3-1 矩阵的秩习题评讲

３－１ 矩阵的秩习题评讲

２、设秩（Ａ）＝ｒ，问Ａ中有没有等于零的ｒ－１阶子式？有没有等于零的ｒ阶子式？

有没有不等于零的ｒ＋１阶子式？

解：秩（Ａ）＝ｒ时，Ａ中可能有等于零的ｒ－１阶子式；也可能有等于零的ｒ阶子

式；没有不等于零的ｒ＋１阶子式。例如：

Ａ＝?

?

???

?

???

???00

00

40004320

4321，Ａ中存在一个３阶子式4004204

21＝８≠０，所有４阶子式有一行全为零，值为零，所以秩（Ａ）＝３。Ａ中存在等于零的２阶子式，如

4

34

3；还存在等于零的３阶子式，如0

00000

3

20。

３、如果从矩阵Ａ中划去一行（或一列）得到矩阵Ｂ，问Ａ的秩与Ｂ的秩有什么关系？ 解：设ｍ?ｎ矩阵Ａ的行向量为：α１，α２，……，αｍ－１，αｍ。从矩阵Ａ中划去一

行，不妨设划去第ｍ行，得矩阵Ｂ，则Ｂ的行向量为：α１，α２，……，αｍ－１。分两种情况讨论。

（１）如果αｍ可由α１，α２，……，αｍ－１线性表出，则Ａ的行向量组与Ｂ的行向量

组等价，故Ａ的行秩＝Ｂ的行秩，即秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。

（２）如果αｍ不能由α１，α２，……，αｍ－１线性表出，取Ｂ的行向量组的一个最大

无关组，不妨设为：α１，α２，……，αｒ，则αｍ不能由α１，α２，……，αｒ线性表出。据Ｐ１１１ １１题，α１，α２，……，αｒ，αｍ线性无关，显然作成Ａ的行向量组α１，α２，……，αｍ－１，αｍ的一个最大无关组，于是Ａ的行秩＝Ｂ的行秩＋１，即秩（Ａ）＝秩（Ｂ）＋１。 综上所述，知： Ｒ(Ｂ)＝?

?

?-1)()(A R A R 线性表出时列不可由其它行列当删去的行线性表出时列可由其它行列当删去的行）（）（）（）（。

４、ｔ取何值时，向量组：α１＝（６，ｔ＋１，７），α２＝（ｔ，２，２），α３＝（ｔ，

１，０）线性相关？

解：用α１，α２，α３为行向量作矩阵Ａ，有

A ＝0

1

227

16t

t

t +＝0

1

227162

t t t t -+--＝－

2

762

t

t t ---＝２ｔ２

－５ｔ－１２

α１，α２，α３线性相关?A ＝０?２ｔ２－５ｔ－１２＝０?ｔ＝－2

3

或ｔ＝４。

５、ｔ取何值时，向量组：α１＝（ｔ－２，１，３），α２＝（－５，ｔ－１，８），α

３

＝（５，－３，ｔ）线性无关？

解：用α１，α２，α３为行向量得矩阵Ａ，有

A ＝t t t 35

815

312

----＝（ｔ＋２）t

t 31811311--＝（ｔ＋２）3405203

11---t t ＝

（ｔ＋２）3

452---t t ＝（ｔ＋２）（ｔ２

－５ｔ＋２６）。所以

α１，α２，α３线性无关?A ≠０?（ｔ＋２）

（ｔ２

－５ｔ＋２６）≠０ ?ｔ≠－２且ｔ≠2

79

5i ±。 Ｐ２１８ 总自测题

１、（１）若向量组α１＝（１，０，０），α２＝（２，２，４），α３＝（１，３，ｔ）线

性相关，则ｔ＝ 。

解：A ＝t

31422

01＝t

34

2＝２（ｔ－６），

α１，α２，α３线性相关?A ＝０?ｔ－６＝０?ｔ＝６。

２、（３）若４阶方阵Ａ的行列式等于零，则（ ）。

（Ａ）Ａ中至少有一行是其余行的线性组合； （Ｂ）Ａ中每一行都是其余行的线性组合； （Ｃ）Ａ中必有一行是零行； （Ｄ）Ａ的列向量组线性无关； 解： ４阶方阵Ａ的行列式等于零 ?Ａ的行（列）向量组线性相关

?Ａ中至少有一行（列）是其余行（列）的线性组合； 选（Ａ）。 Ｐ２６２ 题型举例：单项选择题

１、设α１＝（ａ１１，ａ１２，ａ１３），α２＝（ａ２１，ａ２２，ａ２３），α３＝（ａ３１，ａ３２，

ａ３３）都是３维向量，矩阵Ａ＝()

3

3?ij

a 。则A ＝０是向量组α１，α２，α３线性相关

的（ ）。

（Ａ）充分条件，但不是必要条件； （Ｂ）必要条件，但不是充分条件； （Ｃ）充分必要条件； （Ｄ）既非充分也非必要条件。

解：A ＝０?Ａ的行向量组α１，α２，α３线性相关。选Ｃ。

Ｐ１４３：

１、求下列矩阵的秩： （１）解：

Ａ＝?????????

???------11011111100222021110→????????????------11110022202111011011→?

?

???

???????----30000

404002111011011

秩（Ａ）＝４。 （２）解：

Ａ＝ ???????

??

???----1003011603024220121

1→???????

??

???---1003014030040000121

1→?

?

???

?

?

??

???---1003004000140300121

1→ ???????

