2011届高三数学模拟试题 (理科)

2011届高三数学模拟试题（理科） 满分：150分 时间：120分钟

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{0,1,2,3},{|2,}A B x x a a A ===∈集合，则

（ ）

A ．A

B A = B ．A B A ù

C ．A B B =

D ．A B A ?

2．命题p ：若0,a b a b ?<

则与的夹角为钝角，

命题q ：定义域为R 的函数()(,0)(0,)f x -∞+∞在及上都是增函数，则()(,)f x -∞+∞在 上是增函数下列说法正确的是 （ ） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题

C ．

p ?为假命题

D ．

q ?为假命题

3．函数sin (3sin 4cos )()y x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对（M ，T ）为 （ ）

A ．(5,)π

B ．(4,)π

C ．(1,2)π-

D ．(4,2)π

4．“1a =-”是“直线2

60a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，

若120,C c ==

，则（ ）

A ．45

B > B ．45A >

C ．b a >

D ．b a <

6．定义在区间(0,)a 上的函数

2

()2x

x f x =有反函数，则a 最大为 （ ）

A ．2ln 2

B ．ln 22

C ．1

2 D ．2

7．已知22

(,)(3)1P x y x y +-=是圆上的动点，定点A （2，0），B （—2，0），则PA PB

? 的最大值为

（ ）

A ．4

B ．0

C ．—12

D ．12

8．如图，在1,3ABC AN NC

?=

中，P 是BN 上的一点， 若211AP mAB AC

=+

，则实数m 的值为（ ）

A ．911

B ．511

C ．311

D ．211

9．设二次函数2

()4()f x ax x c x R =-+∈的值域为19[0,),19c a +∞+

++则

的最大值为

（ ）

A ．3125

B ．3833

C ．65

D ．3126

10．有下列数组排成一排：

121321432114321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),112123123452345

如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：

121321132154321,,,,,,,,,,,,,,,112123423412345

则此数列中的第2011项是

（ ）

A ．757

B ．658

C ．559

D ．4

60

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

11．已知点22

22(0,),1(0)

x y A b B a b a b +=>>为椭圆的左准线与x 轴的交点，若线段AB

的中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为 。

12．已知实数

50,0,23x y x y x y x y

x -+≥??

+≥=+??≤?

满足则z 的最小值是 。

13．奇函数()f x 满足对任意(2)(2)0,(1)x R

f x f x f ∈++-==都有且，

则(2010)(2011)

(f f

f ++的值为 。

14．已知等比数列{}n a 的各项都为正数，且当

24243,10,n

n n a a -≥?=时则数列

2

31

1234l g ,2l g ,2l g

,2l g ,,2l g ,n n n a a a a a n S - 的前项和等于 。

15．对于连续函数()(),|()()|f x g x f x g x -和函数在闭区间[,]a b 上的最大值称为

()()f x g x 与在闭区间[,]a b 上的“绝对差”，记为

((),())

a x b

f x

g x ≤≤?，则

2

14

12(

,)19x x x x ≤≤?-+= 。

三、解答题;本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，向量

12(1sin ,),(cos 2,2sin ),//7p A q A A p q

=-=

且。

（I ）求sin A 的值；

（II ）若2,b ABC =?的面积为3，求a 。

17．（12分）

已知

422

1()log (1)()1mx

f x x x R x +=+-

∈+是偶函数。

（I ）求实常数m 的值，并给出函数()f x 的单调区间（不要求证明）； （II ）k 为实常数，解关于x 的不等式：()(|31|).f x k f x +>+

18．（12分）

在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA ）的变化情况来决定买入或卖出股票。股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA 均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系

xoy ，则股价y （元）

和时间x 的关系在ABC 段可近拟地用解析式sin()(0)y a x b ω??π=++<<来描述，从C 点走到今天的D 点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D 点和C 点正好关于直线:34l x =对称，老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE 段与ABC 段关于直线l 对称，EF 段是股价延续DE 段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F 。

现在老张决定取点(0,22),A 点B （12，19），点D （44，16）来确定解析式中的常

数,,,a b ω?，并且已经求得

.

