数值分析实验(5)

实验五 非线性方程与方程组的数值解法

专业班级：信计131班 姓名：段雨博 学号：2013014907

一、实验目的

1、熟悉matlab 编程。

2、学习非线性方程求根的方法及程序设计算法。

二、实验题目

1、迭代函数对收敛性的影响

用迭代方法求方程()3

210f x x x =--=的根 方案（1）：化方程为等价方程：

()x x ?== 取初值00x =，迭代10次。

方案（2）：化方程()3

210f x x x =--=为等价方程： ()3

021x x x ?=-= 取初值00x =，迭代10次，观察其计算值，并加以分析。

2、初值的选取对迭代法的影响

用牛顿法求方程310x x --=在0 1.5x =附近的根。

方案（1）：使用牛顿法并取0 1.5x =，由()()

1k k k k f x x x f x +=-'得： 312131

k k k k k x x x x x +--=--，迭代10次。 方案（2）：取00x =，并利用相同的公式：312131

k k k k k x x x x x +--=--，迭代10次，观察比 较并分析原因。

3、收敛性和收敛速度的比较。

求方程()3

sin 121f x x x x =--+的全部实根，其中误差限610ε-= 方案（1）：用牛顿法求解；

方案（2）：用简单迭代法求解。

取相同的迭代初值，比较各方法的收敛速度。

三、实验原理与理论基础

1、牛顿法：

设已知方程()0f x =有近似根k x （假定()0k f x '≠），将函数()f x 在点k x 展开，有 ()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-，于是方程()0f x =可近似地表示为

()()()0k k k f x f x x x '+-=

这是个线性方程，记其根为1k x +，则1k x +的计算公式为：

()()1,0,1...,k k k k f x x x k f x +=-

=' 这就是牛顿法。

2、迭代法原理

将非线性方程()0f x =化为一个同解方程()x x ?=，并且假设()x ?为连续函数，任取一个初值0x ，代入()x x ?=的右端，得()10x x ?=，继续()21x x ?=，……，则()1k k x x ?+=，0,1,2k = ，称()1k k x x ?+=式为求解非线性方程()x x ?=的简单迭代法。

3、收敛性与收敛阶

设迭代过程()1k k x x ?+=收敛于方程()x x ?=的根x *，如果当k →∞时迭代误差k e x x **=-满足渐进关系式1k p

k e C e +→常数0C ≠，则称该迭代过程是p 阶收敛的。特别地，()11p C =<时称为线性收，1p >时称为超线性收敛，2p =时称为平方收敛。

定理4：对于迭代过程()1k k x x ?+=及正整数p ，如果()p x ?在所求根x *的临近连续，并

且()()()()10,p x x x ???-***'''==== ()()0p x ?*≠，则该迭代过程在点x *

附近是p 阶收敛的。

四、实验内容

第一题：1、编写一般迭代法的M 文件程序。

2、分别调用两个程序得出结果。

第二题：1、编写牛顿迭代法的M 文件。

2、对等价方程分别取不同的初值0x ，调用牛顿迭代法求解。

第三题：1、分别调用简单迭代法和牛顿迭代法求解。

第一题：一般迭代法的M 文件：

function [x_star,it] =iterate(~,~,~,~)

%%求方程根的一般迭代法，调用方法为

%%[x_star,it]=iterate(phi,x,ep,it_max)；

%%其中philosophy（x）为迭代函数；x为初始点；

%%ep为精度要求，缺省值为1e-5；

%%it_max为最大迭代次数，缺省值为100，x_star为得到的解；%%it为所需的迭代次数.

ifnargin<4;

it_max=100;

end

ifnargin<3

ep=1e-5;

end

k=1;

whilek<=it_max

x1=feval(phi,x);

if abs(x1-x)

end

x=x1;k=k+1;

end

x_star=x1;it=k;

方案一：

>> phi=@(x)(((x+1)/2)^(1/3))

phi =

@(x)(((x+1)/2)^(1/3))

