常微分方程在数学建模中的应用

北方民族大学学士学位论文

论文题目:常微分方程在数学建模中的应用

院(部)名称:信息与计算科学学院

学生姓名:马木沙

专业:信计学号:20093490

指导教师姓名:魏波

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北方民族大学教务处制

摘要

本文利用常微分方程和数学建模二者之间的联系，了解微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、通过几个典型的数学模型如：人口模型、减肥的数学模型、化工车间通风模型、传染病的传播模型及定性分析等例子来体现微分方程在数学建模中的应用. 用数学理论解决实际生活中的问题.微分方程的出现以及运用微分方程在数学建模中的应用，就是为了更好地使更多的人理解并运用数学理论，更好的解决实际生活中的问题.努力在各个领域利用并渗透数学知识的广泛运用.

关键词：常微分方程，数学建模，数学模型

Abstract

In this paper, ordinary differential equations and mathematical modeling contact between the two, understand the general theory of differential equations, stability problems of the existence and uniqueness of differential equations, differential equations, several typical mathematical models such as: demographic model,example of the mathematical model of weight loss, chemical plant ventilation model, spread of infectious diseases, model and qualitative analysis to reflect the application of differential equations in mathematical modeling. found that the application of mathematical theory to study and solve problems in the actual process of the emergence of ordinary differential equations andOrdinary Differential Equations in Mathematical Modeling widely used, in order to better enable ordinary people to understand and use mathematical theory, solving real-world problems. sublimation theory by the knowledge-based transformation to the ability to type, highlight the differential equationsand differential equations in mathematical modeling efforts made outstanding and significant contribution in various fields.

Keywords: ordinary differential equations, mathematical modeling, mathematical model.

目录

第一章绪论 (4)

1.1背景及意义 (4)

1.2本文研究的主要内容 (4)

第二章微分方程的基本理论及稳定性研究 (6)

2.1 微分方程的一般理论 (6)

2.1.1微分方程的一般形式 (6)

2．1．2微分方程解的存在惟一性 (7)

2.2人口模型 (10)

第三章常微分方程在数学建模中的应用 (12)

3.1 减肥的数学模型 (13)

3.2化工车间的通风问题模型 (15)

第四章总结 (17)

参考文献 (18)

致谢 (19)

第一章绪论

1.1背景及意义

常微分方程的发展、形成与许多学科都有着密切的联系，例如几何学、物理学、化学、生物学、经济学甚至电子科技、航天航空等.为数学的分支学科—常微分方程的发展起着深刻而重要的影响，特别是计算机的发展更为常微分方程的应用及理论研究提供有力的工具.数学若想解决实际的许多问题，就要通过观察研究实际对象的特征和内在的关系规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数学模型.而在数学模型求解的问题上，常微分方程是最重要的知识工具.因此继续探讨研究常微分方程在数学建模中的应用依然是有着及其重要的学术价值和及其深刻的现实意义.

目前，已有很多学者对此方面进行了研究，例如，朱美玲在《太远城市职业技术学院报》中简要介绍了常微分方程的发展和数学建模的过程以及常微分方程在数学建模中的一些应用,并对数学建模在数学教学中的地位和作用作了一些展望；王英霞在《才智》2011年12期中介绍常微分方程的发展、数学建模的特点;重点介绍了常微分方程与数学建模相互结合,在不同的领域中的相关的具体例子,总结常微分方程在数学建模中的重要性；赵家林在《中国科教创新导刊》2009年第1期中描述了客观是的数量关系的一种重要数学模型.

数学领域的中心学科常微分方程至今已有近300年的发展历史，为了寻求、解决类似自由落体下落过程中下落距离和时间的函数关系；研究火箭在空中飞行时的飞行轨道等这类实际性的问题，往往就要求我们找到满足某些特定条件的一个或多个未知数方程，为了解决这类实际问题从而产生了微分方程.把含有未知函数及未知函数导数或微分的方程称之为微分方程.微分方程是在处理实际问题的过程中产生的, 微分方程的研究又促进实际问题的解决,同时也促进其他学科的发展.

