数值分析牛顿插值多项式
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include 插值法数值上机实验报告 实验题目： 利用下列条件做插值逼近，并与R (x) 的图像比较 考虑函数：R x y=1 1+x2 （1）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的10次Newton插值多项式的图像； π),i=0,1,...,20.给出它的20次Lagrange插值多项式（2）用节点X i=5cos(2i+1 42 的图像； （3）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段线性插值函数的图像；（4）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的三次自然样条插值函数的图像； （5）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段三次Hermite插值函数的图像； 实验图像结果： 实验结果分析： 1.为了验证Range现象，我还特意做了10次牛顿插值多项式和20次牛顿插值多项式的对比图像，结果如下图（图对称，只截取一半） 可以看出，Range现象在高次时变得更加明显。这也是由于高次多项式在端点处的最值随次数的变大很明显。可以料定高次多项式在两侧端点处剧烈震荡，在更小的间距内急剧上升然后下降，Range现象非常明显。 2.分析实验（2）的结果，我们会惊讶地发现，由于取21个点逼近，原本预料的Range现象会很明显，但这里却和f(x)拟合的很好。（即下图中Lagrange p(x)的图像）。可是上图中取均匀节点的20次牛顿多项式逼近的效果在端点处却很差。料想是由于节点X i=5cos2i+1 42 π ,i=0,1,...,20 取得很好。由书上第五章的 知识，对于函数y=1 1+x ，y 1 2对应的cherbyshev多项式的根恰好为X i= 5cos2i+1 42 π ,i=0,1,...,20 。由于所学限制，未能深入分析。 （3）比较三次样条插值图像和Hermit插值图像对原函数图像的逼近情形。见下图： 二分法和牛顿法的比较 二分法的基本思想是对有根区间[a,b]逐次分半，首先计算区间[a,b]的中间点x0，然后分析可能出现的三种情况：如果f(x0)f(a)<0，则f(x)在区间[a,x0]内有零点；如果f(x0)f(b)<0，则f(x)在区间[x0,b]内有零点；如果f(x0)=0，则x0是f(x)在区间[a,b]内所求零点。但是二分法的缺点是收敛速度慢且不能求复根。牛顿迭代法的基本思想是将方程f(x)=0中函数f(x)线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解其迭代函数为) (') ()(x f x f x x -=?。牛顿迭代法的缺点是可能发生被零除错误，且可能出现死循环。 用二分法和牛顿法分别计算多项式02432 3 =-+-x x x 的解。该多项式的解为1、1+i 和1-i ，使用二分法计算时，区间为(-1,2)，使用牛顿法计算时取初始值为0。误差都为0.0001。 编程如下 二分法(erfen.m)： syms x ; fun=x^3-3*x^2+4*x-2; a=-1; b=2; d=0.0001; f=inline(fun); e=b-a; k=0; while e>d c=(a+b)/2; if f(a)*f(c)<0 b=c; elseif f(a)*f(c)>0 a=c; else a=c;b=c; end e=e/2; k=k+1; end k x=(a+b)/2 牛顿法(newton.m)： function [k,x,wuca] = newton() k=1; x0=0; tol=0.0001; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); x1=x0-yx1/yx2; while abs(x1-x0)>tol x0=x1; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); k=k+1; x1=x1-yx1/yx2; end k x=x1 wuca=abs(x1-x0)/2 end function y1=fun(x) y1=x^3-3*x^2+4*x-2; end function y2=fun1(x) y2=3*x^2-6*x+4; end 分析结果得知，在相同的误差精度下，二分法需要计算15次，而牛顿法只需计算5次，得知牛顿法比二分法优越。 数值分析实验报告记录 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数值分析实验报告 （第二章） 实验题目： 分别用二分法、牛顿迭代法、割线法、史蒂芬森迭代法求方程 的根，观察不同初始值下的收敛性，并给出结论。 问题分析： 题目有以下几点要求： 1.不同的迭代法计算根，并比较收敛性。 2.选定不同的初始值，比较收敛性。 实验原理： 各个迭代法简述 二分法：取有根区间的重点，确定新的有根区间的区间长度仅为区间长度的一版。对压缩了的有根区间重复以上过程，又得到新的有根区间，其区间长度为的一半，如此反复，……，可得一系列有根区间，区间收敛到一个点即为根。 牛顿迭代法：不动点迭代法的一种特例，具有局部二次收敛的特性。迭代格式为 割线法：是牛顿法的改进，具有超线性收敛的特性，收敛阶为1.618. 迭代格式为 史蒂芬森迭代法：采用不动点迭代进行预估校正。至少是平方收敛的。迭代格式为 这里可采用牛顿迭代法的迭代函数。 实验内容： 1.写出该问题的函数代码如下： function py= f(x) syms k; y=(k^2+1)*(k-1)^5; yy=diff(y,k); py(1)=subs(y,k,x); py(2)=subs(yy,k,x); end 2.