Newton插值多项式的C程序实例

附录

（一）等距结点的Newton 插值法的程序算法步骤

步骤 按照差分公式，求差分.然后利用Newton 前插公式或Newton 后插公式并把数值带入.即可以求得n 次多项式. 它在计算机上的应用步骤如下：

步骤1 输入所要求的牛顿多项式的次数n ，步长h ，并依次输入1+n 个节点

),(i i y x .

步骤2 求得各界差分

步骤3 代入牛顿插值公式,可计算得出结果

（二）等距节点下Newton 插值的实例

例题1 已知的值列表如下：

近似计算325.1tan ,305.1tan . 解：

采用Newton 向后插公式.为此，做差分表

).2)(1(!

30016

.0)1(!20128.01690.00723.4)(3+++++

+=t t t t t t x p 将5.001

.033

.1325.1-=-=

t 代入上式，得

tan1.325≈P 3 1.325 =3.9861

将5.201

.033

.1305.1-=-=t 上式中可以得到

tan1.305≈P 3 1.305 =3.6733

C程序如下：

#include

void main()

{

float x[11],y[11][11],xx,temp,newton,t,h;

int i,j,n;

printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");

scanf("%f",&xx);

printf("请输入插值的次数(n<11):n=");

scanf("%d",&n);

printf("步长:\n请输入要运算的值:h=");

scanf("%f",&h);

printf("请输入%d组值:\n",n+1);

for(i=0;i

{

printf("x%d=",i);

scanf("%f",&x[i]);

printf("y%d=",i);

scanf("%f",&y[0][i]);

}

t=(xx-x[n])/h;

//计算各阶差分

printf("--------------------------\n");

printf("各阶差分分别为：\n");

for(i=1;i

for(j=i;j

{

y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1]); printf("%f\n",y[i][j]);

}

//利用牛顿插值公式，计算结果

temp=1;

newton=y[0][n];

for(i=1;i

{

temp=temp*((t+i-1)/i);

newton=newton+y[i][n]*temp;

}

printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton); }

运行结果如下所示：

试利用插值公式求)3.0(f的值.

解：

差分表如下：

分析首先我们可以通过程序求出差分表：

从而，有

p5(x)=1.0+(?0.181269)t+0.032858t(t?1)/2!+?+(?0.000191)t(t

?1)(t?2)(t?3)(t?4)/5!

将t=(0.3?0)/0.2代入上式，得

)3.0(f≈p5x=0.740818

利用C语言程序步骤如下:

首先输入所求插值的次数5和步长0.2.然后输入各个节点，并输入所要求的点0.3既可以求出该点的函数值.

#include

void main()

{

float x[11],y[11][11],xx,temp,newton,t,h;

int i,j,n;

printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");

scanf("%f",&xx);

printf("请输入插值的次数(n<11):n=");

scanf("%d",&n);

printf("步长:\n请输入要运算的值:h=");

scanf("%f",&h);

printf("请输入%d组值:\n",n+1);

for(i=0;i

{

printf("x%d=",i);

scanf("%f",&x[i]);

printf("y%d=",i);

scanf("%f",&y[0][i]);

}

t=(xx-x[0])/h;

printf("--------------------------\n");

printf("各阶差分分别为：\n");

for(i=1;i

for(j=0;j<=n-i;j++)

{

y[i][j]=(y[i-1][j+1]-y[i-1][j]);

printf("%f\n",y[i][j]);

}

temp=1;

newton=y[0][0];

for(i=1;i

{

temp=temp*((t-i+1)/i);

newton=newton+y[i][0]*temp;

}

printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);

}

运行结果：

（三）总结

由以上例子我们看到例1用了牛顿后插公式，例2用了牛顿前插公式，我们该怎样选取.这个经过验证得出，如果所要求的点较靠近节点x0，则采用前插公式；如果靠近x n，则采用牛顿后插公式.