1.2本文研究的主要内容

本文通过对常微分方程、数学模型、以及常微分方程在数学建模中应用的介绍，如：微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、人口模型、减肥的数学模型、化工车间的通风问题模型等.发现应用数学理论研究解决实际过程中的问题.而一切数学模型的建立和求解，都是为了更好的应用数学理论指导实际生活.常微分方程的出现以及常微分方程在数学建模中的广泛应用，就是为了更好地使普通人理解并利用数学理论，更好的解决实际中的问题.把理论升华为由知识型向能力型转化，突显微分方程以及微分方程在数学建模中的应用，努力在各个领域做出突出重大贡献.

本文共分为四个章节：

第一章，对全文进行概述，介绍了常微分方程在数学建模中的应用的背景和意义、国内外的研究现状以及本文研究的主要内容.

第二章，微分方程的基本理论及稳定性研究.

第三章，常微分方程在数学建模中的应用.

第四章，全文综述、总结.

第二章 微分方程的基本理论及稳定性研究

2.1 微分方程的一般理论

微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用.针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明.一般说来，求微分方程的解析解是困难的，大多数的微分方程需要数值方法来求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在唯一性和稳定性问题.

2.1.1微分方程的一般形式

一阶微分方程

()()?????==00,x t x t x f dt dx (2.1)

其中()x t f ,是t 和x 的已知函数，()00x t x =为初始条件，又称定解条件。一介微分方程组

()()()()()?????====,,...2,1,...,2,1,...,,0021n i x t x n i x x x t f dt dx i i n i i (2.2)

又称为一阶正规方程组.如果引入向量

()()()()()T

n T n x x x x x x x x 00201021,,,,,..., == ()T

n T n dt dx dt dx dt dx dt dx f f f f ??? ??==,,,,,,,2121 则方程（2.2）可以写为简单的形式

()()?????==00,x t x x t f dt dx (2.3)

即与方程（3、1）的形式相同，当n=1时为方程（2.1）.

对于任一高阶的微分方程

???

? ??=--11,,,;n n n n dt x d dt dx x t f dt x d

如果记()(),,,;,2,1,01101--===n n i i i y y y t f dt

dy n i y dt x d ，即可化为一阶方程组的形式。一般解法如下：

例1.求方程组y

x dx dy -= 解 将变量分离得

xdx ydx -=

两边积分，即得

2

2222c x y +-= 因而，通解为

c y x =+22

这里c 是任意正常数.或者解出y ，写出显函数形式的解

2x c y -±=

2．1．2微分方程解的存在惟一性

正规方程组（2.3）的解在什么条件下存在，且惟一呢？有下面的定理. 定理2.1（Cauchy —peano ） 如果函数()x t f ,在b x x t t R ≤-≤-00,:α上连续，则方程组（2.3）在h t t ≤-0上有解()t x φ=满足初值条件()00t x φ=，此处

()()x t f M M b a h R

x l ,,,min max ,∈=??? ??= 定理3.2 如果函数()x t f ,在b x x t t R ≤-≤-00,:α 上连续，且满足利普希茨（Lipschitz ）条件（即存在正常数L 使得，()()()()()()2121,,x x L x t f x t f -≤-，其中()()()

R x t x t ∈21,),,(，则方程组（2.3）满足初值条件()00t x φ= 的解是惟一的。

2.1.3微分方程的稳定性问题

在实际问题中，微分方程所描述的是物质系统的运到规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而不得不忽略一些人为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素，这些干扰因素在实际中可以瞬时的起作用，也可持续的起作用.从数学上来看，前者会引起初值条件的变化，而后者会影响微分方程本身的变化，在实际问题中，干扰因素是客观存在的，

由此可见，对于它的影响程度的研究的必要的，即初值条件或微分方程的微小变化是否也只是引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题，这里仍以方程组（2.3）为例讨论.

