常微分方程课程教学大纲知识分享
常微分方程课程教学
大纲
常微分方程课程教学大纲
英文名称：Ordinary differential equation 课程类
型：
专业基础课
理论学时：64实验学
时：
学分： 4 开课学
期：
第3学期
适用对象：数学与应用数学专业本科生考核方
式：
考试
先修课
程：
数学分析、高等代数与解析几何
一、课程简介
常微分方程是数学系本科生的必修课.通过本课程的学习，利用数学分析、高等代数的一些工具，牢固掌握微分方程学科最基本的内容，如一阶常微分方程、高阶微分方程与线性微分方程组的基本理论与解法，初步掌握其在实际问题中的应用及微分方程定性和稳定性理论的基本概念和重要结果，一般了解一阶线性偏微分方程.
二、课程教学目标
本门课程的主要任务是：通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力；使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础.
三、教学内容及要求
第一章绪论
主要内容：
1、常微分方程基本概念;
2、导出微分方程的实例;
3、微分方程的几何意义。
基本要求和教学重点：
1、了解常微分方程的基本概念；
2、领会常微分方程所讨论问题的基本内容；
3、了解常微分方程的实际背景及应用。
第二章初等积分法
主要内容：
1、变量分离方程；
2、齐次方程；
3、一阶线性方程与常数变易法；
4、全微分方程与积分因子；
5、一阶隐式微分方程。
基本要求和教学重点：
1、熟练地掌握一阶方程各种类型的初等解法.
2、学会根据所给方程的特点，引进适当的变换，增强解题能力；
3、能够合理的处理某些一阶微分方程的求解问题。
第三章一阶微分方程的解的存在定理主要内容：
1、解的存在性与唯一性定理
2、解的延拓
3、解对初值和参数的连续依赖性
4、解对初值和参数的可微性
基本要求和教学重点：
1、熟悉和理解定理证明方法；
2、掌握逐步逼近法。
第四章高阶线性微分方程
主要内容：
1、高阶线性微分方程的一般理论；
2、高阶常系数线性齐次方程的解法；
3、高阶常系数线性非齐次方程的解法；
4、变系数线性微分方程。
5、幂级数解法
基本要求和教学重点：
1、理解和掌握关于线性方程解的基本性质；
2、掌握求一般非齐次线性方程特解的常数变易法；
3、掌握关于常系数齐次线性方程基本解组的特征根法；
4、掌握常系数非齐次线性方程解的待定系数法；
5、掌握一般二阶齐次线性方程的特解的幂级数解法。
第五章线性微分方程组
主要内容：
1、一阶线性微分方程组的一般概念；
2、一阶线性齐次方程组的一般理论；
3、一阶线性非齐次方程组的一般理论；
4、常系数线性微分方程组的解法。
基本要求和教学重点：
1、理解线性微分方程组解的存在唯一性定理；
2、熟悉和掌握逐步逼近法，掌握线性微分方程组所有解的代数结构；
3、掌握齐次线性微分方程组的基解矩阵概念及非齐次线性方程组的常数变易法；
4、对于常系数线性方程组，能利用矩阵指数给的基解矩阵的一般形式，能够计算。
第六章定性与稳定性理论
主要内容：
1、二维自治系统与相平面；
2、初等奇点附近的轨线分布；
3、极限环；
4、稳定性理论初步。
基本要求和教学重点：
1、了解方程曲线趋势；
2、熟练掌握定性稳定性判别方法。
四、各教学环节学时分配
五、课程考核
1、考核形式：本课程采用闭卷笔试；
2、成绩构成：总成绩=平时成绩10%+期中成绩20%+期末成绩70%。
六、推荐教材和教学主要参考书
推荐教材：
1、《常微分方程》（第二版），东北师大微分方程教研室，高等教育出版社（2005）；
2、《常微分方程》（第二版），王高雄等，高等教育出版社（2006）。
参考资料：
1、《常微分方程讲义》王柔怀，伍卓群，北京：人民教育出版社（1963）；
2、《常微分方程讲义》（第2版）叶彦谦，北京：人民教育出版社（1982）。
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
商品学教学大纲