72π

ω=

（I ）请你帮老张算出,,a b ?，并回答股价什么时候见顶（即求F 点的横坐标） （II ）老张如能在今天以D 点处的价格买入该股票5 000股，到见顶处F 点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

19．（12分）

已知双曲线

22

1x y -=的左、右顶点分别为A1、A2，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,).P x y P x y

（I ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；

（II ）记直线11122212,,P A k P A k k k ?的斜率为直线的斜率为那么是定值吗？证明你的结

论。

20．（13分）

已知数列

1*

11{}7,328.()n n n n a a a a n n N -+==+-∈满足 （I ）李四同学欲求{}n a 的通项公式，他想，如能找到一个函数

1

()2n f n A B n C -=?+?+ （A 、B 、C 是常数），把递推关系变成1(1)3[()]n n a f n a f n +-+=-后，就容易求出 {}

n a 的通项了，请问：他设想的

()?{}n f n a 存在吗的通项公式是什么？

（II ）记2*

123,23n n n n S a a a a S n p n N =++++->?∈ 若不等式对任意都成立，

求实数p 的取值范围。

21．（14分）

已知函数

211

()ln().

22f x ax x ax =++-(,0)a a >为常数 （I ）若

1

2

x =

是函数

()f x 的一个极值点，求a 的值； （II ）求证：当1

02,()2a f x <≤∞时在[,+)

上是增函数；

（III ）若对任意的(1,2),a ∈总存在2001

[,1],()(1)

2x f x m a ∈>-使不等式成立，求实

数m 的取值范围。

参考答案

11.

12. 3- 13. 9- 14. 1(1)2n

n +-

15. 139

16. （Ⅰ）//p q 12cos 2(1sin )2sin 7A A A

∴=-?，

26(12sin )7sin (1sin )A A A ∴-=-，25sin

7sin 60A A +-=，

3

sin . (sin 2)

5A A ∴==-舍

6分 （Ⅱ）由1

sin 3,2

2ABC S bc A b ?===，得5c =， 又

4

cos 5A ==±

，

2222cos 425225cos 2920cos a b c bc A A A ∴=+-=+-??=-， 当

4

cos 5A =

时，2

13, a a = 10分 当4

cos 5A =-

时，2

45, a a == 12分

17.（Ⅰ）()f x 是偶函数, ()()f x f x ∴-=, 44

22

2211log (1)log (1)11mx mx x x x x -+∴+-

=+-++,

0mx ∴=,0m ∴=. 2分 4221

()log (1)1f x x x ∴=+-

+,()f x 的递增区间为[0,)+∞，递减区间为(,0]-∞.

4分

（Ⅱ）()f x 是偶函数 ,()()

f x k f x k ∴+=+,

不等式即

()(31)

f x k f x +>+,由于()f x 在[0,)+∞上是增函数,

31x k x ∴+>+, 2222961

x kx k x x ∴++>++,

即

22

8(62)(1)0x k x k +-+-<, ∴

11

()()024k k x x -+-

+<, 7分

1131()244k k k -+---=

,

1

3k ∴=

时，不等式解集为Φ；

13k >

时，不等式解集为11

(,)

42k k +--；

13k <

时，不等式解集为11

(,)

24k k -+-. 12分

18. （Ⅰ）,C D 关于直线l 对称C ∴点坐标为(23444, 16)?-即(24, 16)，

把A 、B 、C 的坐标代入解析式，得

22s i n 19s i n ()616s i n ()3a b a b

a b ?π?π??

?=+?

?

=++??

?

=++??①②③

②-①，得

[s i n ()

s i n ]

3

6a π

??+-=-，

③-①，得

[s i n ()

s i n ]

6

3a π

??+-=-，

2sin()2sin sin()sin 63ππ

????

∴+-=+-，

3

cos in sin 22????∴=

+，

3(1(1)sin 2???∴==-，

tan ?∴=，0?π<<

566ππ

?π∴=-=

， 代入②，得 19b =， 再由①，得 6a =， 6,

19a b ∴==，56π

?=

. 7分

于是，ABC 段的解析式为

56sin(

)1972

6y x π

π

=+

+,

由对称性得，DEF 段的解析式为

56sin[

(68)]1972

6y x π

π

=-+

+，

5(68),72

62F x π

ππ

∴

-+

= 解得 92F x =，

∴当92x =时，股价见顶. 10分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

61925F y =+= ，

故这次操作老张能赚5000(2516)45 000?-=元. 12分

19. （Ⅰ）l 与圆相切

,

1∴=

221m k ∴=+ ………… ①

由221y kx m

x y =+??-=? , 得

222(1)2(1)0k x mkx m ---+=,

22222222

1221044(1)(1)4(1)8010

1k m k k m m k m x x k ??-≠??