分别写出各个迭代法的迭代函数代码如下： 二分法： function y=dichotomie(a,b,e) i=2; m(1)=a; while abs(a-b)>e t=(a+b)/2; s1=f(a); s2=f(b); s3=f(t); if s1(1)*s3(1)<=0 b=t; else a=t; end m(i)=t; i=i+1; end y=[t,i+1,m]; end 牛顿迭代法： function y=NewtonIterative(x,e) i=2; en=2*e;m(1)=x; while abs(en)>=e s=f(x); t=x-s(1)/s(2); en=t-x; x=t; m(i)=t; i=i+1; end y=[x,i+1,m]; end 牛顿割线法： function y=Secant(x1,x2,e) i=3; m(1)=x1,m(2)=x2; while abs(x2-x1)>=e s1=f(x1); s2=f(x2); t=x2-(x2-x1)*s2(1)/(s2(1)-s1( 1)); x1=x2; x2=t; m(i)=t; i=i+1; end . 牛顿插值法一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 x?x)f(二、实验内容：给定函数，已知： 4832401.2)?.?1449138f(2.f.f(20)?1.414214(2.1) 549193.)?1f(2.4516575(f2.3)?1. 三、实验要求：以此作为函数2.15插值多项式在处的值，用牛顿插值法求4 次Newton（ 1）2.15?N(2.15)。在MATLAB中用内部函数ezplot绘制出的近似值4次Newton插值多项式的函数图形。 （2）在MATLAB中用内部函数ezplot可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程： 1、编写主函数。打开Editor编辑器，输入Newton插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); 0 / 3 . %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 （1）在MATLAB命令窗口输入： >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到： 附录 （一）等距结点的Newton 插值法的程序算法步骤 步骤 按照差分公式，求差分.然后利用Newton 前插公式或Newton 后插公式并把数值带入.即可以求得n 次多项式. 它在计算机上的应用步骤如下： 步骤1 输入所要求的牛顿多项式的次数n ，步长h ，并依次输入1+n 个节点 ),(i i y x . 步骤2 求得各界差分 步骤3 代入牛顿插值公式,可计算得出结果 （二）等距节点下Newton 插值的实例 例题1 已知的值列表如下： 近似计算325.1tan ,305.1tan . 解： 采用Newton 向后插公式.为此，做差分表 ).2)(1(! 30016 .0)1(!20128.01690.00723.4)(3+++++ +=t t t t t t x p 将5.001 .033 .1325.1-=-= t 代入上式，得 tan1.325≈P 3 1.325 =3.9861 将5.201 .033 .1305.1-=-=t 上式中可以得到 tan1.305≈P 3 1.305 =3.6733 C程序如下： #include 实验报告：牛顿差值多项式&三次样条 问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数2 1()25f x x 作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。 实验内容： （1）牛顿插值多项式 1.1 当n=10时： 在Matlab 下编写代码完成计算和画图。结果如下： 代码： clear all clc x1=-1:0.2:1; y1=1./(1+25.*x1.^2); n=length(x1); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms F x p ; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i); end syms P P=sum(p); P10=vpa(expand(P),5); x0=-1:0.001:1; y0=subs(P,x,x0); y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0); plot(x0,y0,x0,y2) grid on xlabel('x') ylabel('y') P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36*x^4+2.0202e-1 4*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0 并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。 Fig.1 牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形 从图形中我们可以明显的观察出插值函数在两端点处发生了剧烈的波动，产生了极大的误差，即龙格现象，当n=20时，这一现象将更加明显。 1.2 当n=20时： 对n=10的代码进行修改就可以得到n=20时的代码。将“x1=-1:0.2:1;”改为“x1=-1:0.1:1;”即可。运行程序，我们得到n=20时的牛顿插值多项式，结果为：P20(x)= 260188.0*x^20 - 1.0121e6*x^18 + 2.6193e-12*x^17 + 1.6392e6*x^16 + 2.248e-11*x^15 - 1.4429e6*x^14 - 4.6331e-11*x^13 + 757299.0*x^12 + 1.7687e-11*x^11 - 245255.0*x^10 + 2.1019e-11*x^9 + 49318.0*x^8 + 3.5903e-12*x^7 - 6119.2*x^6 - 1.5935e-12*x^5 + 470.85*x^4 + 1.3597e-14*x^3 - 24.143*x^2 - 1.738e-14*x + 1.0 同样的，这里得到了该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.2）。 对拉格朗日插值法与牛顿插值法的学习和比较 摘要：根据对拉格朗日插值法和牛顿插值法的理解，本文主要介绍了拉格朗日插值法和牛顿插值法的相关内容以及它们的区别。 