(1)有限区间的稳定性

如果()x t f ,在某个有限的区域1+?n R G 内连续，且对x 满足礼普希茨条件，

()()b t a t x ≤≤=ψ是方程组

（2.3）的一个特解，则当0x 充分接近于()()b t a t ≤≤00ψ时，方程组（2.3）在b t a ≤≤上满足初值条件()00t x x =的解 ()00,,x t t x φ=有

()()()()b t a t x t t t x ≤≤=→ψφψ0

0,,lim 0

0 即对0>ε，总存在相应的()0>εδ，当()()εδψ<-00t x 时，对一切b t a ≤≤有

()()εψφ<-t x t t 00,,

此时称方程组（2.3）的解()t x ψ=在有限区间b t a ≤≤上是稳定的。

(3)渐进稳定性

如果方程组（2.3）解()t x ψ=在无限区间0t t ≥上是稳定的，且存在00>δ，当()000δψ<-t x 时，有

()()()0,,0

0lim =-∞

→t x t t t ψφ 则称()t x ψ=是渐进稳定的，或称局部渐进稳定性。

如果上述∞=0δ（或给定的一个有限常数），则相应的渐进稳定性称为全局稳定性（或大范围稳定性）.

(4)经常扰动下的稳定性

对于方程组（2.3），考虑相应的方程组

()()x t R x t f dt dx ,,+= (2.4)

这里的()x t R ,称为扰动函数。

如果对任意给定的0>ε，总存在()0>εδ和()0>εη，使得当()()εδψ<-00t x 时有

()()εη

则方程组（2.4）有满足初值条件()00t x x =的解()()000,,t t x t t x ≥=φ。且当0t t >时有

()()εψφ<-t x t t 00,,

就说方程组（2.3）的特解()t x ψ=在经常扰动下是稳定的。

(5)研究稳定性的方法

实际中，要研究方程组(2.3)的解()t x ψ=的稳定性问题，可以转化为研究方程零解的稳定性问题，事实上：

对于方程组（2.3）的任一特解()t x ψ=，只要令()t x y ψ-=，则

()()()()t t f x t f dt

t d dt dx dt dy ψψ,,-=-= ()()()()()y t g t t f t y t f ,,,=-+=ψψ

显然有()00,=t g ，故方程组（3.3）变为

()y t g dt dy ,= (2.5) 于是可知方程组（2.3）的解()t x ψ=对应于方程组（3.5）为0=y 。因此，要研究方程组（3.3）的)(t x ψ=的稳定性问题可转化为研究方程组（3.5）的平凡解0=y 的稳定性问题。

如果微分方程组的所有解都能简单的求出来，一个特解的稳定性问题并不难解决，然而，实际中这种情况太少了，由此，一般性的稳定性问题研究是复杂的，通常的情况下都是针对具体问题做相应研究，下面通过例子作为解释说明. 例.2 考虑一阶非线性方程组

()

?????????+--+=++-=+-+-=222322z y e z y x dt dz z y x y x dt

dy e

x z y x dt dx x x 这里线性近似方程组的特征方程为

0111011

112=-------λ

λλ

或

035423=+++λλλ

由此得赫尔维茨行列式

3,175

314,4,13210===?==ααα 根据定理，特征方程所有根均有负实部，由定理知零解0===z y x 为渐进稳定的.

2.2人口模型

英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus ）在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年人口出生统计资料，发现了这样一个现象：人口出生率是一个常数.在1978年他发表了《人口原理》一书，其中提出了闻名于世的Malthus 人口模型. 他的基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，计此常数为r （生命系数）.

