漫谈数学的基本思想

漫谈数学的基本思想

史宁中

（东北师范大学）

一、应当把握数学思想

从事数学教学工作的教师应当把握数学思想，有两个理由。首先，在现实的大学教育中，普遍开设了数学文化的课程，这是非常重要的，但数学思想是数学文化的核心。梁漱溟在《东西文化及其哲学》的书中区别了文化和文明：文化是那个时代人们生活的样子，文明是那个时代人们创造的东西。据此或许可以说，文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。那么，数学文化就是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。其中思想是本质的，没有思想就没有文化。

其次，为了培养创新性人才，在修改《义务教育阶段数学课程标准》的过程中，把传统的“双基”扩充为“四基”，即在基础知识和基本技能的基础上加上了基本思想和基本活动经验。其中，基本活动经验的重要性是不言而喻，因为数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的，这就依赖于直观判断，正如希尔伯特在《几何基础》第一版的扉页引用康德的话：人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。几乎所有的大数学家都强调直观的重要性，数学直观的养成不仅依赖数学知识，更依赖思考问题的方法，依赖思维经验的积累。那么，数学思想是什么呢？

二、数学思想是什么

人们通常所说的等量替换、图形结合、递归法等，只是数学思想方法而不是数学思想。数学思想不应当是个案的，必须是具有一般意义的，大概需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的基本思想，二是人们在谈论数学时，总要谈及到的独特素质。这样，可以归纳为三种基本思想，抽象：把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，其素质为抽象能力强；推理：逻辑推理促进数学内部的发展，其素质为逻辑能力强；模型：沟通数学与外部世界的桥梁，其素质为应用能力强。

三、什么是抽象

对于数学，抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。其中关系是重要的，正如亚里士多德所说：数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西剩下的只有数量和关系；对于数学研究而言，线、角，或者其他的量，不是作为存在而是作为关系。

通过抽象得到数学的基本概念，从而把现实生活中的与数学有关的东西引入数学的内部。这些基本概念包括数学的研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和符号；还包括刻画对象之间关系的运算方法。这种抽象是一种从感性具体上升到理性具体的思维过程，但这样的抽象

只是第一次抽象。在此基础上，还能凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法，比如实数和高维空间的概念，比如极限和四元数的运算。第二次抽象是此理性具体扩充到彼理性具体的思维过程，在这个意义上，数学并非仅仅研究那些直接来源于现实生活的东西。

数量与数量关系的抽象。数量作为一种语言的表述，在日常生活中是大量存在的，数学把数量抽象为数，经过长期的实践，形成了自然数，并且用十个符号和位数表示。

数量关系的本质是多与少，把这种关系抽象到数学内部，就是数的大小，后来演变为一般的序关系。由大小关系派生出自然数的加法，逆运算产生了减法、简便运算产生了乘法、乘法逆运算产生了除法。数的运算本质是四则运算，都是基于加法的，这也是计算机的运算原理。通过对运算性质的分析，抽象出运算法则；通过对运算结果的分析，抽象出数的集合。数学还有一种运算，就是极限运算。

数必须进行第二次抽象的缘由，起因于牛顿、莱布尼茨于1684年左右创立的微积分，这涉及极限运算。为了合理解释极限，特别是合理地描述一个实数变量趋于一个给定实数，直到1821年，柯西给出了ε-δ语言的描述，开始了现代数学的特征：研究对象的符号化，证明过程的形式化，逻辑推理的公理化。数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。

为了很好地描述极限过程，需要解决实数的连续性问题；为了很好地定义实数，需要重新定义有理数。这样小数形式的有理数就出现了，这已经完全背离分数形式有理数的初衷：部分与整体的关系；线段的比例关系。1872年，从小数形式的有理数出发，康托尔用基本序列的方法定义实数，解决了实数的运算问题；戴德金用分割的方法定义实数，解决了实数的连续性问题。在此基础上，1889年佩亚诺给出算术公理体系，1908年策梅洛给出集合论公理体系，建立了现代数学的基础。

