实验二插值法概论

实验二插值法

实验2.1

（1）实验程序：

function charpt2_1

%输入插值结点

result=inputdlg({'请输入插值结点数N：'},'charpt_2',1,{'2'}) N1=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间下界：'},'charpt_2',1,{'-1'})

N2=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间上界：'},'charpt_2',1,{'1'})

N3=str2num(char(result));

if(N1<1) errordlg('结点输入错误！');return;end

%插值结点小于1时错误

f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=N2;b=N3;

%标准函数f

x1=linspace(a,b,N1+1);

y1=feval(f,x1);

x=a:0.001:b;inter1=Lagrange(x1,y1,x);

fplot(f,[a,b],'r-');

%画标准函数f的图形

hold on;

plot(x,inter1,'b-');

%画插值逼近函数

legend('原函数','插值多项式函数')

xlabel('x');ylabel('y=f(x) o and y=Ln(x)--');

function y=Lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if(j~=k)

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=s+p*y0(k);

end

y(i)=s;

end

实验结果：

n=2 n=3

n=5 n=10

n=15 n=20

实验分析：

多项式插值逼近结果如图所示，当结点数由3个结点增加为5个结点时，函数图形越接近，当插值结点增加到10时，曲线光滑，函数逼近效果在曲线的中间部分（-0.6，0.6）比较好，但是由上图在两个端点处x=-1和x=1附近时会出现在与原函数f(x)偏差会很大（龙格现象）。可以看出，适当提高插值多项式次

数，可以提高逼近的精度，但是太高反而会产生不良的现象。

（2） 实验程序：

function charpt2_2 %输入插值结点

result=inputdlg({'请输入插值结点数N ：'},'charpt_2',1,{'2'}) N1=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间下界：'},'charpt_2',1,{'-5'}) N2=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间上界：'},'charpt_2',1,{'5'}) N3=str2num(char(result));

if(N1<1) errordlg('结点输入错误！');return;end %插值结点小于1时错误

f=inline('x./(1+x.^4)');a=N2;b=N3; %标准函数f

x1=linspace(a,b,N1+1); y1=feval(f,x1);

x=a:0.001:b;inter1=Lagrange(x1,y1,x); fplot(f,[a,b],'r-'); %画标准函数f 的图形 hold on;

plot(x,inter1,'b-'); %画插值逼近函数

legend('原函数','插值多项式函数')

xlabel('x');ylabel('y=f(x) o and y=Ln(x)--');

function y=Lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if(j~=k)

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end

s=s+p*y0(k); end y(i)=s; end

4

()1x h x x =

+

实验结果：

n=2

n=3

n=5

n=10

n=15 n=20

实验分析：

由实验结果可知，随着n 值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好，而端点附近的则出现振荡的情况，且误差逐渐增大。

实验程序：

()arctan g x x

function charpt2_3

%输入插值结点

result=inputdlg({'请输入插值结点数N：'},'charpt_2',1,{'2'}) N1=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间下界：'},'charpt_2',1,{'-5'})

N2=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间上界：'},'charpt_2',1,{'5'})

N3=str2num(char(result));

if(N1<1) errordlg('结点输入错误！');return;end

%插值结点小于1时错误

f=inline('atan(x)');a=N2;b=N3;

%标准函数f

x1=linspace(a,b,N1+1);

y1=feval(f,x1);

x=a:0.001:b;inter1=Lagrange(x1,y1,x);

fplot(f,[a,b],'r-');

%画标准函数f的图形

hold on;

plot(x,inter1,'b-');

%画插值逼近函数

legend('原函数','插值多项式函数')

xlabel('x');ylabel('y=f(x) o and y=Ln(x)--');

function y=Lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if(j~=k)

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=s+p*y0(k);

end

y(i)=s;

end

实验结果：

n=2 n=3

n=5 n=10

n=15 n=20

实验分析：

由实验结果可知，随着n 值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好，而端点附近的则出现振荡的情况，且误差逐渐增大。

（3）2

1

()125f x x

=

+ 实验程序：

function charpt2_4 %输入插值结点

result=inputdlg({'请输入插值结点数N ：'},'charpt_2',1,{'2'})

N1=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间下界：'},'charpt_2',1,{'-1'}) N2=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间上界：'},'charpt_2',1,{'1'}) N3=str2num(char(result));

if(N1<1&N2

%插值结点小于1时错误

f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=N2;b=N3;

