第10章含有耦合电感的电路-邵阳学院

第10章 含有耦合电感的电路

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§10-1 互感 （复习第6章第2节）

一、自感：一个线圈自身电流的变化引起自身线圈中产生感应电动势的现象。P129 二、互感：邻近线圈中电流的变化引起另一个线圈产生感应电动势的现象。 1.磁耦合：载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象。

⎩⎨

⎧=Φ=ψ→Φ→=Φ=ψ→Φ→12121221211

111111111

i M N i L N i 互感磁通链互感磁通自感磁通链自感磁通施感电流

⎩⎨

⎧=Φ=ψ→Φ→=Φ=ψ→Φ→2

1212112122

222222222 i M N i L N i 互感磁通链互感磁通自感磁通链自感磁通施感电流 M M M ==2112 (两个线圈耦合时的互感系数) ，单位与电感一致。

2．磁通链 自感磁通链 互感磁通链

1

2122212222121112111 i M i L ΨΨΨi M i L ΨΨΨ±=+=±=+=

M 前“+”号表示互感磁通与自感磁通方向一致，称为互感的“增助”作用；“-”号则相反，表示互感的“削弱”作用。

注意：M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关。

三、同名端

1．定义：同名端：在两个耦合的线圈中各取一端子，用“·”或“*”表示，当两个电流 1i 和

2i 从同名端流进（出）各自的线圈时，互感起增助作用。

异名端：在两个耦合的线圈中各取一端子，当两个电流 1i 和 2i 从异名端流进（出）各自的线圈时，互感起削弱作用。

注意：同名端必须两两确定。 2．判定方法 a , 根据实际的绕向；

b , 利用实验方法，根据线圈相对位置变化时，电压的变化情况判断；

c , 电流流同时从同名端流入，M 取正，磁场增加；同时从异名端流入，M 取负，磁场削弱；

例10-1：互感耦合电路中()H M H L H L A t i A i 1 ,3 ,2 ,10cos 5 ,102121=====,求两耦合线圈中的磁通链。

解： 1i 、2i 都是从标记的同名端流进，互感“增助”，则 (); 10cos 15 ; 2022221111W b t i L ΨW b i L Ψ==== (); 10 ; 10cos 5121212W b Mi ΨW b t Mi Ψ====

∴ ()Wb t ΨΨΨ10cos 52012111+=+=

()Wb t ΨΨΨ10cos 151022212+=+=

四、耦合系数

用耦合系数k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度

12

1≤=

L L M k d e f

k=1时，全耦合； k=0时，无耦合

五、耦合电感上电压电流的关系

设 21,L L 中电压和电流 11,i u 和 22,i u 都取关联参考方向，有

21

221222212

112111

1u u dt di M dt di L dt d u u u dt

di M dt di L dt d u ±=±=ψ=±=±=ψ=

11u ，12u ——自感电压

互感电压 dt di

M u 212= 是 2i 在 1L 中产生的互感电压；

互感电压 dt di

M u 121= 是 1i 在 2L 中产生的互感电压。

耦合电感的电压是自感电压和互感电压的线性叠加；

① 如果电感两端电流，电压为非关联参考方向，则自感电压取“-”； ② 如果互感电压的极性，由磁场的增减决定。 例10-2：求例10-1中两耦合电感的端电压 21 ,u u 。

解： ()V t dt di M dt di L u 10sin 5021

1

1-=+=; 互感电压 ()V t dt

di

M dt di L u 10sin 150122

2-=+=; 自感电压 六、耦合电感的等效受控源电路

⎩⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+=+=12222

1111

2222111 I M j I L j U I M j I L j U dt di M dt di L u dt di M dt di L u ωωωω

M M j Z M ωω , = 为互感抗

§10-2 含有耦合电感电路的计算

含有耦合电感电路的正弦稳态分析可采用相量法。在表达式中应计入互感作用引起的互感电压，要根据同名端和电流方向正确判断互感电压。

一、电感串联

1．反串

反向串联，同名端相接，磁场削弱

a .()dt di M L i R dt di M dt

di

L i R u -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11111

()dt di M L i R dt di M dt

di

L i R u -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22222

()()dt

di

M L L i R R u u u 2 212121-+++=+=

0221≥-+=M L L L eq

b .()[]()M L j R Z I Z I M L j R U -+==-+=1111111 , ωω ()[]()M L j R Z I Z I M L j R U -+==-+=2222222 , ωω ;

()[]()()M L L j R R Z I Z I M L L j R R U 2 , 22

1212121-+++==-+++=ωω ; ()Z

U M L L j R R U I =-+++=22121ω

反接，类似于串联电容，常称为互感的“容性 ”效应，但整个电路仍呈感性。 2．顺串

顺向串联，异名端相接，磁场增强

a .()dt di M L i R dt di M dt

di

L i R u ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=11111

()dt di M L i R dt di M dt

di

L i R u ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=22222

()()dt

di

M L L i R R u u u 2 212121++++=+=

M L L L eq 221++=

b .()[]()()M L L j R R Z I Z I M L L j R R U 2 , 22

1212121++++==++++=ωω 例10-3：反接耦合电路中 , 5.12 , 5, 5.7 , 3 , 502211Ω=Ω=Ω=Ω==L R L R V U ωω

