武汉市中考第23题

武汉市中考第23题

二次函数应用题题目设置与应考策略

一、分段函数

（一）一涨再涨或一降再降

1．（10四月）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（二）涨、降结合型

2．（10五月）某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件．设每件商品的售价为x元（x 为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）当每件商品的售价高于60元时，定价为多少元使得每个月的利润恰为2250元？

解：（1）当50≤x ≤60时，6400200)60100)(40(2-+-=-+-=x x x x y ；

当60＜x ≤80时，88003002)1202100)(40(2-+-=+--=x x x x y ；

∴ 64002002

-+-x x （50≤x ≤60且x 为整数） y ＝

880030022

-+-x x （60＜x ≤80且x 为整数）

（2）当50≤x ≤60时，3600)100(2+--=x y ；

∵a ＝-1＜0，且x 的取值在对称轴的左侧，∴y 随x 的增大而增大，

∴当x ＝60时，y 有最大值2000；

当60＜x ≤80时，2450)75(22+--=x y ；

∵a ＝-2＜0，∴当x ＝75时，y 有最大值2450．

综上所述，每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润

是2450元．

（3）当60

当y ＝2250元时，22502450)75(22=+--x ，解得：;85,6521==x x

其中，x ＝85不符合题意，舍去．

∴当每件商品的售价为65元时，每个月的利润恰为2250元．

二、一次函数与二次函数结合型，（注意自变量的取值范围）

3．（2010中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的整数倍）．

（1） 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；

（2） 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；

（3） 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

解：（1）y=50-10

x （0≤x ＜160）；

（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-10x ）=80003410

2

++-x x ； （3）因为w=80003410

2

++-x x ，所以当x=a b 2-，即x=170时，利润最大，此时订房数y=50-10

x =33．此时的利润是5110元． 添“枝”加“叶”型

5．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品

的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．

（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）当售价的范围是是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元？

（1）y ＝［100－2（x －60）］（x ﹣40）

＝—2x 2＋300x —8800；(60≤x ≤110且x 为正整数)………………………3分

（2）y ＝—2(x —75)2+2450，当x ＝75时，y 有最大值为2450元………………6分

（3）当y ＝2250时，—2(x —75)2＋2450＝2250，解得x 1＝65，x 2＝85

∵a ＝—2＜0，开口向下，当y ≥2250时，65≤x ≤85

∵每件商品的利润率不超过80%，则x-4040

≤80%，则x ≤72 则65≤x ≤72.……………………………………………………………………10分

三、与二次等式有关类型

（2009中考）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．

（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

解：（1）2(21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）；

（2）210( 5.5)2402.5y x =--+．

100a =-< ，∴当 5.5x =时，y 有最大值2402.5．

015x < ≤，且x 为整数，

当5x =时，5055x +=，2400y =（元），当6x =时，5056x +=，2400y =（元） ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

（3）当2200y =时，2

1011021002200x x -++=，解得：12110x x ==，． ∴当1x =时，5051x +=，当10x =时，5060x +=．

∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）． （2009四月调考）某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。

（1）请写出每月售出书包的利润y （元）与每个书包涨价x （元）间的函数关系式；

（2）设某月的利润为10000元，此利润是否为该月的最大利润，请说明理由；

（3）请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元。

（2009五月）某市场将进货价为40元/件的商品按60元/件售出，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元/件，每星期该商品要少卖出10件.

（1）请写出该商场每月卖出该商品所获得的利润y（元）与该商品每件涨价x(元)间的函数关系式；

(2)每月该商场销售该种商品获利能否达到6300元？请说明理由;

(3)请分析并回答每件售价在什么范围内，该商场获得的月利润不低于6160元？

四、前期投入，第一年亏损，第二年盈利型

4．（2011年四月）杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元。按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示。

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

(2)第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；

(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1349万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。

面积有关问题

6．（2011中考）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米。（1）若平行于墙的一边长为y 米，直接写出y 与x 的函数关系式及其自变量x 的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x 的取值范围。

解：（１）设ｙ＝30－2x （６≤ｘ＜１５）

（２）设矩形苗圃园的面积为Ｓ，则Ｓ=ｘｙ＝ｘ（３０－２ｘ）＝－２ｘ2

＋３０ｘ ∴Ｓ=-２(Ｘ-7.5)2＋112.5 由（１）知，６≤ｘ＜１５

∴当ｘ＝7.5时，Ｓ最大值＝112.5

即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为７．５米时，这个苗圃园的面积最大，

这个最大值为112.5．

7．用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD 长表示窗框的宽，EF=0.5米．(铝合金条的宽度忽略不计)