关键词：拉格朗日插值法；牛顿插值法 The leaning and comparison of the Lagrange interpolation and Newton interpolation Abstract: Based on the understanding of the Lagrange interpolation and Newton interpolation ，this paper mainly describes some related knowledge as well as the difference between these two methods. Keywords: Lagrange interpolation ; Newton interpolation 前言 在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。 如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中，求一简单函数)(x P ，使 ),,1,0()(n i y x P i i == 而在其他点i x x ≠上，作为)(x f 的近似。 通常，称区间],[b a 为插值区间，称点n x x x ,,,10 为插值节点，称式i i y x P =)(为插值条件，称函数类Φ为插值函数类，称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数)(x P 的方法称为插值法。 插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。 在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式 n n x a x a a x P +++= 10)( 使),,1,0()(n i y x P i i n ==，其中，n a a a ,,,10 为实数。 §3 牛顿迭代法Newton Iteration ————切线法 牛顿迭代法是最著名的方程求根方法。已经通过各种方式把它推广到解其他更为困难的非线性问题。 【例如】非线性方程组、非线性积分方程和非线性微分方程。 虽然牛顿法对于给定的问题不一定总是最好的方法，但它的简单形式和快的收敛速度常常使得解非线性问题的人优先考虑它。 迭代一般理论告诉我们，构造好的迭代函数可使收敛速度提高。然而迭代函数的构造方法又各不相同，方法多样。牛顿法是受几何直观启发，给出构造迭代函数的一条重要途径。 牛顿迭代的基本思想:方程f(x)=0的根，几何意义是曲线y=f(x)与ox 轴y=0的交点。求曲线与y=0的交点没有普遍的公式，但直接与0x 轴的交点容易计算。用直线近似曲线y=f(x)，从而用直线方程的根逐步代替f(x)=0的根。即把非线性方程逐步线性化。 方法：设x k 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在x k 处作一阶Taylor 展开，得到 ))(()()(k k k x x x f x f x f -'+≈ （19） 设)(k x f '≠0，由于 0)())(()(=≈-'+x f x x x f x f k k k 所以求得解记为1+k x ，有 牛顿迭代公式：（20） 按牛顿迭代计算称为牛顿迭代法。 牛顿法的几何意义：选初值x k 以后，过))(,(k k x f x p 点，作 曲线y=f(x)的切线，其切线方程为 ))(()()(k k k x x x f x f x f -'+= (21) 切线与ox 轴的交点，为1+k x ，则 )(/)(1k k k k x f x f x x '-=+ （22） 牛顿迭代法也称为切线法。 迭代法的收敛性：如果取)(/)()(k k x f x f x x g '-=，则有x=g(x)，从而牛顿迭代公式就是 )(1k k x g x =+ 因此就可以由考察g(x)的性质，来讨论迭代法的收敛性及收敛速度。迭代过程的收敛速度是指迭代过程中误差的下降速度。 设迭代过程)(1k k x g x =+收敛于方程x=g(x)的根x*，如果迭代误差* x x e k k -=，当k →∞时成立 )0(/1的常数≠→+c c e e p k k （24） 则称该迭代过程是p 阶收敛的。特别p=1时称为线性收敛，p>1时称超线性收敛，p=2时称为平方收敛。 若f(x)在根附近存在连续的二阶导数，x*是f(x)的单根，且初始值x 0充分接近x*，则牛顿迭代过程收敛，而且有 21)(2/)(****+-?'''≈-x x x f x f x x k k （25） 证明 1)对于f(x)，取)(/)()(x f x f x x g '-=，则牛顿迭代过程为)(1k k x g x =+，注意到 §3.4 牛顿迭代法 牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。 3.4.1 牛顿迭代法 用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式： 1设 ],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(2 0000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ 略去二次项，得到)(x f 的线性近似式： ))((')()(000x x x f x f x f -+≈。 由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定 ≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -= 即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(') (1k k k k x f x f x x -=+ 公式(3.4.1) 这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。 