一、课程性质与定位 本课程是一门介绍商品学的通用课课程。适用于会计专业，属于B类课程。本课程定位于介绍商品学的通用课课程，同时也是理论性与实践性均较强的一门综合性课程，教学中要求理论必须与实践密切结合。 二、课程教学目标与任务 通过本课程的学习，使学生初步掌握商品学的基础理论、基本知识和基本技能，为学好各门专业课以及从事经营管理工作奠定基础。 三、先修及后续课程 无 四、教学内容与要求 第1章绪论 教学内容：商品概述；商品学的研究对象与内容。 基本要求：掌握商品的概念、商品的价值、商品的使用价值；熟悉商品学的研究对象与内容。 第2章商品质量 教学内容：商品质量的概述；商品质量的基本要求；影响商品质量的因素；商品质量管理。 基本要求：掌握商品质量的概念与构成、商品质量的基本要求；熟悉影响商品质量的因素、商品质量管理。 第3章商品分类 教学内容：商品分类概述；商品分类的方法；商品分类标志；商品目录。 基本要求：掌握商品分类的概念和标志、商品分类的方法和体系；熟悉商品编码和商品目录。 第4章商品代码 教学内容：商品代码概述；商品条码的编制方法；商品条码；物流条码。 基本要求：掌握商品条码和物流条码及其代码结构；熟悉商品编码。 第5章商品属性 教学内容：商品的基本属性；食品商品的质量属性；纺织品商品的质量属性；日用工业品商品的质量属性。 基本要求：掌握商品的种类和质量属性；熟悉主要商品的成分、结构和性质。 第6章商品标准 教学内容：标准；标准化；商品标准。 基本要求：掌握商品标准及其作用、质量体系认证和环境管理体系认证；熟悉内容：商品标准的概念、商品标准的制定、修订和贯彻，商品质量监督的种类、形式和管理体制。 第7章商品认证 教学内容：认证认可概述；认证证书和认证标志；认证认可机构及其标志。 基本要求：掌握商品认可、认证证书和认证标志；熟悉认可机构及其标志。 第8章商品检验 教学内容：商品检验概述；商品检验的方法；商品品级；商品质量监督。 基本要求：掌握商品检验的内容、商品检验的主要依据、商品检验的方法；熟悉商品检验的形式。
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
(完整版)常微分方程的大致知识点
= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m
常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
本科-商品包装学教学大纲
附件1 XX学院 教学大纲 课程编号： XX 课程名称：商品包装学 课程性质：专业教育选修课 适用专业：物流管理 课程负责人： XX 制（修）订时间： XX年X月X日 专业负责人审核： XX 专业建设委员会审核： X年 X月
《商品包装学》教学大纲 课程代码：XX适用专业：物流管理 适用学期：第七学期执笔人： XX 学时： 18 制（修）订时间： X年X月 一、课程定位 （一）课程性质 《商品包装学》是物流管理专业的专业选修课程，同时也是理论性与实践性均较强的一门综合性课程，教学中要求理论必须与实践密切结合。商品包装学是以商品为核心的系统工程，它涉及到商品科学、商品包装材料和容器、商品包装技术方法、标准法规及质量控制等技术问题，商品包装学这门课就是对这些问题的简要阐述。 （二）课程在人才培养过程中的作用 《商品包装学》课程在物流管理专业人才培养方案中设计在第六学期进行，本课程通过对物流包装的学习和演练，是专业课程学习的重要一环。课程开发遵循“设计导向”的现代教育指导思想，课程的目标是能力开发，课程教学内容的取舍和内容排序遵循职业性原则，课程实施行动导向的教学模式，为了行动而学习，通过行动来学习。课程本着就业导向，能力本位，以学生为主体，多元智力的学生观，建构主义的学习观和教学观，树立终生学习的理念，突出课程的实践性和开放性。通过讲授法、案例教学等多样化的教学过程，按照以就业为导向、能力为本位、学生为主体的教育理念，以培养符合实际需要的应用型人才为原则，教学组织以技能为为目标，加强学生专业能力、方法能力和社会能力的培养，达到促进学生专业综合素质的提升的目的，真正培养专业与专长合格的高素质技术技能人才。 （三）本课程与其他课程的关系
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020
常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
