最新的初中数学竞赛专项训练(3)及答案

初中数学竞赛专项训练（3）

（方 程）

一、选择题：

1、方程018)8(2=-++-a x a x 有两个整数根，试求整数a 的值 （ ）

A. -8

B. 8

C. 7

D. 9 2、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是 （ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

3、若0x 是一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42

-=?与平方式2

0)2(b ax M +=的大小关系是

（ ） A. △＞M

B. △=M

C. △＜M

D. 不能确定

4、已知ac b 42

-是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个实数根，则ab 的取值范围为

（ ）

A. ab ≥

8

1 B. ab ≤

8

1 C. ab ≥

4

1 D. ab ≤

4

1 5、已知1x 、2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x 的两个实根，则2

2

2

1x x +的最大值是

（ ） A. 19

B. 18

C. 9

55

D. 以上答案都不对

6、已知z y x 、、为三个非负实数，且满足132523=-+=++z y x z y x ，　

，z y x u 73-+=若，则u 的最大值与最小值之和为 （ ）

A. 77

62

-

B. 7764-

C. 77

68-

D. 77

74-

7、若m 、n 都是正实数，方程022

=++n mx x 和方程022

=++m nx x 都有实数根，则m+n 的最小值是 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

8、气象爱好者孔宗明同学在x （x 为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。则x 等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题

1、已知两个方程002

2

=++=++a bx x b ax x 与有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

2、若)(01611016112

2b a b b a a ≠=++=++，　，则

=-b

a

a b ＿＿＿＿＿＿＿

3、已知关于x 的方程012)1(2=-+++n x n x 的两根为整数，则整数n 是＿＿＿＿＿

4、设1x 、2x 是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实数根，且8)1)(1(21=++x x ，则k 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

5、已知a 、b 是方程042

=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582

=+-m x x 的两个根，则m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

6、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22

=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题

1、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数k 的值。

2、设方程012001

2003200222=-?-x x 的较大根是r ，方程01200220012

=+-x x 的较小根是s ，求r －s 的值。

3、确定自然数n 的值，使关于x 的一元二次方程0763510822

2

=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，并求出此两根。

4、已知关于x 的一元二次方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k 的值。

5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时1v 、2v 、3v 、4v 千米，且满足1v ＞2v ＞3

v ＞4v ＞0，其中，水v 为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？

参考答案

一、选择题

1、选B 。原方程变为??

?-=--=-??

?=-=-∴=--1

81

1811)8)((x a x x a x x a x 或，， 解得x=9或7，a ＝8。

2、选C 。原方程有整数解的条件有且只有以下3种：

仅有一个整数解。

为偶数。故原方程此时时。显然仅当或得为偶数。解而③解；

，即原方程有两个整数或，解之得②是方程的一个整数解；

，此时而①23110113111211301032

2

22=+-=-=-=-++-=-+-=-==-+-=≠-+=+x x x x x x x x x x x x x x x x

综上所述知方程的解共有1＋2＋1＝4个。

。

应选。

即的根，所以是 因 、解：令B ,00)(4444)4()(2ax -m d 32002

02202

02220M d c bx ax x c bx ax a ac b b b ax x a ac b b =?==++++=+-++=--+=?

=

4、应选B 。因为方程有实数解，故042

≥-ac b 。由题意有

。

，即的判别式非负，即是其解，所以方程，因为或则得。令或者8

10814020244244242222222

2≤≥--==++=+--=-=----=-+-ab ab ac b u b u au b u au ac

b u a

c b a ac b b ac b a ac b b 5、选B 。由方程有实根，得△≥0，即

18

4)5(19610)53(2)2(2)(5323440)4)(43(0161630)53(4)2(2

22

12222212212

2

2122121222取最大值时，当，得，。又由x x k k k k k k k x x x x x x k k x x k x x k k k k k k k k +-=+-=---=++--=-+=+++=?-=+-≤≤-?≤++?≤++?≥++--

6、选A 。 237)711()37(37113

7132523-=-+-+-=??

??+-=-=???

?=-+=++z z z z u z y z x z y x z y x

由x ≥0，y ≥0得

2117

3232733117730

711037-?≤-≤-??≤≤???

?≥+-≥-z z z z 即11

1

75-≤≤-

u 77

62

)111(7511175-=-+-=+∴-=-=∴最大最小最大最小

，u u u u 7、选B 。因方程有实根，故?????≥-≥-0

440822

m n n m ，因此有m n m 64642

4≥≥，

则46400)64(33≥≥>≥-m m m m m ，，则，因，得m 最小值是4。

又。的最小值为，故的最小值为即，得62282

4n m n n n m n +≥≥≥

8、选C 。设全天下雨a 天，上午晴下午雨b 天，上午雨下午晴c 天，全天晴d 天。由题可得关系式a=0①，

b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d ＝2，故b=4，c=3，于x ＝a+b+c+d=9。 二、填空题

a

x a b x b a x b a x b a a bx x b ax x x x x x =--==++=≠=--=++=++∴321112

1121312110110)1)((001，。解方程得＝ 。代入任一方程可得，故，而 两式相减得，，。、和、为、设两个方程的根分别 2、由已知a 、b 是方程016112

=++x x 的两根。001611<<∴?

