测绘技术之坐标反算与正算

5.3坐标反算

坐标反算，就是根据直线两个端点的已知坐标，计算直线的边长和坐标方位角的工作。如图5.3所示，若A、B为两已知点，其坐标分别为(XA，YA)和(XB，YB),根据三角函数，可以得出直线的边长和坐标方位角计算公式：

tgα=△YAB/△XAB=(YB-YA)/(XB-XA)

αAB =tg-1 (△YAB/△XAB)= tg-1 ((YB-YA)/(XB-XA))

/td>

DAB=△YAB/sin αAB=XAB/cos αAB 或 (5.6)

DAB=√(△X2+△Y2)

应当注意，按公式（5.5）用计算器计算时显示的反正切函数值在－90°～＋90°之间，而坐标方位角范围是0°～360°，所以按（5.5）式反算方位角时，要根据ΔX、ΔY的正负符号确定直线AB 所在的象限，从而得出正确的坐标方位角。如使用fx140等类型的计算器，可使用功能转换键 INV 和极坐标与直角坐标换算键P→R以及x←→y键直接计算求得方位角。按键顺序为：

ΔX INV R→P ΔY ＝显示D X←→y 显示α。

例5.2 已知B点坐标为（1536.86 ，837.54），A点坐标为（1429.55，772.73），求距离DBA和坐标方位角αBA。

解:先计算出坐标增量：

ΔXBA＝1429.55-1536.86=-107.31

ΔYBA＝772.73-837.54=-64.81

直接用计算器计算：

按－107.31 INV P→R －64.81 ＝显示125.36（距离DBA）；

按 x←→y 显示211°07′53″（坐标方位角αBA）。

5.2 坐标正算

坐标正算，就是根据直线的边长、坐标方位角和一个端点的坐标，计算直线另一个端点的坐标的工作。如图5.3所示，设直线AB的边长DAB和一个端点A的坐标XA、YA为已知，则直线另一个端点B 的坐标为：

XB=XA+ΔXAB (5.1)

YB=YA+ΔYAB (5.2)

式中，ΔXAB、ΔYAB称为坐标增量，也就是直线两端点A、B的坐标值之差。由图5.3中，根据三角函数，可写出坐标增量的计算公式为：

图5.3

ΔXAB=DAB·cosαAB (5.3)

ΔYAB=DAB·sinαAB (5.4)

式中ΔX、ΔY的符号取决于方位角α所在的象限。

例5.1 已知直线B1的边长为125.36m，坐标方位角为211°07′53″，其中一个端点B的坐标为（1536.86 ，837.54），求直线另一个端点1的坐标X1，Y1。

解: 先代入公式（5.3）、（5.4），求出直线B1的坐标增量：

ΔXB1=DB1·CosαB1=125.36×cos211°07′53″=－107.31m

ΔYB1=DB1·sinαB1=125.36×sin211°07′53″″=－64.81m

然后代入公式（5.1）、（5.2），求出直线另一端点1的坐标：

X1=XB+ΔXB1=1536.86－107.31=1429.55m

Y1=YB+ΔYB1=837.54－64.81=772.73m

坐标增量计算也常使用小型计算器计算，而且非常简单。如使用fx140等类型的计算器，可使用功能转换键INV和极坐标与直角坐标换算键P→R以及x←→y键。按键顺序为：

D INV P→R α ＝显示ΔX X←→y 显示ΔY。

如上例，按125.36 INV P→R 211°07′53″＝显示－107．31（ΔXB1）；

按 x←→y 显示－64.81（ΔYB1）

5.4建筑坐标与测量坐标的换算

为了工作上的方便，在建筑工程设计总平面图上，通常采用施工坐标系（即假定坐标系）来求算建筑方格网的坐标，以便使所有建（构）筑物的设计坐标均为正值，且坐标纵轴和横轴与主要建筑物或主要管线的轴线平行或垂直。为了在建筑场地测设出建筑方格网点的位置及所有设计的建（构）筑物，在测设之前，还必须将建筑方格网点和设计建（构）筑物的施工坐标系坐标换算成测量坐标系坐标。

如图5.4所示，坐标换算的要素xo、yo 、α 一般由设计单位给出。

xp、yp 设为P点在测量坐标系xoy中的坐标,x'p、y'p为P点在施工坐标系x'o'y'中的坐标，则将施工坐标换算成测量坐标的计算公式为：

图5.4

xp=xo+x'pcos α-y'psin α

yp=yo+y'psin α-y'pcos α (5.7)

反之，将测量坐标换算成施工坐标的计算公式如下：

x'p=(xp-xo)cos α+(yp-yo)sin α

y'p=-(xp-xo)sin α+(yp-yo)cos α (5.8)