常微分方程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲 课程代码： 090131009 课程英文名称：Ordinary Differential Equations 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识，掌握普通的线性微分方程的求解办法，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础，同时，使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。 2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法；求矩阵指数，求解常系数线性微分方程组；非线性微分方程的稳定性、V函数方法。 2.基本理论和方法：掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论，并能应用到具体的证明题中。了解非线性微分方程的基本理论，会对稳定性等做出讨论。培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；对微分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。 3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。 （三）实施说明 1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2．教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。 （五）对习题课、实践环节的要求 1. 至少两章安排一次习题课，总学时在6学时左右。 2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。
课程教学大纲淘宝运营.doc
《淘宝运营》教学大纲 课程名称：淘宝运营适用专业：电子商务 学时：192 其中：理论学时：128 实验（实践）学时：64 一、课程性质、任务和基本要求 （一）课程性质 本课程的目的是让淘宝新手卖家快速掌握淘宝店铺装修基本技能、了解如何在完成淘宝商品的发布、淘宝页面的设置以及淘宝商品的分类等，使其能够在淘宝后台中完成淘宝店铺的基本装修。本课程将用直观的图片与简练的讲解使卖家迅速掌握店铺装修技能，使其店铺吸引更多客源。本课程共分为淘宝用户开店的认证、商品的发布、店铺的布局、色彩以及宝贝的分类管理、运营、客服等实际操作。 （二）课程任务 （1）让学生对目前的电子商务大背景有深刻的了解，坚定学生对电商未来的坚定信念。（2）让学生对淘宝与天猫有基础的了解。（3）让学生掌握淘宝开店的过程和步骤。（4）让学生能够有逻辑性地分析市场并对店铺进行定位。（5）让学生能对淘宝店铺日常运营进行基本的管理。（6）让学生对淘宝店铺的营销推广工具有着基本的认识。（7）让学生有能力使用至少一种网络营销工具为店铺进行营销推广。 （三）基本要求 1.网店设计合理，要仔细考虑网店定位； 2.要求实现网店的常规功能，能够进行正常的经营； 3.要求进行店铺的设置与美化； 4.要求对商品图片的拍摄与处理，并进行商品上架； 5.网店与网页风格应该协调一致，网店结构应层次分明，内容重点突出； 6.突出网店主题、内容丰富； 7.经营过程中遇到的问题能有效解决； 8.网店经营中要能为顾客提供良好地服务； 9.网店能高效推广； 10.要求提交一个能够运营的网店地址。
二、课程教学目标 1、知识目标 通过学习，使学生掌握淘宝开店的具体流程以及相关安全知识，相关法律法规基本知识、支付宝，千牛的运用原则、淘宝店铺装修、店铺运营、店铺推广以及店铺中客服服务等。 2、能力目标 通过学习，使学生掌握淘宝相关行业具体要求并掌握其开店、装修、运营、推广基本流程；能够对自己店铺进行合理、大气美观的装修、能够对店铺进行运营推广；掌握淘宝金牌客服服务技巧，达到独立上岗服务水平。 3、素质目标 通过该课程的学习，使学生逐步具备淘宝客服、淘宝店长等各项基础素质要求，规范的操作习惯，良好的职业行为，团结协作的精神，亲和的沟通能力等。 三、课程学时分配
2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考
习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du
偏微分方程课程教学大纲