图形与图形关系的抽象。欧几里得最初抽象出点、线、面这些几何学的研究对象是有物理属性的，比如，点是没有部分的那种东西。随着几何学研究的深入，特别是非欧几何学的出现，人们需要重新审视传统的欧几里得几何学，比如两条直线相交必然交于一点：如何交到没有部分的点上？

1898年，希尔伯特重新定义了点、线、面：用大写字母A表示点，用小写字母a表示线，用希腊字母α表示面，完全是符号化的定义，然后给出了五组公理，实现了几何研究的公理体系。这些公理体系的建立，完成了数学的第二次抽象。

四、什么是推理

人们通常认为有三种形式的思维，即形象思维、逻辑思维和辩证思维，数学主要依赖的是逻辑思维。逻辑思维的集中表现是逻辑推理，人们通过推理，能够深刻地理解数学研究对象之间的逻辑关系，并且可以用抽象了的术语和符号清晰地描述这种关系。因此，人们通过推理形成各种命题、定理和运算法则。随着数学研究的不断深入，根据研究问题的不同数学逐渐形成各个分支，甚至形成各种流派。即便如此，因为数学研究问题的出发点是一致的，逻辑推理规则也是一致的，因此，至少到现在的研究结果表明，数学的整体一致性是不可动摇的。也就是说，数学的各个分支所研究的问题似乎是风马牛不相及的，但是，数学各个分支得到的结果之间却是相互协调的。为此，人们不能不为数学的这种整体一致性感到惊叹：数学似乎蕴含着类

似真理那样的合理性。

所谓推理，是指一个命题判断到另一个命题判断的思维过程；所谓推理有逻辑，是指所涉及的命题内涵之间具有某种传递性。在本质上，只存在两种形式的推理，一种是归纳推理，一种是演绎推理。

归纳推理。归纳推理是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理，因此，通过归纳推理得到的结论是或然的。归纳推理包括归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析等等。人们借助归纳推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西，这便是上面所说的“看”出数学结果，看出的数学结果不一定是正确的，但指引了数学研究的方向。

演绎推理。演绎推理是命题内涵由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理，因此，通过演绎推理得到的结论是必然的。演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等等。人们借助演绎推理，按照假设前提和规定的法则验证那些通过推断得到的结论，这便是数学的“证明”，通过证明得到的结论是正确的，但不能使命题的内涵得到扩张。

数学的结论之所以具有类似真理那样的合理性，或者说数学具有严谨性，正是因为数学的整个推理过程严格地遵循了这两种形式的推理。

我们不可能把抽象和推理截然分开：抽象的过程、特别是第二次抽象的过程要依赖推理；而两种形式的推理、特别是归纳推理的过程要依赖抽象。

五、抽象的存在

关于抽象了的东西是如何存在的是历来争论的话题，从古希腊学者柏拉图和亚里士多德开始一直影响到今天。事实上，只有理解清楚这个问题，才能更好地把握数学的思想。

柏拉图认为人的经验是不可靠的，经验可能随着时间的改变而改变，也可能随着场合的改变而改变，因此，所有基于经验的概念都是不可靠的，也是不可能的。数学的概念不应当是经验意义上的存在，而应当是一种永恒的存在。柏拉图把这种永恒的存在称为理念，并且认为只有理念才是真正的存在。因此，数学是一种“发现”，发现了那些“实际”存在了的东西。这便是“唯实论”。

亚里士多德的想法正好相反。一般概念是对许多具体存在的事物的共性抽象得到的，所以一般概念不可能是真正的存在，一般概念表现于特殊事物，每个具体存在都是一般概念的特例。因此，数学的研究对象以及表述研究对象之间关系术语都是抽象出来的，数学只能是一种“发明”。这便是“唯名论”。

事实上，抽象了的东西不是具体的存在，而是一种理念的存在，或者说，是一种抽象的存在。比如，看到足球、乒乓球，在头脑中形成圆的概念，这个概念就是一种抽象的存在，这种存在已经脱离了具体的足球和乒乓球。借助这种抽象的概念，可以在黑板上画出圆，甚至还可以定义圆，可以研究圆的性质。这种抽象的存在构成了数学研究的基础，数学研究的是普遍存在的东西，而不是某个具体存在的东西。正是由于这种普遍性，数学才可以得到广泛的应用。数学就是研究那些抽象了的存在的东西。