2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线 性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝ )(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之 以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图 所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法 也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有 1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式： )(') (1k k k k x f x f x x - =+。 3 要保证迭代法收敛，不管非线性方程=)(x f 0的形式如何，总可以构造： )()()(x f x k x x x -==? )0)((≠x k 作为方程求解的迭代函数。因为：)(')()()('1)('x f x k x f x k x --=? 而且)('x ?在根α附近越小，其局部收敛速度越快，故可令：0)('=α? 实验报告内容： 一：不动点迭代法解方程 二：牛顿插值法的MATLAB实现 完成日期：2012年6月21日星期四 数学实验报告一 日期：2012-6-21 所以，确定初值为x0=1 二：不断迭代 算法： 第一步：将f(x0)赋值给x1 第二步：确定x1-x0的绝对值大小，若小于给定的误差值，则将x1当做方程的解，否则回到第一步 编写计算机程序： clear f=inline('0.5*sin(x)+0.4'); x0=1; x1=f(x0); k=1; while abs(x1-x0)>=1.0e-6 x0=x1; x1=f(x0); k=k+1; fprintf('k=%.0f,x0=%.9f,x1=%.9f\n',k,x0,x1) end 显示结果如下： k=2,x0=0.820735492,x1=0.765823700 k=3,x0=0.765823700,x1=0.746565483 k=4,x0=0.746565483,x1=0.739560873 k=6,x0=0.736981783,x1=0.736027993 k=7,x0=0.736027993,x1=0.735674699 k=8,x0=0.735674699,x1=0.735543758 k=9,x0=0.735543758,x1=0.735495216 k=10,x0=0.735495216,x1=0.735477220 k=11,x0=0.735477220,x1=0.735470548 k=12,x0=0.735470548,x1=0.735468074 k=13,x0=0.735468074,x1=0.735467157 >>。。。 以下是程序运行截图： 期末论文 课程名称：数值分析 院系名称：巢湖学院数学系所在班级：11级数本（2）班学生学号：11020170 学生姓名：张秀丽 目录 【题目】：牛顿形式的埃尔米特插值多项式 【摘要】：......................................................... 【关键词】：.......................................................... 【正文】： 一、引言 二、重节点均差与泰勒插值 三、埃尔米特插值典例 四、牛顿形式的埃尔米特插值多项式的一些应用领域 【结束语】：......................................................... 【参考文献】：.......................................................... 牛顿形式的埃尔米特插值多项式 【摘要】：在了解了插值法以后，陆续的又接触和学习到多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值多项式等，但在有些实际问题中，仍需要其它要求，下面又给出有关牛顿的埃尔米特插值的内容。 【关键词】：重节点均差、泰勒插值、泰勒插值多项式、埃尔米特插值。 【正文】： 一、引言 插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘绰将等距节点二次插值应用于天文计算。但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。 在插值法的提出后我们了解了多项式插值；应用各种不同的方法对给定的插值点为求得形如01()...n n P x a a x a x =+++的插值多项式我们得到了线性插值与抛物线插值；把线性插值与抛物线插值推广到一般情形，通过讨论如何构造通过n+1个节点01...n x x x <<<的n 次插值多项式()n L x ，我们定义了n 次插值基函数从而得到了拉格朗日插值多项式：()()n n k k k o L x y l x ==?。利用插值基函数很 容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为重要。但当插值点增减时，计算要全部重新进行，甚为不变，为了计算方便可重新设计一种逐次生成插值多项式的方法，通过一系列的考察与讨论我们利用均差得到了牛顿均差插值多项式001001201()()[,]()[,,]()()...n P x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--++ 101[,...,]()...()n n f x x x x x x ---，随后还涉及了差分形式的牛顿插值公式等。 插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上倒数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式。 二、重节点均差与泰勒插值 先给出一个关于均差的结论。 设01[,],,,...,n n f C a b x x x ?为[,]a b 上的相异节点，则01[,,...,]n f x x x 是其变量的连续函数。 如果[,]a b 上的节点互异，根据均差定义，若1[,]f C a b ?，则有 00'0000 ()()[,]()lim lim x x x x f x f x f x x f x x x -==-. 