《概率论与数理统计选讲》课程教学大纲 适用专业：数学与应用数学 执笔： 审定： 批准执行： 南京财经大学应用数学系
《概率论与数理统计选讲》教学大纲 课程代码：120012 英文名：Selected Topics in Probability and Mathematical Statistics 课程类别：专业限定选修课 适用专业：数学与应用数学 前置课：数学分析，高等代数，概率论，数理统计，常微分方程 学分：3学分 课时：54课时 主讲老师：万树文等 选定教材：茆诗松等，概率论与数理统计教程（第二版） 北京：高等教育出版社，2011 课程概述： 《概率论与数理统计选讲》课程主要是针对数学与应用数学专业的重要专业课概率论和数理统计进行全面复习。复习的主要内容有随机事件和概率，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，大数定律与中心极限定理，统计量及其分布，参数估计，假设检验等。 教学目的： 通过本课程的学习，使学生进一步了解概率论与数理统计的基本原理和方法，强化学生解决问题的能力，更熟练地掌握概率论与数理统计各种问题的解决，为学生的考研和深造提供帮助。 教学方法： 以课堂讲述为主，适当辅以多媒体教学，安排课堂讨论和习题课，课后学生做练习题。
每讲教学要求及教学要点 第一讲概率的定义与性质 课时分配：3课时 教学要求： 掌握概率的不同定义与计算 教学内容： 概率的公理化定义，古典概型，几何概型以及相关计算 第二讲概率的基本公式与计算 课时分配：3课时 教学要求： 掌握概率论的一些基本公式与计算 教学内容： 概率的加法公式，概率的乘法公式，条件概率，事件之间的关系和运算 第三讲全概率和贝叶斯公式 课时分配：3课时 教学要求： 掌握全概率和贝叶斯公式 教学内容： 全概率和贝叶斯公式以及相关的不同难度的题型分析 第四讲随机变量的概念与分类 课时分配：3课时 教学要求： 掌握变量的准确定义和分类 教学内容： 变量的定义，变量的分类，变量的概率分布，变量的分布函数与性质
医药商品学教学大纲
山西职工医学院 山西省中医学校教学大纲 课程医药商品学 授课班级 13级药学（3+2）班 授课教师徐珍 授课学期2014-2015学年第二学期
《医药商品学》教学大纲 （供药剂专业用） 一、课程任务 《医药商品学》是中等卫生职业教育药剂专业一门中药的专业方向课程。本课程的主要内容包括药品、保健品和其他医疗用品作为商品的使用价值及流通过程中实现使用价值的规律。本课程的任务是使学生掌握医药商品的经营、管理、质量控制及市场调研的普遍规律、基本原理和一般方法，熟悉医药商品的运输、保管、养护、商标及广告等专业知识；使学生具备处理在流通中各环节业务的基本能力和一定的医药商品经营管理能力，为从事药剂专业药品营销方向的岗位工作奠定良好基础。 二、课程目标 1.掌握医药商品学的基本概念和基本理论； 2.掌握医药商品经营、管理、质量控制及市场调研的普遍规律、基本原理和一般方法； 3.熟悉医药商品的运输、保管、养护、商标和广告等专业知识；； 4.了解医药商品的开发、广告宣传、信息、商标等一般只是； 5.熟练掌握常见医药商品质量控制方法，药品的运输、储存与养护方法，提高药品的管理技能； 6.具有从事药剂工作的应有的良好职业道德，科学工作态度，严谨细致的专业学风。 三、教学时间分配 教学内容 学时数 理论实训合计 一、医药商品学概论 二、医药商品的性质与分类 三、医药商品的质量与管理 四、医药商品的经营 五、医药商品的运输
六、医药商品的储存与养护 七、医药商品的包装 八、医药商品的商标 九、医药商品的广告宣传 十、医药商品的电子商务 十一、医药商品信息 十二、医药商品预测 十三、医药新产品的开发 机动 合计 四、教学内容和要求
常微分方程期末复习提要(1)
常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。 （2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ，
常微分方程解题方法总结.doc
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
最新《海关商品归类学》教学大纲