Ω=8 M ω, 求耦合系数k 和各支路的复功率 1S 和 2S 。

解：① 826.05

.125.78

2121=⨯==L L M L L M def k ωωω

② ()Ω︒-∠=-=-+= 46.904.35.03111j M L j R Z ω（容性）

()Ω︒∠=+=-+= 4273.65.45222j M L j R Z ω（感性） Ω︒∠=+=+= 57.2694.84821j Z Z Z

令 V U 050︒∠= , 电流 I 为 A Z U I 57.2659.557.2694.8050︒-∠=︒

∠︒∠=

= ∴ ()VA j Z I S 63.1575.93121-== ()VA j Z I S 63.14025.156222+==

电源发出的复功率 ()2

1* 125250 S S VA j I U S +=+== 二、 电感并联

1．同侧并联（同名端连接在同一个结点上）

()()⎪⎩⎪⎨⎧++=++=2

2212

111 I L j R I M j U I M j I L j R U ωωωω (原电路相量关系)

∴ ()[]()[]⎪⎩⎪⎨⎧-++=-++=2

2231

113 I M L j R I M j U I M L j R I M j U ωωωω （去耦等效电路相量关系）

⇒ M L M L L M L L =-='-='322

11 , , (同侧并联替代电感) 2．异侧并联（异名端连接在同一个结点上）

()()⎪⎩

⎪⎨⎧+-=++-=-=-+=22122212

112111 I Z I Z I L j R I M j U I Z I Z I M j I L j R U M M ωωωω (原电路相量关系)

∴ ()[]()[]⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+++-=22231

113 I M L j R I M j U I M L j R I M j U ωωωω（去耦等效电路相量关系）

⇒ M L M L L M L L -=+='+='322

11 , , (异侧并联替代电感) 例10-4：见教材260页例10-4 3．总结

如果耦合电感的两条支路各有一端与第3支路形成一个仅含3条支路的共同结点，则

可用3条无耦合的电感支路等效替代：

M

L M L M L ==±=123)1()2()3(支路支路支路 例10-5：见教材260页例10-5

§10-3 耦合电感的功率

当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从耦合电感一边传输到另一边。

互感电压耦合的复功率为虚部同号，而实部异号，这一特点是耦合电感本身的电磁特性所决定的；耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功率从一个端口进入，必从另一端口输出，这是互感M 非耗能特性的体现。

耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影响、性质是相同的，即，当M 起同向耦合作用时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感中的磁能增加；当M 起反向耦合作用时，它的储能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减少。 例10-6：见教材263页例10-6

§10-4 变压器原理

变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源（一次回路，一次侧，原边回路，初级回路），另一线圈接向负载（二次回路，二次侧，副边回路，次级回路），变压器是利用耦合作用，传递能量。

1.变压器电路

①正弦稳态法分析

()()⎪⎩⎪⎨

⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++0

0 22211

2111222112111I Z I Z U I Z I Z I jX R L j R I M j U I M j I L j R M M L L ωωωω 其中 M j Z jX R L j R Z L j R Z M L L , , 22221111ωωω=+++=+=

解得：22

2

111

2221111

) ( Y M Z U Y Z Z U I M ω+=-= ②结果分析

1) 原边输入阻抗

()222

111

1 Y M Z I U Z i ω+== ← 次级回路在初级回路中的反映阻抗

引入阻抗的性质与22Z 相反，即感性（容性）变容性（感性）。 2) 等效次级回路

22

12 Z I M j I ω-= ()L

eq OC L L eq Z Z U jX R Z U Y M j Y M Z U Y M j I +=++-=+-= 111112

221112 ) ( ωωω 其中， ()112

22 Y M L j R Z eq ωω++= ← （初级在次级的反映阻抗）

1

11 U Y M j U OC ω-= （次级开路电压）

例：见教材267页例10-8

§10-5 理想变压器

1.理想变压器应当满足的3个条件

1) 变压器本身无损耗 2) 全耦合，耦合系数 12

1==

L L M

k 3) 1L ﹑2L 和M 均为无限大，但保持

n L L =21不变，2

1N N

n =为匝数比 2.理想变压器的电压、电流变换。

1)

2211N u N u = ，或 222

11 u n u N N

u == 2) 0 2211=+i N i N 或22121 1

i n i N N i -=-=

3) 0 2211=+i u i u （输入理想变压器的瞬时功率等于零） 以上的变化情况会随参考方向的表示不同而不同。 例：见教材270页例10-9

3. 阻抗变换

副边终端接入阻抗Z L 转换到原边输入阻抗 L Z n Z 211

='

L Z n I U n I n

U n I U Z 22222

2

1111

1=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-=='

邵阳学院电气工程系

教 案 尾 页

1、思考题：

P272 10-5、10-6、10-7 P275 10-12、10-17、10-18

2、参考资料：

3、课后分析（学生反映、经验教训、改进措施）：