由此定义重节点均差 《数值分析》课程实验报告 用拉格朗日和牛顿插值法求解函数值 算法名称用拉格朗日和牛顿插值法求函数值 学科专业xxxxx 作者姓名xxxx 作者学号xxxxx 作者班级xxxxxx xxx大学 二〇一五年十二月 《数值分析》课程实验报告 得到的近似值为。 拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。 2.牛顿插值法 在命令窗口输入： x=[ ]; y=[ ]; xt=; [yt,N]=NewtInterp(x,y,xt) z=::2; yz=subs(N,'t',z); figure; plot(z,sqrt(z),'--r',z,yz,'-b') hold on plot(x,y,'marker','+') hold on plot(xt,yt,'marker','o') h=legend('$\sqrt{x}$','牛顿','$(x_k,y_k)$','$x=$'); set(h,'Interpreter','latex') xlabel('x') ylabel('y') 得到结果及图像如下： yt = N = - *t^4 + *t^3 - *t^2 + *t + 得到√的近似值为，插值函数为 N =- *t^4 + *t^3 - *t^2 + *t + ， 其计算精度是相当高的。 Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f(x)的近似函数P(x)，从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。 实际上Lagrange插值法和Newton插值法是同一种方法的两种变形，其构造拟合函数的思路是相同的，而实验中两个实际问题用两种算法计算出结果是相同的。 牛顿插值法 一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 二、实验内容：给定函数 x x f =)(，已知： 414214.1)0.2(=f 449138.1)1.2(=f 483240.1)2.2(=f 516575.1)3.2(=f 549193.1)4.2(=f 三、实验要求： （1）用牛顿插值法求4次Newton 插值多项式在2.15处的值，以此作为函数的近似值)15.2(15.2N ≈。在MATLAB 中用内部函数ezplot 绘制出4次Newton 插值多项式的函数图形。 （2）在MATLAB 中用内部函数ezplot 可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton 插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程： 1、编写主函数。打开Editor 编辑器，输入Newton 插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 （1）在MATLAB命令窗口输入： >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到： y =1.4663 wucha =1.0e-06 * -0.4376 -0.3254 -0.3026 0.0888 0.3385 P = - (4803839603609061*x^4)/2305843009213693952 + (7806239355294329*x^3)/288230376151711744 - (176292469178709*x^2)/1125899906842624 + (1624739243112817*x)/2251799813685248 + 1865116246031207/4503599627370496 （2）在MATLAB命令窗口输入： >> v=[0,6,-1,3]; >> ezplot(P),axis(v),grid >> hold on >> x=0:0.1:6; >> yt=sqrt(x);plot(x,yt,':') >> legend('插值效果','原函数') >> xlabel('X') >> ylabel('Y') >>title('Newton插值与原函数比较') 回车即可得到图像1-1。 实验报告一：实验题目 一、 实验目的 掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。 二、 实验内容 1、编写二分法、牛顿迭代法程序，并使用这两个程序计算 02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 4 10- ，比较两种方法收敛速度。 2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。 3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根cot x =(x 2?1)/2x ，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。 4、用牛顿法求方程f (x )=x 3?11x 2+32x ?28=0的根，精确至8位有效数字。比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。 三、 实验程序 第1题： 02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。 