课程简介 本课程是为高等院校的外经贸，尤其报关与国际货运专业开设的专业课。该课程是适应我国国际贸易发展的急需大量进出口报关人才而开设的，通过该课程的学习，学生能基本了解海关商品归类专业知识，熟悉海关商品归类规则、编码表类别和种类，掌握海关商品归类的技巧，能满足通过报关员资格考试的知识需要，并具有一定报关员岗位适应和操作能力。 课程大纲 一、课程的性质与任务： 本课程是国际贸易实务和报关与国际货运专业的必修课，它属于理论与实务紧密结合的课程，但从培养目标看又更倾向实务课。协调制度是适用于海关税则、海关统计、国际运输、进出口商品检验等多方面需要的国际贸易商品分类目录。本课程是以《商品名称及编码协调制度》为研究对象的专业课。通过教学使学生掌握协调制度商品归类的基础知识和基本技能，正确进行归类是满足报关实际工作的需要。 二、课程的目的与基本要求： 通过本课程的学习，使学生掌握协调制度的组成和结构；各组成部分的地位、特点、作用及相互关系；归类总规则；类注、章注和子目注释；主要类、章的商品范围及归类原则和方法；重点商品的归类基础知识及应归入的商品编码。通过教学使学生掌握协调制度商品归类的基础知识和基本技能，正确进行归类是满足报关实际工作的需要。通过教学使学生掌握协调制度商品归类的基础知识和基本技能，正确进行归类是满足报关实际工作的需要。 教学方法：协调制度分类体系理论性较强，宜采用讲授为主的教学方法；对于协调制度各相关类章所属商品的区别和联系及常见进出口商品归类时易发生混淆和忽视等方面宜配合采用课堂讨论的方式；对于某些篇可采取自学加讲解的方式。结合历年试题进行分析讲解，并通过章节的针对性技巧归类练习来提高学生查询商品编码的水平和参加报关员资格证考试的应试能力 三、面向专业： 报关与国际货运、国际贸易实务 四、本课程与其它课程的联系： 本课程是与国际贸易、国际货运专业知识联系较少，但需要学生基本商品学知识，懂得商品基本性质、构造、用途等知识，只有具备这些有关商品的基本知识才正确对商品进行归类。 五、教学内容安排、要求、学时分配及作业 第1篇进出口商品分类目录（1学时） 1.1《商品名称及编码协调制度》(A) 1.2《中华人民共和国进出口税则》(A) 1.3《进出口商品名称与编码》(C) 本篇小结
常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考
期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解
数学物理方法 课程教学大纲
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
海关商品归类学教学大纲
海关商品归类学教学大 纲 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
课程简介 本课程是为高等院校的外经贸，尤其报关与国际货运专业开设的专业课。该课程是适应我国国际贸易发展的急需大量进出口报关人才而开设的，通过该课程的学习，学生能基本了解海关商品归类专业知识，熟悉海关商品归类规则、编码表类别和种类，掌握海关商品归类的技巧，能满足通过报关员资格考试的知识需要，并具有一定报关员岗位适应和操作能力。 课程大纲 一、课程的性质与任务： 本课程是国际贸易实务和报关与国际货运专业的必修课，它属于理论与实务紧密结合的课程，但从培养目标看又更倾向实务课。协调制度是适用于海关税则、海关统计、国际运输、进出口商品检验等多方面需要的国际贸易商品分类目录。本课程是以《商品名称及编码协调制度》为研究对象的专业课。通过教学使学生掌握协调制度商品归类的基础知识和基本技能，正确进行归类是满足报关实际工作的需要。 二、课程的目的与基本要求： 通过本课程的学习，使学生掌握协调制度的组成和结构；各组成部分的地位、特点、作用及相互关系；归类总规则；类注、章注和子目注释；主要类、章的商品范围及归类原则和方法；重点商品的归类基础知识及应归入的商品编码。通过教学使学生掌握协调制度商品归类的基础知识和基本技能，正确进行归类是满足报关实际工作的需要。通过教学使学生掌握协调制度商品归类的基础知识和基本技能，正确进行归类是满足报关实际工作的需要。 教学方法：协调制度分类体系理论性较强，宜采用讲授为主的教学方法；对于协调制度各相关类章所属商品的区别和联系及常见进出口商品归类时易发生混淆和忽视等方面宜配合采用课堂讨论的方式；对于某些篇可采取自学加讲解的方式。结合历年试题进行分析
常微分方程基本知识点
常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。