>> [x_star,it]=iterate(phi,0)

x_star =

1.0000

it =

8

方案二：

>> phi=@(x)(2*x^3-1)

phi =

@(x)(2*x^3-1)

>> [x_star,it]=iterate(phi,0)

x_star =

-Inf

it =

101

第二题：牛顿迭代法的M文件：

function [x_star,it] =Newton(fun,x,ep,it_max)

%%求方程根的Newton法，调用方法为

%%[x_star,it]=Newton(fun,x,ep,it_max)，

%%其中fun（x）为迭代函数，提供函数值和导数值；x为初始点；%%ep为精度要求，缺省值1e-5；

%%it_max为最大迭代次数，缺省值为100；

%%x_star为得到的解；it为求解所需的迭代次数.

ifnargin<4

it_max=100;

end

ifnargin<3

ep=1e-5;

end

k=1;

whilek<=it_max

[f,dotf]=feval(fun,x);

if abs(dotf)<1e-10

error('%求根失败，求根函数的导数为0.');

end

x1=x-f/dotf;

if abs(x1-x)

end

x=x1;k=k+1;

end

x_star=x1;it=k;

外部函数：

function[f,dotf]=fun(x)

f=x^3-x-1;

dotf=3*x^2-1;

x=1.5

方案一：取

>> [x_star,it]=Newton(@fun,1.5)

x_star =

1.3247

it =

4

x=0

方案二：取

>> [x_star,it]=Newton(@fun,0)

x_star =

1.3247

it =

21

第三题：牛顿法：

外部函数：

function[f,dotf]=fun(x)

f=x^3-sin(x)-12*x+1;

dotf=3*x^2-cos(x)-12;

（1）调用牛顿迭代公式：

>> [x_star,it]=Newton(@fun,0)

x_star =

0.0770

it =

3

（2）简单迭代法：

>> [x_star,it]=iterate(phi,0)

x_star =

NaN

it =

101

五、实验结果

1、方案一：

>> phi=@(x)(((x+1)/2)^(1/3)) phi =

@(x)(((x+1)/2)^(1/3))

>> [x_star,it]=iterate(phi,0)

x_star =

1.0000

it =

8

方案二：

>> phi=@(x)(2*x^3-1)

phi =

@(x)(2*x^3-1)

>> [x_star,it]=iterate(phi,0)

x_star =

-Inf

it =

101

x=1.5

2、方案一：取

>> [x_star,it]=Newton(@fun,1.5) x_star =

1.3247

it =

4

x=0

方案二：取

>> [x_star,it]=Newton(@fun,0) x_star =

1.3247

it =

21

3、（1）调用牛顿迭代公式：

>> [x_star,it]=Newton(@fun,0)

x_star =

0.0770

it =

3

（2）简单迭代法：

>> [x_star,it]=iterate(phi,0)

x_star =

NaN

it =

101

六、实验结果分析与小结

1、通过这次实习，让我对非线性方程求解的各种迭代法有了更深的了解，之前在复习迭代法时对牛顿迭代法不是很清楚，当自己编程去解决问题时就会有不一样的感受和理解，比如初值对牛顿迭代法的影响，上课只是知道会有很大影响，但看到实验结果才看出来原来引起的误差确实很大。不过牛顿迭代法的思想不太难，迭代的方法比较简单易懂，这次在编写程序又用到了外部函数，外部函数和内部函数不是很清楚，经过查资料，看别人写的程序，明白了好多。

2、这次实习虽然方法简单，但是编写程序不是很会，很多编程时用的函数之前从来没见过，所以自己没办法解决，查了别人是如何写的，然后自己模仿人家写下来，编写函数程序还是挺难的，很多函数很少用到，接触也不多，不是很清楚怎么来编写，如何调用函数来运行，程序编写出来有问题也不知道问题出在哪里，有调用不出来的。希望通过以后的学习，包括借鉴人家写的，自己学会去编写程序，了解更多。