∴?=+-+=+-=>??+??=

21,k ∴<11k ∴-<<,故k 的取值范围为(1,1)-.

由于

122122

22111mk x x x x k k

k +=

∴-===---，

201k ≤< ∴当20k =时，21x x -

取最小值 6分

（Ⅱ）由已知可得

12,A A 的坐标分别为(1,0),(1,0)-，

12

1212,11y y k k x x ∴=

=+-，

121212(1)(1)y y k k x x ∴?=

+-1

212()()

(1)(1)kx m kx m x x ++=+-

2212121221()()1k x x mk x x m x x x x +++=+-

-22

2

2212m mk

k mk m +?-?+=

22222222=

22

=，

由①，得 2

2

1m k -=，

12(3k k ∴?=

=-+为定值. 12分

20. （Ⅰ）1(1)3[()]n n a f n a f n +-+=-

13(1)3()n n a a f n f n +∴=++-,

所以只需

1(1)3()28n f n f n n -+-=-, 1(1)3()22(2)n f n f n A Bn B C -+-=-?-+- ,

1,28,20A B B C ∴-=-=--=,

1,4,2A B C ∴=-==.故李四设想的()f n 存在，1()242n f n n -=-++.

1111()3[(1)]3(75)23n n n n a f n a f ---∴-=-=-=?,

123()n n a f n -∴=?+=112322(21).n n n --?-++ 5分

（Ⅱ）

211

2(1333)(122)n n n S --=++++-+++ 22[35(21)]3224.n n n n n +++++=-++ 22324n n n S n n ∴-=-+, 7分

由223n

n

S n p ->?，得 32424133n n n

n n n n p -+-<=-. 设3243n n n n n b -+=

，则

11124(1)241133n n n n n n n n b b +++-+--=--+1128424(21)

33n n n n n n ++-+--==

,

当6n ≥时，

2

2123222222(11)1n n n n n n n n C C C C --------=+≥+++++

(2)(3)

2(12)222(3)4821

2n n n n n n n --≥+-+

≥-+-=->-,（用数学归纳法证也行）

6n ∴≥时， 1n n b b +>. 容易验证 ,15n ≤≤时,|1n n b b +<,

min

()n p b ∴<6689

729b ==

,

p ∴的取值范围为

689

(,

)

729-∞. 13分

21.221

2()22()211122a ax x a

a f x x a ax ax --'=+-=

++.

（Ⅰ）由已知，得 1()02f '=且22

02a a -≠，

220a a ∴--=，0a > ，2a ∴=.

2分

（Ⅱ）当02a <≤时，22212(2)(1)0

2222a a a a a a a a ----+-==≤ , 212

22a a -∴≥,

∴当12x ≥时，220

2a x a --≥.又201ax ax >+，

()0f x '∴≥，故()f x 在1

[, )

2+∞上是增函数. 5分

（Ⅲ）(1, 2)a ∈时，由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]

2上的最大值为11

(1)ln()122f a a =++-，

于是问题等价于：对任意的(1, 2)a ∈，

不等式211

ln()1(1)022a a m a ++-+->恒成立. 记211

()ln()1(1)

22g a a a m a =++-+-，（12a <<） 则

1()12[2(12)]11a g a ma ma m a a '=

-+=--++， 当0m =时，

()01a

g a a -'=

<+，()g a ∴在区间(1, 2)上递减，此时，()(1)0g a g <=，

由于2

10a ->，0m ∴≤时不可能使()0g a >恒成立，故必有0m >,

21()[(1)]12ma g a a a m '∴=

--+.

若1112m ->，可知()g a 在区间1(1, min{2, 1})

2m -上递减，

在此区间上，有()(1)0g a g <=，与()0g a >恒成立矛盾，

故1

11

2m -≤，这时，()0g a '>，()g a 在(1, 2)上递增，

恒有

()(1)0

g a g

>=，满足题设要求，

1

11

2

m

m

>

?

?

∴?

-≤

??

，即

1

4

m≥

，

所以，实数m的取值范围为

1

[,)

4

+∞

. 14分