热力学统计物理 课后习题 答案 (3)

第六章 近独立粒子的最概然分布

6．1试证明，在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

D(ε) d ε =()εεπd m h

V

21

23322

证明：由式子（6-2-13），在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为

Z Y X dP dP dP h V

3

-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为

dP P h

V 2

34π-------------（2） 上式可以理解为将相空间（μ空间）体积元4πVP 2dP （体积V ，动量球壳4πP 2dP ）除以相格大小h 3而得到的状态数。

自由粒子的能量动量关系为m

P 22

=ε

因此 εm P 2=

， εmd PdP =

将上式代入（2）式，即得到在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子

态数为 D(ε) d ε =()εεπd m h

V

21

23322------------（3）

6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为

D(ε) d ε =εεd m h L 122???

??

证明：对于一维自由粒子，有n L

h

n L p ==

ηπ2 dn L

h

dp =∴

由于p 的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在范围内的量子态数p d p p +→ p d h

L

d 2

n = 再由 εεm m

p 2p 22

==得 所以 ()εεεεεd m h L m d h L dn 2

12222 d D ??

?

??===， 证毕

6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为

D(ε) d ε =επmd h

L 22

2

证明：对于二维自由粒子，有y y x x n L

h p n L h p ==

, y y x x dn L

h

dp dn L h dp ==∴,

所以，在面积L 2内，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,内的量子态数为

y x y x dp dp dn dn 22

h

L ＝

换为极坐标，则动量大小在dp p p +→内的量子态数为

??d dp h

L pdpd h L dn 222

222==

对φ从0至2π积分，并利用m

p 22

=ε则可得在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为

D(ε) d ε =επmd h

L 22

2，证毕

6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =

εεπd ch V 2

3

)(4 证明：在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为

Z Y X dP dP dP h V

3

-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为

dP P h

V 2

34π-------------（2） 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，

代入，可得在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =

εεπd ch V 2

3

)(4-------------------（3） 6．6同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何? 解：两种粒子的分布{}{}

'

l l a a 和必须满足：

∑=l

l N a

， ∑=l

l

N a

''，

∑∑=+l

l

l

l

l

l E a

a ''εε，

其中E 为系统总能量。又上面各式可得：

∑=l

l a

0δ （1） ∑=l

l

a

0'δ （2）

∑∑=+=l

l l l

l

l a a

00''δεδε （3）

对于波色子：

分布{}{}

'

l l a a 和的微观状态数分别为：

()()∏--+=Ωl l l l l a a !1!!1ωω ()()∏--+=Ωl l

l l l a a !1!1'''''

ωω

系统的微观状态数 '

Ω?Ω=Ωsystem

在平衡状态下两种粒子的最概然分布是在限制条件（1）、（2）、（3）下使system Ω极大的分布，此时必有0ln =Ωsystem δ

而

()()()()()[]

∑----++----+=Ω?Ω=Ωl

l l l l l l l l system a a a a 1

ln !ln !1ln 1ln !ln !1ln ln ln '''''ωωωω 当 1,1,1,1'

'>>>>>>>>l l l l a a ωω 时

()()()()[]

∑--+++--++≈Ωl

l l l l l l l l l l l l l l l l system a a a a a a a a '

'''''''ln ln ln ln ln ln ln ωωωωωωωω 则由0ln =Ωsystem δ 得

()[]()[]{}

0ln ln ln ln ''''=-++-+∑l

l l l l l l l l

a a a a a a δωδω

（4）

用拉氏乘子α、α’、β分别乘（1）（2）（3）式并从（4）式中减去，得

()[]()[]{}

0ln ln ln ln ''''''=---++---+∑l

l l l l l l l l l l

a a a a a a δβεαωδβεαω

根据拉氏乘子法原理，上式中每一个l a δ及'

l a δ的系数都必须为零，即

()l l l l a a βεαω---+ln ln ＝0 ()

'''''ln ln l l l l a a βεαω---+＝0

所以，平衡状态下两种玻色子的最概然分布分别为

a l =

l

e l

βεαω-- ， a l ′=

′

'

'

'

l

e l βεαω--

对于费米子

()∏-=Ωl l

l l a !1!!ωω ()∏-=Ωl l l l a !1!''''

ωω

当()()

,1,1,1,1,1,1'

'''>>->>->>>>>>>>l l l l l l l l a a a a ωωωω时

()()()()()[]

∑+----+----≈Ω?Ω=Ωl

l l l l l l l l l l l l l l l l system a a a a a a a a '

''''''''ln ln ln ln ln ln ln ln ωωωωωωωω 用与前面相同的方法，可得平衡状态下的两种费米子的最概然分布分别为

a l =

l

e

l

βεαω-- ， a l ′=′

'

''

l e

l βεαω--

以上结果表明，无论对于波色子还是费米子，如果把一种粒子看作是一个子系统，系统

由两个子系统组成，则平衡时两个子系统具有相同的β。