n的最小值是（） A．4 B．5 C．6 D．7 8．化简的结果是（） A．B．C．D． 9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（） A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n 10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 11．把根号外的因式移入根号内得（） A．B． C．D． 12．已知是正整数，则实数n的最大值为（） A．12 B．11 C．8 D．3 13．若式子有意义，则点P（a，b）在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（） A．9 B．±3 C．3 D．5 二．填空题（共13小题） 15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+=． 16．计算：的结果是． 17．化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|=． 18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=． 19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8=．20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是． 21．计算：﹣﹣=． 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个 非负数时， 才有意义． 【例2】假设式子 1 3 x -有意义，那么x 的取值X 围是． 举一反三： 1、使代数式2 21x x - +-有意义的x 的取值X 围是 2、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P 〔m ，n 〕的位置在〔 〕 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】假设y=5-x +x -5+2009，那么x+y= 解题思路：式a a ≥0〕，50 ,50x x -≥⎧⎨ -≥⎩5x =，y=2009，那么x+y=2014 举一反三： 111x x --2()x y =+，那么x －y 的值为〔 〕 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。 a 5 b 是 51 2 a b + +的值。 假设17的整数局部为x ，小数局部为y ，求y x 1 2 + 的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩ ||() () 注意：〔1〕字母不一定是正数． 〔2〕能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． 〔3〕可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外． 4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||() () 与()()a a a 20=≥的区别与联系 〔1〕a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的X 围是一切实数． 〔2〕()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的X 围是非负数． 〔3〕a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【典型例题】 【例4】 假设()2 240a c --=， 那么=+-c b a ． 举一反三： 1、直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，那么第三边长为＿＿ ＿＿＿＿. 2、假设1a b -+ 互为相反数，那么() 2005 _____________a b -=。 )0()( 2≥=a a a 的运用〕 【例5】化简：2 1a -+的结果为〔 〕 专题01 二次根式及其运算知识讲义 【相关概念】 二次根式： a≥0）的式子叫做二次根式. a为被开方数，a可以是数字或代数式. 代数式： 含有字母的数学表达式称为代数式. 整式、分式均为代数式. 最简二次根式： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 2、被开方数的因数是整数，因式是整式. 同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【二次根式运算】 乘法 =a≥0，b≥0） 除法 =（a≥0，b ＞0） 加（减）法 先把各根式化成最简根式，再合并同类根式 分母有理化 == ==【二次根式性质】 ，a≥0 非负数：|a|，a 2n () ()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ 2 a = 【二次根式应用】 因式的内移和外移： （1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外. 【题型一】二次根式有意义条件 例1. （2020·m 能取的最小整数值是（ ） A ．m = 0 B ．m = 1 C ．m = 2 D ．m = 3 【答案】B. 3m －1≥0， 解得：m≥13 ， 所以，m 能取的最小整数值是1． 故答案为：B ． 例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0. 【解析】解：∵233x x +- ∴x≤0，且x+3≥0， 解得：－3≤x≤0， 故答案为：－3≤x≤0. 例3．（2019·= x 的取值范围是______. 【答案】x≥2. = ∴x≥0，x−2≥0， ∴x≥2. 故答案为：x≥2. 【题型二】同类二次根式 例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________． 【答案】4. 【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意， ，即5m+8=28时，m=4， 是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4， 故答案为：4． 例5. mn =_________． 【答案】10. 二次根式知识点归纳 定义：一般的;式子a a ≥0叫做二次根式..其中“ ”叫做二次根号;二次根号下的a 叫做被开方数.. 性质：1、a a ≥0是一个非负数．即a ≥0 2、2a ＝│a │即a ≥0;等于a;a<0;等于-a 3、 4、a ·b ＝ ab ．a ≥0;b ≥0 反过来:ab =a ·b a ≥0;b ≥0 5、a b =a b a ≥0;b>0 反过来;a b =a b a ≥0;b>0 6、最简二次根式： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式;叫做最简二次根式． 7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同;这几个二次根式就叫做同类二次根式 8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2;算术平方根为2；②4=2;二次根式即是算术平方根 9、二次根式化运算及化简：①先化成最简②合并同类项 二次根式中考试题精选 一.选择题： 1.05宜昌化简20的结果是 . A.25 B.52 C.1054 2.05南京9的算术平方根是 . A.-3 B.3 C.±3 D.81 3.05南通已知2x <;244x x -+ . A 、2x - B 、2x + C 、2x -- D 、2x - 4.05泰州下列运算正确的是 . A ．a 2＋a 3=a 5 B ．－2x 3=－2x 3 C ．a －b －a ＋b=－a 2－2ab －b 2 D 2832=5.05无锡下列各式中;与y x 2是同类项的是 a 2＝aa ≥0 A 、2xy B 、2xy C 、－y x 2 D 、223y x 6.05武汉若a ≤1;则 化简后为 . A. B. C. D. 7.05绵阳52-时;52-3(52)(52)(52)+-+52乙的解法是：52-(52)(52) 52+--52;以下判断正确的是 . A.甲的解法正确;乙的解法不正确 B.甲的解法不正确;乙的解法正确 C.甲、乙的解法都正确 D.甲、乙的解法都不正确 8.05杭州设32,23,52a b c ==-=;则,,a b c 的大小关系是: . A a b c >> B a c b >> C c b a >> D b c a >> 9.05丰台4的平方根是 . A.8 B.2 C.±2 D.±2 10.05北京下列根式中;与3是同类二次根式的是 . A.24 B.12 C.32 D.18 11.05南平下列各组数中;相等的是 . A.-13和1 B.-12和-1 C.|-1|和-1 D.2(1)-和1 12.05宁德下列计算正确的是. A 、x 2·x 3＝x 6 B 、2a 32＝4a 6 C 、a －12＝a 2－1 D 、＝±2 13.05毕节2(3)a -―a 的正整数a 的值有. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 14.05黄岗已知y x ,为实数;且()02312 =-+-y x ;则y x -的值为. A ．3 B ．–3 C ．1 D ．–1 15.05湘潭下列算式中;你认为错误的是. A ．a a b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C 21-2．21()a b +·22a b a b --=1a b + 二、填空题 1.05连云港计算：)13)(13(-+=． 2.05南京10在两个连续整数a 和b 之间;a<10 二次根式知识点总结及习题带 答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 【基础知识巩固】 一、二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 二、取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以 要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 三、二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0 （）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 （） 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即 ；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 六、与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而 表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。 但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 七、二次根式的运算 1、最简二次根式必须满足以下两个条件 （1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1. 2ab a·b（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用. 3、除法法则：b b a a （b≥0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用. 4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变. 5、二次根式的加减 （1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）步骤：如果有括号，根据去括号的法则去掉括号；把不是最简二次根式的二次根式化简；合并被开方数相同的二次根式。 6、混合运算：与有理数的运算一致，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面。 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。 二次根式知识点归纳及真题解析 【知识归纳】 1．二次根式的有关概念 ⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ．（要使二次根式a 有意义，则a ≥0.） ⑵ 最简二次根式 被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 （10（a ≥0）； （2）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （3）==a a 2 )0(<-a a （4）)0,0(≥≥•= b a b a ab （5）)0,0(≥≥=b a b a b a 3．二次根式的运算 （1）．二次根式的加减法 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有 二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）．二次根式的乘除法 二次根式的乘法：a ·b ＝ (a ≥0，b ≥0)． 二次根式的除法：a b ＝ (a ≥0，b ＞0)． 【知识归纳答案】 1．⑴非负数． ⑵ 整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式 (3)相同的二次根式的性质 （1）a ≥ 0（a ≥0）； （2）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （3）==a a 2 )0(<-a a （4）)0,0(≥≥•= b a b a ab （5）)0,0(≥≥=b a b a b a 3．（1 （2）．ab b a 2．二次根式 中，x 的取值范围是（ ） A ．x≥1 B ．x ＞1 C ．x≤1 D ．x ＜1 【考点】72：二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x ﹣1≥0， ∴x≥1， 故选（A ） 3．下列运算正确的是（ ） 二次根式的知识点 知识点一：二次根式的概念 形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5， √(x2+1)， √(x－1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。 知识点三：二次根式√a(a≥0)的非负性 √a(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，√a(a≥0)是一个非负数，即 √a≥0(a≥0)。 注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数，即√a≥0(a≥0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若√a＋√b=0，则 a=0,b=0；若√a＋|b|=0，则a=0,b=0；若√a＋b2=0，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（√a）的性质 (√a)2=a(a≥0) 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式(√a)2=a(a≥0)是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若a≥0，则 a=(√a)2，如：2=(√2)2，1/2=(√1/2)2. 知识点五：二次根式的性质 √a2=|a| 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 《二次根式》知识讲解及例题解析 【学习目标】 1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0）， （a ≥0），并利用它 们进行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式的概念 一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3.. 4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 （a ≥0，b ≥0）. 5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即 ()a a a b a b b b =÷=÷或（a ≥0，b >0）. 要点诠释： （1）二次根式 (a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. （22a 2()a 要注意区别与联系： ①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。 ②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -. 要点三、最简二次根式 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1．当x 是__________时， + 在实数范围内有意义？ 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意，得 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥- 且x ≠-1时，+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三： 【变式】方程480x x y m -+ --=，当0y >时，m 的取值范围是（ ） A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2 【答案】C. 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件，求字母x 的取值范围： (1)； (2).二次根式及性质知识点
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