在t 到t t ?+这段时间内人口数量()t N N =的增长量为

()()()()t t rN t N t t N ?=-?+

于是()t N 满足微分方程

rN dt dN = (2.6)

将上式改写为为 rdt N

dN = 于是N 和变量t 被分离，两边积分得

-+=c rt LnN

这里-c 为任意常数，由对数的定义，上式变为

rt ce N = (2.7)

其中-=c e c ，因0=N 亦是方程（2.6）的解，因此c 可以是任意常数。

如设初始条件为

0t t =时，()0N t N = (2.8) 代入上式可得00rt e N c -=，即方程（2.6）的满足初值条件（2.8）的解为 ()()00t t r e N t N -= (2.9) 如果0>r ，上式说明人口总数()t N 将按指数规律无限增长.将t 以1年或10年为单位离散化，那么可以说，人口数是以为公比的等比数列增加的.

当人口总数不大时，生存空间，资源等及充裕，人口总数指数地增长是可能的，但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实：环境所提供的条件 只能供养一定数量的人口生活，所以Malthus 模型在()t N 很大时是不合理的.

荷兰生物学家Verhulst 引入常数m N （环境最大容纳量）表示自然资源条件

所能容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为即相对增长率为()???? ?

?-m N t N r 1，即

相对增长率随()t N 的增加而减少，当()m N t N →时，净增长率0→。

按此假设，人口增长的方程应改为

N N N r dt dN m ???? ??-=1 (2.1.0)

这就是logistic 模型，当m N 与N 相比很大时，m

N rN 2

与rN 相比可以忽略，则模型变为Malthus 模型；但当m N 与N 相比不是很大时，m N rN 2

这一项就不能忽略，人口急剧增加的速率要缓慢下来。我们用logistic 模型来预测地球未来人数。某些人口学家估计世界人口的自然增长率029.0=r ，而统计得到世界人口在

1960年为29.8亿。增长率1。85%，由logistic 有???? ???-?=m N 8108.291029.00158.0，可得8103.82?=m N ，即世界人口总量为82.3亿，由（2.1.0）式右端为二次多

项式，以2m N N =

时为顶点，当2m N N <时人口增长率增加；当2

m N N >时人口增长率减少，即人口增长到81015.412?=m N 时增长率将逐渐减少，结果相符。

第三章常微分方程在数学建模中的应用

常微分方程来源于生产实践，在解决科学技术的许多问题中发展并逐步完善，用微分方程解决实际问题一般分为以下几步：第一，实际问题的分析及提出；第二，根据问题的规律建立微分方程（称为建立数学模型）；第三，解此微分方程或对方程进行定性分析；第四，最后再用方程的解（或性质）解释并预测问题的发展.数学建模是微分方程解决实际问题的最主要的途径.下面说明建模方法: 微分方程建模是数学建模的重要方法与应用, 许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题.把形形色色的实际问题化微分方程的定解问题, 大体上可以按以下几步:

(1) 根据实际问题建立对应的数学模型———微分方程(组).

(2) 求解与研究这一数学模型, 包括分析解的特征.

(3) 利用解得结果, 解的形式和数值, 进行定性研究与分析, 解释实际问题, 从而预测和描述某些现象, 甚至社会现象中的特定特质.

(4)必要时修改模型或对问题作进一步探讨.

列方程常见的方法有:

(1)按规律列方程，在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所掌握, 并直接由微分方程进行描述.我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程.

(2)微元分析法和任意区域上取积分的方法

自然界中有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的.对于这类问题, 利用微元分析法, 通过已知的规律建立一些变量( 自变量与未知函数) 的微元之间的关系式, 然后再通过求极限的方法得到微分方程, 或等价地通过任意区域上求积分的方法来建立微分方程.

(3)模拟近似法

在生物、经济等学科中, 许多现象所满足的规律并不清楚，而且相当复杂, 因而需要了解实际资料或大量的实验数据, 提出各种假设.在一定的假设前提下, 给出实际现象所满足的客观规律, 然后根据适当的数学方法列出微分方程.

在实际的微分方程建模过程中, 也往往是上述方法的综合应用.

不论应用哪种建模方法, 通常要根据实际问题中的情况, 作出一定的假设与简化,并把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证和比较, 以修改模型使之更准确地描述解决实际问题并进而达到预测预报的目的.

