基本初等函数(一)

指数函数

第一课时：指数与指数幂的运算 一、学习目标：

1．理解分数指数幂的概念 ； 2. 掌握有理指数幂的运算性质； 3．会对根式、分数指数幂进行互化； 4．能够应用联系观点看问题 二，知识要点： 1．根式的概念：

一般地，若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n 次方根

n

a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数

①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数

记作： n

a x =

②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）

记作：

n

a x ±= ③负数没有偶次方根，

④ 0的任何次方根为0 2，根式的性质：

① 当n 为任意正整数时，(n a )n =a.

② 当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=???<-≥)0()

0(a a a a

3，分数指数幂：

（1

）正数的正分数指数幂的意义是)

0,,,1m n

a a m n N n *=>∈>； （2

）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m

n

m n

a

a m n N

n a

-*

=

=

>∈>．

（3），零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂没有意义。 4，有理数指数幂的运算性质： 例题分析：

例1．求值： 2

3

8， 12

100-， 314-??

???

， 34

1681-

?? ???．

例2． 用分数指数幂的形式表示下列各式()a o >：

2a

3a

例3．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

（1）21

1511336622263a b a b a b ??????

-÷- ??? ???????

； （2）8

3184m n -?? ???；

课堂小练习：求值：

第二课时：指数函数及其性质： 一．教学目标：

①通过实际问题了解指数函数的实际背景；

②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③ 体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 1．指数函数的定义：

函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 探究1：为什么要规定a>0,且a ≠1呢？

①若a=0，则当x>0时，x a =0；当x ≤0时，x a 无意义.

②若a<0，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义. 如x )2(-，这时对于x=

4

1，x=2

1

，…等等，在实数范围内函数值不存在. ③若a=1，则对于任何x ∈R ，x a =1，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a ≠1在规定以后，对于任何x ∈R ，x a 都

有意义，且x a >0. 因此指数函数的定义域是R ，值域是(0,+∞). 探究2：函数x y 32?=是指数函数吗？ 指数函数的解析式y=x a 中，x a 的系数是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=x a +k (a>0且a ≠1，k ∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=x a - (a>0,且a ≠1)，因为它可以

化为y=x

a ??

?

??1，其中a 1>0，且a 1≠1

1，考察指数函数概念:

若函数y=(a 2-3a+3)a x 是指数函数，则有（

） A ，a=1或a=2 B,a=1 C,a=2 D,a>0,且a ≠1 2,指数函数的图像过定点的问题;

函数y=a x-3+3(a>0，且a ≠1)的图像过定点___________

3,底数a 对指数函数图像的影响：

如图是指数函数○

1y=a x ,○2y=b x ,○3,y=c x ,○4,y=d x

则a,b,c,d 的与1的大小关系为__________________

4,与指数函数有关的定义域，值域问题： 求下列函数的定义域和值域：

（1）y = （2）

5，比较指数式的大小：

（1）3.37.1和1.28.0；（2）7.03.3和8.04.3 6，解指数不等式： （1），已知3x 》30.5，求实数x 的取值范围 （2），已知0.2x <25，求实数x 的取值范围 ,

课堂小练习： 1，函数121

8

x y -=的定义域是______；值域是______.

2，求函数)5,0[,)3

1(42

∈=-x y x x 的值域。

对数函数

第一课时：对数的概念及性质： 教学目的：（1）理解对数的概念；

（2）能够说明对数与指数的关系；

（3）掌握对数式与指数式的相互转化．

教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化

教学难点：对数概念的理解． 一、 引入课题

1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？

2.假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？

②

1．对数的概念

一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数

（Logarithm ），记作： a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式

说明：○

1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； 提出问题

①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?

②根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数?

④N

a a log =N 与log a a

b =b(a>0,a≠1)是否成立? 2，对数的性质

（1）负数和零没有对数；

（2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：N a N a =log ； （5）n a n a =log ．

两个重要对数： ①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.

例如：log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5. ②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 例如：log e 3简记作ln3;log e 10简记作ln10. 应用示例：

例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：

（1）54=625;（2）2-6=64

1

;

(3)log 2

116=-4;(4)lg0.01=-2;

例2求下列各式中x 的值:

（1）log 64x=3

2

-;（2）log x 8=6;

1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；

2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题.

复习1：

（1）对数定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做 ，记作 .