但是，通过上面的讨论可以看到，即便数学的第二次抽象在形式上是美妙的，但其功能至多是很好地解释了第一次抽象得到的那些结果，因此，在本质上无重大发明可言。而数学的第一次抽象是来源于经验的，抽象的对象是现实世界，而只有直接从现实世界中抽象出来的那些

问题，才是朝气蓬勃的，才可能具有不断发展的生命力，正如冯·诺伊曼所说：

“数学思想来源于经验，我想这一点是比较接近真理的。……数学思想一旦被构思出来，这门学科就开始经历它本身所特有的生命。事实上，认为数学是一门创造性的、受审美因素支配的学科，比认为数学是一门别的、特别是经验的学科要更确切一些。……换句话说，在距离经验本源很远很远的地方，或者在多次“抽象的”近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的危险。”

那么，数学的那些概念、原理、方法和思想应当如何与现实世界联系呢？合理的思维过程具有理性加工的功能，而现实世界的那些东西一旦经过理性加工，不仅具有了一般性并且具有了真实性。

六、什么是模型

数学模型与通常所说的数学应用是有所区别的。数学应用涉及的范围相当宽泛，可以泛指应用数学解决实际问题的所有事情。虽然数学模型也属于数学应用的范畴，但更侧重于用数学的概念、原理和思想方法描述现实世界中的那些规律性的东西。

数学模型。数学模型是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想。数学模型使数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的桥梁，通俗地说，数学模型借用数学的语言讲述现实世界的故事。

数学模型的出发点不仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述的东西。就像建筑桥梁一样，在建筑之前必须清楚要把桥梁建筑在哪里。并且，研究手法也不是单向的，需要从数学和现实这两个出发点开始，规划研究路径、构建描述用语、验证研究结果、解释结果含义，从而得到与现实世界相容的、可以描述现实世界的结论。

在现实世界中，放之四海而皆准的东西是不存在的，数学模型必然有其适用范围，这个适用范围通常表现于模型的假设前提、模型的初始值、模型参数的某些限制。在这个意义上，所有的数学表达，比如函数、方程、公式等，本身都不是数学模型，而是描述现实世界的数学语言。

因为数学模型具有数学和现实这两个出发点，数学模型就不完全属于数学。大多数应用性很强的数学模型的命名，都依赖于所描述的学科背景。比如，在生物学中，种群增长模型，基因复制模型等等；在医药学中，专家诊断模型，疾病靶向模型等等；在气象学中，大气环流模型，中长期预报模型等等；在地质学中，板块构造模型，地下水模型等等；在经济学中，股票衍生模型，组合投资模型等等；在管理学中，投入产出模型，人力资源模型等等；在社会学中，人口发展模型，信息传播模型等等；在物理学和化学中，各类数学模型更是百花齐放。

数学模型的价值取向往往不是数学本身，而是对描述学科所起的作用。比如，那些获得诺贝尔经济学奖的数学模型，人们关注的并不是模型的数学价值，而是应用价值。但是，数学家们在构建数学模型和实际应用的过程中，必然会从数学的角度汲取“创造数学”的灵感，促进数学自身的发展，就像冯·诺伊曼所说过的那样。

七、结论

数学的基本思想，即抽象、推理、模型，为数学由现实到数学、数学内部发展、由数学到现实的思维功能，理性地把握这些功能对数学的教学是有益处的。虽然现代数学的特征是符号化、形式化和公理化，但其本质是为了更好地描述数学的成果，正如阿蒂亚所说：“严格数学论证的作用在于使得本来是主观的、极度依赖个人直觉的事物，变得具有客观性并能够加以传递。”因此，为了更好地让学生理解数学，为了让学生建立数学的直观，在数学的教学过程还需要反其道而行之：针对对象的符号化要讲物理背景；针对证明的形式化要讲直观；针对逻辑的公理化要讲归纳。