3.1 减肥的数学模型

1. 问题的提出

随着人们生活水平的提高，普通百姓中减肥健美之风日盛.但是众多的的减肥手段、食品、饮料几乎让人们不知所措，有的达不到预期的效果，甚至产生不良的后果，以致报刊、电视、广播经常提醒人们：减肥要慎重.问如何建立减肥的数学模型？

2. 问题分析

各种种族的不同性别人都有它自己体重的标准，但对亚洲人来说，超过标准体重的20%视为肥胖.“肥胖”从某种意义上说就是脂肪过多以致超过标准.如果人吸收含过多热量的食物，则人体中这些过多的热量就会转化为脂肪而使脂肪增加.为了减肥应似乎少吃或不吃，但为了维持生命，就必须消耗一定的能量（热量）维持最基本的新陈代谢，工作、学习及体育锻炼也要消耗热量.因此，减肥应基于对饮食、新陈代谢、工作及体育锻炼这些关系的正确分析基础上，选择适当的方法进行.减肥的数学模型就要由此入手来建立.

3. 模型假设

（1）设某人每天从食物中摄取的热量是aJ ，其中bJ 用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、生活每天每kg 体重必须消耗J α的热量，进行体育锻炼每天每kg 体重消耗J β的热量；

（2）某人以脂肪形式储存的热量的百分之白的有效，而1kg 脂肪含热量是42000J ；

（3）设体重是时间t 的连续的可微函数.

4、模型建立

显然，某人每天体重的变化等于输出热量所产生的体重减去输出热量所消耗的体重，这里输出热量是指扣除了新陈代谢之外的净吸收热量，而输出热量就是进行工作、生活以及体育锻炼的总消耗量.由于1kg 脂肪含热量J 42000，故某人

每天净吸收脂肪量42000b a -=，每天每kg 体重净消耗脂肪量42000βα+=，进而知在t 到t t ?+的时间内体重的变化为

()()(),42000

42000t t t b a t t t ?+-?-≈-?+=?ωβαωωω 由此得体重变化的数学模型为

()()()?????=+--=0042000ωωωβαωb a dt d (3.1)

5.模型求解

运用分离变量法，解方程（3.1），有

()(),42000??=+--dt b a d βαω

()(),42000

ln 1C t b a +=+----ωβαβα 利用初始条件()00ωω=得

()(),ln 10ωβαβ

α+--+-=b a C 于是得 ()()()

420000βαωβαωβα+-+--=+--e b a b a (3.2)

注意到（3.2）式两端同号，指数因式为正，因此()ωβα+--b a 与()0ωβα+--b a 同号，故有

()()[]()420000t

e

b a b a βαωβαωβα+-+--=+-- 解得

()()()42000042000

βαωβαβαω+-+---+-=e b a b a t (3.3) 下面再作进一步的分析：对（3.3）式求导得 ()()42000042000t e b a dt d βαωβαω+-+--= (3.4) 由式（3.1）、（3.3）及（3.4）可以对减增肥效分析如下：

若()0ωβα+>-b a ，即每天净吸收大于当初总消耗，0>dt

d ω，则体重增加； 若0)(ωβα+<-b a ，即每天净吸收小于当初总消耗，0

d ω，则体重减少； 若()0ωβα+=-b a ，即每天净吸收等于总消耗，0=dt

d ω，则体重不变； 上述分析结果表明，只要适当控制a (进食),b （新陈代谢）,α（工作生活），

β(体育锻炼)，要是体重控制在某个范围内是“可能”的，而且从数学上看，()42000

t

e βα+-衰减很快，一般在有限时间（例如3—4个月）内体重就近似等于βα+-b a ，因此为减肥，要减少a ，增大b ，有必要指出，市场上某些减肥药可能在b （新陈代

谢）上做文章，从而具有某些速效，然而人们的新陈代谢不能违反人体的生理规律，所以某些药物强制性大幅度改变人体的新陈代谢反而给人体的健康造成不良后果.正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、工作和锻炼的习惯，即要适当控制a 及βα+，当然，对于少数肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢的改变也是必要的.