%标准函数f

k=1:N1+1

x1=(b+a)./2+((b-a)./2)*cos((2.*k-1).*pi/(2.*(N1+1)));

y1=feval(f,x1);

x=a:0.001:b;

inter1=Lagrange(x1,y1,x);

fplot(f,[a,b],'r-');

%画标准函数f的图形

hold on;

plot(x,inter1,'b-');

%画插值逼近函数

legend('原函数','插值多项式函数')

xlabel('x');ylabel('y=f(x) o and y=Ln(x)--');

function y=Lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if(j~=k)

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=s+p*y0(k);

end

y(i)=s;

end

实验结果：

n=2 n=3

n=5 n=10

n=15 n=20

实验分析：

由实验结果可知，通过切比雪夫点的变换，随着n 值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好， 且端点的振荡现象消失，误差也不断下降。

4

()1x

h x x

=

+ 实验程序：

function charpt2_5 %输入插值结点

result=inputdlg({'请输入插值结点数N ：'},'charpt_2',1,{'2'})

N1=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间下界：'},'charpt_2',1,{'-5'}) N2=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间上界：'},'charpt_2',1,{'5'}) N3=str2num(char(result));

if(N1<1&N2

%插值结点小于1时错误

f=inline('x./(1+x.^4)');a=N2;b=N3;

%标准函数f

k=1:N1+1

x1=(b+a)./2+((b-a)./2)*cos((2.*k-1).*pi/(2.*(N1+1)));

y1=feval(f,x1);

x=a:0.001:b;

inter1=Lagrange(x1,y1,x);

fplot(f,[a,b],'r-');

%画标准函数f的图形

hold on;

plot(x,inter1,'b-');

%画插值逼近函数

legend('原函数','插值多项式函数')

xlabel('x');ylabel('y=f(x) o and y=Ln(x)--');

function y=Lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if(j~=k)

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=s+p*y0(k);

end

y(i)=s;

end

实验结果：

n=2 n=3

n=5 n=10

n=15 n=20

实验分析：

由实验结果可知，通过切比雪夫点的变换，随着n值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好，且端点的振荡现象消失，误差也不断下降。

g x x

()arctan()

实验程序：

function charpt2_6

%输入插值结点

result=inputdlg({'请输入插值结点数N：'},'charpt_2',1,{'2'}) N1=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间下界：'},'charpt_2',1,{'-5'})

N2=str2num(char(result));

result=inputdlg({'请输入区间上界：'},'charpt_2',1,{'5'})

N3=str2num(char(result));

if(N1<1&N2

%插值结点小于1时错误

f=inline('atan(x)');a=N2;b=N3;

%标准函数f

k=1:N1+1

x1=(b+a)./2+((b-a)./2)*cos((2.*k-1).*pi/(2.*(N1+1)));

y1=feval(f,x1);

x=a:0.001:b;

inter1=Lagrange(x1,y1,x);

fplot(f,[a,b],'r-');

%画标准函数f的图形

hold on;

plot(x,inter1,'b-');

%画插值逼近函数

legend('原函数','插值多项式函数')

xlabel('x');ylabel('y=f(x) o and y=Ln(x)--');

function y=Lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if(j~=k)

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=s+p*y0(k);

end

y(i)=s;

end

实验结果：

n=2 n=3

n=5 n=10

n=15 n=20

实验分析：

由实验结果可知，通过切比雪夫点的变换，随着n 值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好， 且端点的振荡现象消失，误差也不断下降。

实验2.2

(1) 考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为

n i n

i

x i ,,2,1,0,21 =+

-=

实验程序：

function charpt2_7

x1=[-1:0.4:1];y1=1./(1+25*x1.^2); x2=[-1:0.25:1];y2=1./(1+25*x2.^2); x3=[-1:0.2:1];y3=1./(1+25*x3.^2);

x0=[-1:0.01:1];

subplot(2,2,1)

y4=1./(1+25*x0.^2);

plot(x0,y4,'-b')

y0=spline(x1,y1,x0);

y1=1./(1+25*x0.^2);

subplot(2,2,2)

plot(x0,y0,'-b')

y0=spline(x2,y2,x0);

y2=1./(1+25*x0.^2);

subplot(2,2,3)

plot(x0,y0,'-b')

y0=spline(x3,y3,x0);

y3=1./(1+25*x0.^2);

subplot(2,2,4)

plot(x0,y0,'-b')

end

实验结果：