??=-=+∴b a ab b a ， ，而

5741

64121414)(41)(4

12±=-±=-+±=-=-=-ab b a b a ab b a b a a b 3、012)1(2

=-+++n x n x 的两根为整数，它的判别式为完全平方式，故可设

2

2

)12(4)1(k n n =--+=?（k 为非负整数），即4)3(2

2

=--k n 满足上式的n 、k 只能是下列情况

之一： ??

?-=---=+-???=--=+-???-=---=+-??

?=--=+-∴2

32

3232343131343k n k n k n k n k n k n k n k n 或或或 解得n ＝1、5。

4、解：由题意得： ①，得2

1

0)2(4])1(2[2

2

2≥≥+-+=?k k k 又2)1(22

2121+=+=+k x x k x x ，

5

21)1(221

)()1)(1(22212121++=++++=+++=++k k k k x x x x x x 所以

由已知得 ②，，解得138522

=-==++k k k k

由①②得k ＝1。

5、解：由已知b 2-4b+m=0 ① b 2-8b+5m=0 ② ①－②得：4b-4m=0 ∴b ＝m ③

将③代入①得：m 2-4m+m=0 ∴m=0或m=3。

6、解：04)2(84)2(4222>+-=+-=--=?a a a a a

∴对于任意实数a ，原方程总有两个实数根。由根与系数的关系得：

863)49(218929)(2)2)(2(2

222

122112212121-

--=-+-=++-=--∴-=-=+a a a x x x x x x x x a x x a x x

∴当a=49

时原式有最大值－8

63

三、解答题

1、解：①当k=0时，x=-1，方程有有理根。

②当k ≠0时，因方程有有理根，所以若k 是整数，则k k 4)1(2--=?＝162

+-k k 必为完全

平方数，即存在非负整数m ，使2

2

16m k k =+-

配方得：8)3)(3(8)3(2

2

=--+-=--m k m k m k

由，其积为是奇偶性相同的整数，与833m k m k --+-所以它们均为偶数，又

m k m k －－＞＋－33，从而有?

?

?-=---=+-???=--=+-432

32343m k m k m k m k 或 ∴k=6或k=0（舍去）

综合①②可知，方程01)1(2

=+--x k kx 有有理根，整数k 的值为k=0或k=6。

2、解：由前一方程得：0200212002120022

22

2

=---x x 即02002

1)200211(2

22=--

-x x 设方程两根为1x 、2x ，且1x ＞2x 由根与系数的关系得：2212212002

1200211-=-=+x x x x 则1x ＝1，2x ＝-2

2002

1

同理由后一方程得：02001

1)200111(2

=++

-x x

设方程两根为'1x 、'2x ，且'1x ＞'2x ，则'1x ＝1，'

2x ＝

2001

1

由上述可知：r=1，s ＝

20011

， 所以r －s ＝1－2001

1

＝20012000

3、解：设方程两根为1x 、2x ，则1x +2x ＝4n －5 ∵4n －5是奇数，即1x +2x 是奇数

∴1x 与2x 必定一奇一偶，而1x 与2x 都是质数。 故必有一个为2，不妨设1x ＝2，则

2×22－（8n －10）×2－(n 2－35n ＋76)＝0

∴n=3或n=16

当n=3时，原方程即2x 2－14x ＋20＝0，此时两根为x 1＝2，x 2＝5 当n=16时，原方程即2x 2－118x ＋228＝0，此时两根为x 1＝2，x 2＝57

4、解：原方程可化为0]6)9][(9)6[(=----x k x k ，因此方程关于x 的一元二次方程，所以6≠k ，

9≠k ，于是 k x -691＝

，k

x -=96

2 从上面两式中消去k ，得：0322121=+-x x x x 于是6)2)(3(21-=-+x x 因为1x 、2x 均为整数，所以??

?----=-----=+12366321263211236321，　，　，　，　，　，　，　

，　，　，　，　，　，　，　

x x

故301245691，　，　，　，　，　，　，　------=x ，显然1x ≠0 又1

119

696x x x k -=-=

，将31245691，　，　，　，　，　，　

------=x 分别代入上式得。，　，　，　，　，　，　3152

21

4335392157=k

5、解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为 441)][(v v v v v v S i i i +=?++-=水　水　（） 各艇追上④号艇的时间为 4

4

444421)()(v v v v v v v v v v v v v t i i i i i i -+

=-+=+-++=

水　水 对1v ＞2v ＞3v ＞4v 有321t t t <<，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。