（2）指数式与对数式的互化：

x a N =? . 复习2：幂的运算性质. （1）m n a a = ；（2）()m n a = ； （3）()n ab = .

复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答： （1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +；

（2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ※ 学习探究

探究任务：对数运算性质及推导

问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？ 问题：设log a M p =, log a N q =， 由对数的定义可得：M =p a ，N =q a ∴MN =p a q a =p q a +，

∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M + log a N 根据上面的证明，能否得出以下式子？ 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则 （1）log ()log log a a a MN M N =+；

（2）log log log a

a a M

M N N

=-； （3） log log ()n a a M n M n R =∈.

※ 典型例题

例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：

（1）2log a xy

z ； （2）

log a .

例2计算：

（1）5log 25； （2）0.4log 1； （3）852log (42)?； （4）

※ 知识拓展

① 对数的换底公式log log log b a b N

N a

=； ② 对数的倒数公式1

log log a b b a

=

. ③ 对数恒等式：log log n

n a a N N =， 课堂练习： 计算：（1）99log 3log 27+= ；

（2）212

1log log 22

+=

(3)15

lg 23

= . 第三课时：对数函数及其性质（1） 教学目标 （一） 教学知识点 1．对数函数的概念；

2．对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求

1．理解对数函数的概念；

2．掌握对数函数的图象、性质； 3．培养学生数形结合的意识． 教学重点

对数函数的图象、性质． 教学难点

对数函数的图象与指数函数的关系 一、复习引入：

1、指对数互化关系： 2，细胞分裂问题 1．对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞ 以10为底的对数函数为y=lgx,以e 为底的对数函数为y=lnx 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -= 2,

对数函数与指数函数的性质比较：

例2．比较下列各组数中两个值的大小：

⑴5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a 小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性；

③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小． ⑶当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log 1.5log a a <； 当10<．

小结2：分类讨论的思想．

对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想

课堂练习：1，函数)1,0(2)1(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点

（ ）

2、已知函数)1,0()1(log ≠>+=a a x y a 的定义域与值域都是[0，1]， 求a 的值。

第四课时：对数函数的图像及其性质（2） 教学目标 1.教学知识点

1．对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小； ４．对数形式的复合函数的定义域、值域； ５．对数形式的复合函数的单调性． 2.能力训练要求

4．掌握对数函数的单调性；２．掌握同底数对数比较大小的方法； ３．掌握不同底数对数比较大小的方法；４．掌握对数形式的复合函数的定义域、值域；

5．掌握对数形式的复合函数的单调性； 6．培养学生的数学应用意识 教学重点

1．利用对数函数单调性比较同底数对数的大小； 2．求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法； 3．求对数形式的复合函数的单调性的方法． 教学难点

1．不同底数的对数比较大小；２．对数形式的复合函数的单调性的讨论．

例1．比较下列各组中两个值的大小：

⑴6log ,7log 76； ⑵8.0log ,log 23π． （3）6log ,7.0,67.067.0 小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小

练习： 1．比较大小

⑴3.0log 7.0log 4.03.0< （2） 1.0log 1.0log 2.03.0> ．

例2．已知x =4

9时，不等式 log a (x 2 – x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立，

求使此不等式成立的x 的取值范围. .

例3．求证：函数f (x ) =x

x

-1log 2

在(0, 1)上是增函数. 例4．已知f (x ) = log a (a – a x ) (a ＞1).

（1）求f (x )的定义域和值域； （2）判证并证明f (x )的单调性. 课堂练习：

1，已知函数y=a log (2-x a )在［0，1］上是减函数，求a 的取值范围． 解：∵a ＞0且a ≠1,

当a ＞1时， ∴1＜a ＜2. 当0

（一）教学知识点

1．了解反函数的概念，加深对函数思想的理解 2．反函数的求法． （二）能力训练要求

1．使学生了解反函数的概念； 2．使学生会求一些简单函数的反函数． 教学重点

1．反函数的概念； 2．反函数的求法． 教学难点 反函数的概念

一、复习引入：

1、我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s =vt ，其中速度v 是常量，定义域t ≥0，值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常