（1）求窗框的透光面积S （平方米）与窗框的宽x （米）之间的函数关系式；

（2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积是多少？

（3）当窗框的面积不小于10平方米时，试结合函数图象，直接写出x 的取值范围．

（1）由3BC+2×0.5+3x=19得BC=6－x ，∴AC=6.5－x, 所以S ＝AC ·CD ＝－x 2+6.5x （0＜x ＜6）；

（2）当x=413时，有最大值16

169平方米; （3）2

5≤x ≤

4 米

F C B A

如图，某市“八一”广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200m 、120m ，花坛中有一横两纵的通道，设横、纵通道的宽度分别为3x （m ）、2x （m ），三条通道的总面积为S （m 2）．

（1）求S 与x 之间的函数关系，并直接写出x 的取值范围；

（2）甲设计单位的方案中，通道总面积为花坛总面积的2125

11m ，求该设计单位设计的横、纵通道的宽分别是多少？

（3）如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3168x 元，

乙单位根据信息，设计了花坛总造价最低的方案，你知道乙单位设计

方案中横、纵通道的宽分别为多少米吗？花坛的最低总造价是多少

元？

（以下数据可供参考：852 = 7225，862 = 7396，872 = 7569）

（1）由题意得 S = 3x · 200 + 2x · 120×2－2×6x 2 =－12x 2 + 1080x ．

又 x ＞0，4x ＜200，3x ＜120，解得0＜x ＜40；

（2）S =125

11×200×120，得 x 2－90x + 176 = 0，解得 x = 2 或 x = 88． ∵0＜x ＜40，∴x = 2，∴横、纵通道的宽分别是6 m 、4 m ．

（3）设花坛总造价为y 元．

则 y = 3168x +（200×120－S ）×3 = 3168x +（24000 + 12x 2－1080x ）×3

= 36x 2－72x + 72000 = 36（x －1）2 + 71964，

当x = 1，即纵、横通道的宽分别为3 m 、2 m 时，花坛总造价量低，最低总造价

为71964元．

7．（2012四月调考）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m 的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3m ．

(1)建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；

(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m ，最内轨道的半径为r m ，其上每0.3 m 的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的 地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r 为多少时池中安装的地漏的个数最多？

六、细节变化、陷阱题：

陷阱一：最大值中的x值不在自变量的范围中

或设每间商铺的年租金为x 万元，则租出商铺的数量为y 间，

（1）10300.5

x y -=-，当x=13时，y ＝24. （2）设公司的年收益为W 万元，则W ＝总收入－总支出 即W ＝225128810.5(30)251402()48

xy y y x x x ---=-+-=--+ 在第一问中就要求出x 的取值范围，1005020100.5

x x x ??-≥?->??-??是整数，可得x=10,10.5,11,11.5,……

故在第二问中x 只能是12.5或13.

中百超市每天购进一种水产品300千克，其进货成本（含运输费）是每千克3元，根据超市规定，这种水产品只能当天销售，并且每千克的售价不能超过10元，一天内没有销售完的水产品只能按2元处理给食品深加工公司，而且这种水产品每天的损耗率是10%，根据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量y (单位：千克，y ≥0）与每千克的销售价x (元)之间的函数关系如下图所示：

（1）求出每天销售量y 与每千克销售价x 之间的函数关系式； （2）根据题中的信息分析：每天销售利润w 最多是多少元？ （3）请你直接回答：当每千克销售价为多少元时，每天的销售利润不低于960元？

（1）待定系数法可求得：y=-10x +300；

（2）w=xy -300+（270+10x-300）= -10x 2+320x -960= -10（x -16）2+1600，

∵0 ≤-10x +300≤ 300×90%，∴3 ≤ x ≤30，又x ≤ 10，∴3 ≤ x ≤10，

∵a= -1<0，∴当3 ≤ x ≤ 10，w 随x 的增大而增大，

∴当x =10时，w 有最大值1240，

（3）当每千克销售价不高于10元且不低于8元时，每天的销售利润不低于960元. 这题的陷阱是什么呢？一是数量发生变化；二是利润＝总收入－总支出