画图函数： function Test1() % f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0 r = 0:0.01:1; y = r + exp(r) - 2 plot(r, y); grid on 二分法程序： 计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4) function [c,num]=bisect(a,b,delta) %Input –a,b 是取值区间范围 % -delta 是允许误差 %Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值 % -num 是迭代次数 ya = a + exp(a) - 2; yb = b + exp(b) - 2; if ya * yb>0 return; end for k=1:100 c=(a+b)/2; yc= c + exp(c) - 2; if abs(yc)<=delta a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if abs(b-a) 计算方法实验 题目： 班级： 学号： 姓名： 目录 计算方法实验 (1) 1 实验目的 (3) 2 实验步骤 (3) 2.1环境配置： (3) 2.2添加头文件 (3) 2.3主要模块 (3) 3 代码 (4) 3.1主程序部分 (4) 3.2多项式方程部分 (4) 3.3核心算法部分 (8) 3.4数据结构部分 (13) 4运行结果 (19) 4.1拉格朗日插值法运行结果 (19) 4.2牛顿插值法运行结果 (20) 4.3多项式拟合运行结果 (20) 5总结 (21) 拉格朗日插值法 (21) 牛顿插值法 (21) 多项式拟合 (21) 6参考资料 (22) 1 实验目的 1.通过编程对拉格朗日插值法、牛顿插值法以及多项式拟合数据的理解 2.观察上述方法的计算稳定性和求解精度并比较各种方法利弊 2 实验步骤 2.1环境配置： VS2013，C++控制台程序 2.2添加头文件 #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "stdafx.h" 2.3主要模块 程序一共分成三层，最底层是数据结构部分，负责存储数据，第二层是交互部分，即多项式方程部分，负责输入输出获得数据，最上层是核心的算法部分，负责处理已获得的数据。具体功能如下： ●数据结构部分 数据结构部分是整个程序的最底层，负责存储部分。因方程系数作为数据元素插入和删除操作较少，而顺序表空间利用率大且查看方便，故此程序选用顺序表保存系数。数据结构文件中写的是有关顺序表的所有基本操作以供其他文件调用。本次实验使用列主元高斯消元法作为求解方程组的方法，所以也用了二维顺序表存储数组。综上，数据结构部分文件是前两个试验的文件内容和，稍作修改。 ●常系数微分方程部分 多项式方程部分是程序的第二层，内容主要是常系数微分方程导数的计算和显示菜单部分。 ●算法部分 算法部分分为两个文件，一个是插值部分，一个是拟合部分。 插值部分文件负责有关插值的核心算法，处于整个程序最上层部分，负责拉格朗日插值法和牛顿插值法的具体实现过程。调用方程文件的函数，将获得的数据进行处理运算，将结果返回给方程主函数和输出的第二层。每种方法有两个函数，一个为仅仅实现一次插值的算法，另一个是和方程部分联系的 实验一报告 拉格朗日插值法 一、实验目的 1、学习和掌握拉格朗日插值多项式 2、运用拉格朗日插值多项式进行计算 二、实验原理 根据x0,x1,…xn；y0,y1,…yn构造插值多项式其表达式为： 将插值点x代入上式，就可得到函数f(x)在点x处的函数值的近似值。 三、运行结果 四、代码 using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; namespace ConsoleApplication3 { class Program { static double lglr(double[] x, double[] y, double x1, int n) { double result = 0.0; for (int i = 0; i continue; temp = temp * (x1 - x[j]); temp = temp / (x[i] - x[j]); } result = result + temp; } return result; } static void Main(string[] args) { double[] x; double[] y; Console.WriteLine("请输入插值点数："); int length = Convert.ToInt32(Console.ReadLine()); x = new double[length]; y = new double[length]; for (int i = 0; i < length; i++) { Console.Write("请输入第{0}个点的x值：", i + 1); x[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.Write("请输入第{0}个点的y值：", i + 1); y[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); } Console.WriteLine("请输入x1值："); double x1 = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); double result=lglr(x,y,x1,length); Console.Write("插值计算结果为：{0}：", result); Console.ReadLine(); } 牛顿插值法 一、实验目的 体会并了解牛顿插值法，用计算机插入x值，输出相应的y值。 二、实验原理 根据x0,x1,…x n；y0,y1,…y n构造插值多项式Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+… +f(x0,x1,…xn)(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)牛顿差值公式中各项的系数就是函f(x)的各阶均差（差商）f(x0)，f(x0,x1)，f(x0,x1,…xn)，因此，在构造牛顿差值公式时，常常先把均差列成一个表，此表称为均差表。 三、运行结果插值法数值上机实验报告
数值分析——二分法和牛顿法
数值分析实验报告记录
牛顿插值法试验报告
Newton插值多项式的C程序实例
数值分析实验报告-插值、三次样条(教育教学)
对拉格朗日插值法与牛顿插值法的学习和比较
数值分析3 牛顿迭代法
牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法
matlab(迭代法-牛顿插值)Word版
牛顿形式的埃尔米特插值多项式
数值分析课程实验报告-拉格朗日和牛顿插值法
牛顿插值法实验报告
数值分析求解非线性方程根的二分法,简单迭代法和牛顿迭代法
计算方法上机作业插值与拟合实验报告
数值分析实验报告：拉格朗日插值法和牛顿插值法