量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v

s

t =，这时，位移s 是自变量，时间t

是位移s 的函数，定义域s ≥0，值域t ≥0． 问题１：函数s =vt 的定义域、值域分别是什么？

问题２：函数v

s

t =中，谁是谁的函数？

问题３：函数s =vt 与函数v

s

t =之间有什么关系？

1．反函数的定义

一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x =?(y )． 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x =?(y )，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =?(y )就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x =?(y ) (y ∈C )叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作

)(1y f x -=，习惯上改写成)(1x f y -=

探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？

反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =，只有“一一对应”确定的函数才有反函数，2x y =，),0[+∞∈x 有反函数是x y = 探讨2

探讨3：)(1x f y -=的反函数是什么？

若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是

)(x f y =，

这就是说，函数)(x f y =与)(1x f y -=互为反函数

探讨4：探究互为反函数的函数的图像关系

观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：

（1）函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称． （2）互为反函数的两个函数具有相同的增减性．

例1．求下列函数的反函数：

①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=. 小结：求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明．

例2． 函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（1，4），求

a 的值.

【小结】若函数()y f x =的图象经过点(,)a b ，则其反函数的图象经过点(,)b a 例3．已知函数1)(+==x x f y ，求)3(1-f 的值． ．

课堂练习：

练习1．求下列函数的反函数：

（1）y =x 4(x ∈R ), (2)y =x 25.0(x ∈R ), (3)y =x )3

1

((x ∈R ),

(4)y =x )2((x ∈R ), (5)y =lg x (x ＞0), (6)y =24log x (x ＞0)

(7)y =a log (2x )(a ＞0,且a ≠1,x ＞0) (8)y=a

log 2

x

(a ＞0,a ≠1,x ＞0) 练习2．函数y =3x 的图象与函数3log y x =的图象关于（ ）

A.y 轴对称

B. x 轴对称

C. 原点对称

D. y x =直线对称

幂函数

第一课时：幂函数 教学目标：

（一）知识和技能：

1．了解幂函数的概念，会画幂函数3

2x y ,x y ,x y ===，1x y -=，

2

1x y =的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。

2．了解几个常见的幂函数的性质。

（二）过程与方法：

1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。 2．使学生进一步体会数形结合的思想。

教学重点：

常见幂函数的概念和性质

教学难点：

幂函数的单调性与幂指数的关系 一． 温故知新

复习指数函数、对数函数的定义

形如)1,0(≠>=a a a y x 的函数称指数函数； 形如)1,0(log ≠>=a a x y a 的函数称指数函数。

提问：之前还学过哪些函数？

提问：这些是指数函数吗？若不是说出它们与指数函数的相同点与不同点。 二． 幂函数定义

1．幂函数的定义：一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数叫称为幂函数(power function),

其中x 是自变量，α是常数。

【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？

结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：

对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数。 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数。

概念辨析：

在下列函数中哪些是幂函数？ （1）x y 2= （2）x x y -=3

（3）2)2(-=x y （4）4

1x y =

三． 探究幂函数图象与性质

可通过研究几个常见幂函数的图象与性质------在同一坐标系中画出

2

13

12,,,,x y x y x y x y x y =====-函数的图象，然后观察图象，归纳特征。 【探究二】观察函数12

1

32x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的图象，将你发现的结论写在下表内。

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点()1,1。

（2）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数。

特别地，当0〈1α<时，幂函数的图象下凸；当1α>时，幂函数的图象上凸；

（3）0α<时，幂函数的图象在区间()0,+∞上是减函数。在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴 四．探究与发现

探究题：如图所示，是幂函数y x α=在第一象限内的图象，已知α分别取

123

,,1,232

-四个值，则相应图象依次为： 。 提问：你们是否发现什么规律？

归纳：幂函数α=x y 图象的基本特征是，当0>α是，图象过点

)0,0(),1,1(，且在第一象限随x 的增大而上升,函数在区间[)+∞,0上是单调增函数。

请同学们模仿我们探究幂函数α=x y 图象的基本特征0>α的情况探讨0<α时幂函数α=x y 图象的基本特征。 归纳：0<α

时幂函数α=x y 图象的基本特征：过点)1,1(，且在第一象限随x 的

增大而下降，函数在区间),0(+∞上是单调减函数，且向右无限接近X 轴，向上无限接近Y 轴。

（三） 例题剖析 例：

2，画出幂函数335

5

(),()f x x f x x -==的大致图象。

()()()()3333

55550.96,0.95,0.95,0.96--

--试比较的大小。