5.1控制测量概述

为了限制测量误差的累积，确保区域测量成果的精度分布均匀，并加快测量工作进度，测量工

作应按照“从整体到局部，先控制后碎部”这样的程序开展。即在一个大范围内从事测量工作，首先应从整体出发，在区域内选择少数有控制意义的点，组成整体控制网，用高精度的仪器、精密的测量方法，求出各控制点的位置，这项工作称为控制测量。控制点的位置确定以后，再以各控制点为基准，确定其周围各碎部点的位置，这项工作称为碎部测量。

控制网分为平面控制网和高程控制网。测定控制点平面位置的工作，称为平面控制测量。测定控制点高程的工作，称为高程控制测量。根据其范围大小和功能不同，测量控制网分为国家控制网、城市控制网和小地区控制网。

国家控制网是在全国范围内建立的控制网，它为统一全国范围内的坐标系统和高程系统，并为各种工程测量提供控制依据。国家控制网按精度由高到低分为一、二、三、四共四个等级。它的低级点受高级点控制。一等精度最高，是国家控制网的骨干，二等精度次之，它是国家控制网的全面基础。三、四等是在二等控制网下的进一步加密。

国家平面控制网如图5.1所示，主要布设成三角网。即将相邻的控制点组成互相连接的三角形。这些组成三角形的控制点称为三角点。通过在三角点上设置测量标志，精密测量起始边的方位角，精密丈量三角网中一条或几条边的边长，并测出所有三角形的水平角，经过计算，求出各三角形的边长，最后根据其中一点的已知坐标和一边的已知方位角，进而推算出各三角点的坐标。

国家高程控制网如图5.2所示，主要采用水准测量的方法来建立。各等水准测量经过的路线称为水准路线。国家高程控制网除布设成水准网，还包括闭合环线和附合水准路线。

城市控制网是为城市规划、建筑设计及施工放样等目的而建立的测量控制网。

图5.1

根据城市的大小，它可以在国家基本控制网的基础上进行加密。若国家控制网不能满足其要求，也可以建立单独的控制网，具体做法见《城市测量规范》相关部分内容。

小地区控制网主要指面积在15平方公里以内的小范围，为大比例尺测图和工程建设而建立的控制网。小地区控制网应尽可能与国家控制网中的高级控制点进行连测，将国家控制点的坐标和高程作为小地区控制网的起算和校核数据。若与国家控制网进行连测有困难，也可以在测区内建立独立的控制网。

小地区平面控制网可以采用三角测量的方法建立，也可以采用导线测量的方法建立。所谓导线，就是将相邻控制点用直线连接而构成的折线图形。构成导线的控制点称为导线点。相邻导线点的边长称为导线边。相邻导线边之间的水平角称为转折角。导线测量就是通过测定导线边的边长和各转折角，根据已知数据，推算出各导线边的坐标方位角，从而求出各导线点的坐标。

小地区平面控制网应根据测区面积的大小按精度要求分级建立。在测区范围内建立统一的精度最高的控制网，称为首级控制网。直接为测图建立的控制网，称为图根控

图5.2

制网。图根控制网中的控制点称为图根控制点，简称图根点。

小地区高程控制网可以采用水准测量的方法建立，也可以采用三角高程测量的方法建立。水准测量适用于地势平坦的城市建筑区，三角高程测量主要使用于地面高差起伏较大的山区和丘陵地区。

各种等级的高程控制点和和平面控制点都埋设有固定的标石，它们的点名、坐标、高程可向各有关城建或测绘部门查得。

阅读:小地区控制点加密的基本方法

在工程建设中，常常遇到在小范围内加密控制点的问题。小范围内加密平面控制点常采用导线和测角交会定点的形式，加密高程控制点多采用水准测量和三角高程测量的方法。

直接为测绘地形图提供的控制点，称为图根控制点。测定图根控制点位置的工作，称为图根控制测量。

一、平面控制测量

（一）导线的外业测量工作

山区、丘陵地区的图根控制网多采用三角锁或测角交会点的形式，而对于城市建筑区多采用导线的形式。

1、导线的概念

将测区内相邻控制点先连成直线，再连成的折线图形，被称为导线。导线上的各控制点称为导线点。相邻控制点之间的边称为导线边。相邻导线边之间的水平角称为转折角。导线测量就是通过测定导线的边长和转折角，根据已知数据计算出各导线点的坐标。

2、导线的布设形式

为了检核导线的外业测量成果，导线通常布设成闭合、附合和支线三种形式。

如图5.5（a）所示，导线从已知控制点A和已知方向BA出发，经过1、2、3、4点，最后仍回到起点A，形成一闭合多边形，这样的导线称为闭合导线。如图5.5（b）所示，导线从已知控制点A和已知方向BA出发，经过1、