??

???---0400

0040001403001211→?

?

???

??

??

???---0000

004000140300121

1；秩（Ａ）＝３。 （３）解：

Ａ＝?????????

???520153035143671792110462861214→??

???

??

?????0000

01436717921

10460000

0＝Ｂ Ｂ中第２、３行对应分量不成比例，故这两个向量线性无关，作成行向量组的一

个最大无关组，秩（Ｂ）＝２，从而秩（Ａ）＝２。 ４、解：

Ａ＝????????????????773265

4

321432163100

5201

041001→???????????

??

???36186

018930

06310

0520

1041

00

1→???

????

?

?????

???0000

00000

06310

0520104100

1，

秩（Ａ）＝３。

６、设ａｉｂｊ≠０，ｉ＝１，２，…，ｍ；ｊ＝１，２，…，ｎ。证明矩阵

Ａ＝?

?

???????

???n m m m n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a

2

1

2221

212111的秩为１。 证明１：因为ａｉｂｊ≠０，所以ａｉ，ｂｉ都是非零实数（ｉ＝１，２，３），

Ａ＝??????????332

31

332221231211

1b a b a b a b a b a b a b a b a b a →????

?

?????00

00031211

1b a b a b a ＝Ｂ 所以秩（Ａ）＝Ｂ中非零行个数＝１。

证明２：因为ａｉｂｊ≠０，ｉ＝１，２，…，ｍ；ｊ＝１，２，…，ｎ，所以Ａ的第一个

行向量α１＝[]n b a b a b a 12111 ≠０，故α１线性无关。对Ａ的第ｉ个行向量

（１≤ｉ≤ｍ），有

αｉ＝[]n i i i b a b a b a 21＝

1

a a i

[]n b a b a b a 12111 ＝

1

a a i

α１； 所以α１是α１，α２，…，αｍ的一个最大无关组，故秩（Ａ）＝１。

证明３： 因为ａ１ｂ１≠０，所以Ｒ（Ａ）≥１。设Ａ的行向量组为：α１，α２，…，α

ｍ。由于ａｉｂｊ≠０，ｉ＝１，２，…，ｍ；ｊ＝１，２，…，ｎ，所以当ｉ≠ｋ时，

有

k

i

j

k j i a a b a b a =

，ｊ＝１，２，…，ｎ。可见Ａ的任意两个行向量线性相关，故 Ｒ（Ａ）＜２。于是Ｒ（Ａ）＝１。

Ｐ１４６ 第三章自测题：

１、（１）矩阵Ａ＝?

?

???

????

???--0021

81422100

3121的秩＝ 。

解：Ａ＝?????????

???--0021

81422100

3121→???????

?????--3100210021003121

→?

?

???

?

?

?????--5000000021003121

→?

?

???

???????--0000

500021003121；秩（Ａ）＝３。 Ｐ２１８ 总自测题

１、（７）矩阵Ａ＝??

??

??????----451070245130103

2的秩等于 。

解１：Ａ＝??????????----4510702451301032→????

??????------4510702451323521→

??????????-------45107045107023521→??

??

??????-----0000045107023521，秩（Ａ）＝２。

Ｐ２６２ 题型举例：

２、设ａｉ，ｂｉ都是非零实数（ｉ＝１，２，３），α＝????

?

?????321a a a ，β＝[]32

1b b b ，则３

阶方阵Ａ＝αβ的秩等于（ ）。

（Ａ）０； （Ｂ）１； （Ｃ）２； （Ｄ）３。

解１：因为ａｉ，ｂｉ都是非零实数（ｉ＝１，２，３），

Ａ＝αβ＝????

?

?????321a a a []32

1b b b ＝??????????332

31

332221

231211

1b a b a b a b a b a b a b a b a b a →????

?

?????00

00031211

1b a b a b a ＝Ｂ 所以秩（Ａ）＝Ｂ中非零行个数＝１。选Ｂ。

解２：Ａ＝αβ＝????

??????321a a a []32

1b b b ＝??????????332

31

332221

231211

1b a b a b a b a b a b a b a b a b a ＝????

?

?????321A A A 。因为ａｉ，ｂｉ都是非零实数（ｉ＝１，２，３），所以Ａ１＝[]312

111b a b a b a ≠０，向量Ａ１线性无

关，Ａ２＝

12

a a Ａ１，Ａ３＝1

3a a Ａ１，所以Ａ１是Ａ的行向量组Ａ１，Ａ２，Ａ３的一个最大无关组，Ａ的行秩＝１，从而秩（Ａ）＝１。选Ｂ。

Ｐ１４７ 第三章自测题

２、（４）设矩阵Ａ＝?????

????

???-32

00

54003110

4321

，４维列向量α１，α２，α３，α４线性无关，则向量组Ａα１，Ａα２，Ａα３，Ａα４的秩等于（ ）。

（Ａ）１； （Ｂ）２； （Ｃ）３； （Ｄ）４。

解：A ＝

3

20054003110

4

321-＝3254＝２≠０，秩（Ａ）＝４［Ａ可逆］。 令Ｂ＝()4321αααα，已知４维列向量α１，α２，α３，α４线性无关，则

秩（Ｂ）＝４［Ｂ可逆］。 ＡＢ＝Ａ()4321

αααα＝()43

2

1

ααααA A A A ，所以

秩｛Ａα１，Ａα２，Ａα３，Ａα４｝＝秩（ＡＢ）＝秩（Ａ）＝４。选（Ｄ）。