3.2化工车间的通风问题模型

1.问题的提出

在化工生产过程中，由于经常要排出一些不利于环境的物质.为了保持车间内的环境卫生，必须实时通入大量的新鲜空气，这就是通风问题.

设有一个 3123030m ??的车间，其中空气中含有%12.0的2CO ,如需要在

10分钟后2CO 的含量不超过 %06.0.（设新鲜空气中2CO 的含量为%04.0）

，问每分钟应通入多少的新鲜空气？

2.问题分析

化工生产过程中，由于经常要排除一些不利于环境的物质，保持车间的环境卫生.就要通入大量的新鲜空气，研究通风的规律.

3.模型建立

引入下列符号：

y ———时间t 时2CO 的浓度；

a ———通入的空气量[]min 3m ；

v ———车间的体积[]

3m

0y ———2CO 的初浓度；

解决这个问题主要依据下列两个物质平衡式：g ———新鲜空气2CO 的浓度；

增量 = 加入量 - 排出量 （1）

流进（或排出）量 = 流进（或排出）速度×浓度×时间 （2）

现在考虑在时间间隔[]dt t t +,内2CO 的进入量与排出量. 由（2）式知

2CO 的进入量agdt =

2CO 的排出量aygt =

在瞬间t ，2CO 的总量等于vy ；在瞬间dt t +，2CO 的总量等于()dy y v +.所以在dt 这段时间内，2CO 的增量为()vdy vy dy y v =-+.

4.模型求解

根据上述分析，由（1）式可得aydt agdt vdy -=

或

()dt y g a vdy -=

即

dt v a g y dy -=- (3) 上述方程是一阶变量可分离方程. 显然初始条件是00y y t ==容易求解得 ()g e g y y v at

+-=-0 (4)

上式就是这个车间中空气中2CO 的浓度y 与时间t 的

函数关系.

从（4）式可解出a ，得g y g y t v d ---=0ln (5)

将下列数值：0004.0,0012.0,0006.0,10,108000=====g y y t v 代入（5）式，得[]

min 150041ln 108003m a =-= 5.模型总结

也就是说每分钟应通入[]

31500m 的新鲜空气，就能在10分钟后，使车间内的 2CO 含量不超过 %06.0. 实际上所需的新鲜空气量，比上面的数要小.因为新鲜空气并不是象假设那样很快地与混浊空气混合，而是逐步地与混浊空气混合，并且在很大程度是将它排挤出去的.

第四章总结

本文通过对微分方程的基本理论及稳定性研究、减肥的数学模型、人口模型、化工车间的通风问题模型、等基本理论及实际问题的研究、说明数学的应用已渗透到各个领域，或者说各行各业日益依赖于数学.随着社会和科技的发展，无论是在各学科，还是在各行业均涌现出了大量的、亟待人们去研究和解决的实际课题.这就要求相关的工作人员能灵活地运用数学的思维方法和知识来解决所遇到的问题，从而取得的最大的社会和经济效益.

参考文献

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[9] 戴朝寿.孙世良.数学建模简明教程[M].高等教育出版社，2006.

致谢

首先，感谢我的论文指导老师魏波老师，本论文从选定题目到开始论文的撰写都是在魏老师的细心指导下完成的.我还没有为论文做任何准备时魏老师已经召集我们并为写论文做了详细的写前要求和内容侧重点的要求.在我们写论文期间，老师耐心的教我们怎样撰写内容，并对我们的内容排版做了一次又一次地修改，使我们在短时间内完成了论文的设计.还传授了一些论文答辩中的知识，使我学到很多专业知识、学会了做人的道理和处事的态度.我借这次机会衷心的向魏老师感谢，老师您辛苦了，祝你身体健康，万事如意.

其次，感谢我的家人和亲友，无论在什么时候他们都在关心我问候我.

最后，感谢我的同学，在他们的帮助和关心下，我高高兴兴的完成了自己的学业.