图5.5

2、3点，最后附合到另一已知控制点C和已知方向CD，这样的导线称为附合导线。如图5.5（c）所示，若导线由一已知点A出发，观测至点1，既不附合到另一已知点，又不回到原起始点，这样的导线称为支导线。

3、导线测量的等级与技术要求

由《工程测量规范》可知，导线测量按精度划分为一个个等级，各等级有自己的技术要求，如表5.1所示。

表5.1 导线测量的技术要求

等级导线长度（km）平均边长（km）测角中误差（″）测回数

DJ2 DJ6

方位角闭合差（″）相对闭合差

一级 4 0.5 5 2 4 ±10√n ≤1／15000

二级 2.4 0.25 8 1 3 ±16√n ≤1／10000

三级 1.2 0.1 12 1 2 ±24√n. ≤1／5000

图根≤0.001M ≤1.5测图最大视距 30（一般）20（首级）— 1 ±60√n.(一般)

±40√n (首级) ≤1／2000

注：M为测图比例尺的分母，n为测站数。

4、导线选点与埋石

在确定导线的布设形式和点位之前，应收集测区已有的地形图和高一级控制点的成果资料，然后到现场踏勘，了解测区现状和已知控制点。根据已知控制点的分布、测区地形条件和测图要求等具体情况，在测区原有地形图上拟定导线的布设方案，最后到实地去核对、落实点位和埋设标志。选点时，应注意使相邻控制点之间通视良好，地势平坦，便于测角和量边；视野开阔，便于施测碎部；土质坚实，便于安放仪器和保存标志；各边长度大致相等，点位分布均匀，且密度足够。导线选定后，可根据保存期的长短，埋设临时标志或永久标志。

5、测角与量边

导线的转折角使用经纬仪按测回法观测。若为闭合导线，则观测其内角。若为附合导线，应明确规定观测其左角或观测其右角，以防止差错。对于支导线，应分别观测左角和右角，以资检核。当导线需要与高级控制点联测时，必须测出连接角，以便将高级控制网的坐标方位角传递给低级控制网。若附近无高级控制网时，可假定起始点的坐标和起始边的方位角作为起始数据。

导线的边长可以用鉴定过的钢尺进行往返丈量，也可以用测距仪测量。

（二）闭合导线的内业计算

导线的内业计算，就是根据起始点的坐标和起始边的坐标方位角，以及所观测的导线边长和转折角，计算各导线点的坐标。计算的目的除了求得各导线点的坐标外，还有就是检核导线外业测量成果的精度。计算之前，应全面检查导线测量的外业记录确认各项数据准确无误，再以此进行计算。计算的步骤如下：

1、填表

如表5.2所示，由于导线计算数据繁多，为了清晰醒目，方便检查。一般规定，其计算都在专用的表格上进行。计算之前，首先将示意图中各观测数据和已知数据填入相应表格之中。

2、角度闭合差的计算与调整

由几何原理得知，多边形内角和的理论值应为

∑β理=(n－2).180°

因为测角有误差，所以测得的内角和∑β测不等于理论上的内角和∑β理，其差值称为角度闭合差，用fβ表示，即

fβ＝∑β测－∑β理＝∑β测―（n―2）.180° (5.11)

角度闭合差fβ的大小，表明测角精度的高低，对于不同等级的导线，有不同的限差（fβ允）要求，图根导线角度闭合差的允许值为：

fβ允＝±60″√n

式中n为多边形内角的个数。当图根导线作为测区的首级控制网时，fβ允＝±40″√n 。这一步

计算见辅助计算栏，fβ＝－50″， fβ允＝±120″

若fβ≤fβ允，说明测角精度符合要求，可将闭合差按相反符号平均分配给各观测角，而得出改正角：

β＝β测－fβ/n (5.12)

按（－fβ/n）式计算的改正数，取位至秒，填入表格第3列。

当fβ＞fβ允时，则说明测角误差超限，应停止计算，重新检测角度。

3、坐标方位角计算

如第四章所述，根据起始边的坐标方位角及改正角，用（4.14）式依次计算各边的坐标方位角，填入第5列。为了检核，最后应重新推算起始边的坐标方位角，它应与已知数值相等。否则，应重新推算。例如

α23＝α12＋180°＋β2＝125°30′00″＋180°＋107°48′43″＝53°18′43″

表5.2 闭合导线坐标计算表:

点号观测角改正数改正后角度坐标方位角距离坐标增量(m) 改正后增量(m) 坐标值(m) 点号°′″″°′″°′″ (m) △x′△y′△x △y x y

1 535.00 535.00 1

90 00 00 43.53 -1 -1

2 81 45 50 +20 81 46 10 0.00 +43.5

3 -0.01 +43.52 534.99 578.52 2

351 46 10 48.12 -2 -1

3 101 56 40 +20 101 57 00 +47.62 -6.89 +47.60 -6.90 582.59 571.62 3

273 43 10 37.49 -1 0

4 8

5 21 50 +20 85 22 10 +2.43 -37.41 +2.42 -37.41 585.01 534.21 4

179 05 20 50.00 -2 -1

1 90 54 20 +20 90 54 40 -49.99 +0.80 -50.01 +0.79 535.00 535.00 1

90 00 00

2 2

总和 359 58 40 +80 360 00 00 179.14 +0.06 +0.03 0.00 0.00

辅助计算∑β测=359 °58′ 40″ fβ允=±603 =±120″ fx=∑Δx测 =+0.06 fy=∑Δy 测

=+0.03- Σβ理＝360° 00 ′00″ fβ＜fβ允合格 K＜K允合格 fβ =-80″

f=√(f1r+f1γ)=±0.07m k=(fo/∑D)-(0.07/179.14)-(1/2500) kπ=1/2000

4、坐标增量的计算及闭合差调整

坐标增量计算，就是根据已经推算出的导线各边的坐标方位角和相应边的边长，按式（5.3）、（5.4）计算各边的坐标增量。例如，导线边12的坐标增量为：

Δx12＝D122COSα12＝105.223COS125°30′00″＝－61.10m

Δy12＝D122SINα12＝105.223SIN125°30′00″＝＋85.66m

同法可算得其它各导线边的坐标增量，填入表中第7、8两列。

由图5.6可以看出，闭合导线纵、横坐标增量的代数和的理论值应为零，即

∑Δx里＝0 (5.13)

∑Δy理＝0 (5.14)

实际上，由于量边的误差和角度闭合差调整后的残余误差，往往使∑Δx理、∑Δy理不等于零，而产生纵坐标增量闭合差fx和横坐标增量闭合差

图5.6

fy,即

fx＝∑Δx测 (5.15)

fy＝∑Δy测 (5.16) 表中，fx＝∑Δx测＝＋0.06m fy＝∑Δy测＝+0.03m

由图5.7中明显看出，由于fx、fy的存在，使导线不能闭合，1—1′之长度f称为导线全长闭合差，可通过下式计算

f=√(f2x+f2y) (5.17)

仅以f值的大小还不能显示导线测量的精度，应当以f与导线全长∑D相比较，即以分子为1的分数来表示导线全长的相对闭合差K，即:

k=f/∑D=1/(∑D/f) (5.18)

图5.7

表中，K＝0.11/392.90＝1/3500

以相对闭合差K来衡量导线测量的精度，K的分母越大，精度越高。不同等级的导线，其允许相对闭合差K允不一样，图根导线的K允为1/2000。若K超过K允，则说明成果不合格，应首先检查内业计算有无错误，然后检查外业观测成果，必要时进行重测。

若K不超过K允，则说明符合精度要求，可以进行调整。即将fx、fy反符号，按边长成正比分配到相应边的纵、横坐标增量中去，从而得到改正后的纵、横坐标增量。

5、计算各导线点的坐标

根据后一点的坐标及改正后的坐标增量，按下式即可推算出前一点的坐标。

X前＝x后＋Δx改 (5.19)

Y前＝y后＋Δy改 (5.20)

最后，还应推算出起始点1的坐标，其值应与原有值相等，以作检核。

在导线的全部计算过程中，应坚持步步有检核的原则，后一步未检核合格，不能进行前一步计算工作。

（三）附合导线的内业计算

附合导线的内业计算步骤与闭合导线相同，但是，由于两者形式不同，致使角度闭合差的计算与调整和坐标增量闭合差的计算稍有不同。现介绍不同点如下：

1、角度闭合差的计算与调整

设有附合导线如图5.5中所示，根据起始边已知坐标方位角αBA及观测角βi，利用前面公式，可以连续算出αA1、α12、……、αCD′（αCD′为终边CD坐标方位角之计算值）

αA1＝αBA＋180°＋βA

α12＝αA1＋180°＋β1

α23＝α12＋180°＋β2

α3C＝α23＋180°＋β3

αCD′＝α4C＋180°＋βC

αCD′＝αBA＋53180°＋∑β测

计算终边坐标方位角的一般公式为：

α终边′＝α始边＋n2180°＋∑β测 (5.21)

式中n为导线观测角个数。

角度闭合差的计算公式为：

fβ＝α终边′－α终边 (5.22)

fβ的调整:当用左角计算α终边′时，改正数与fβ反号；当用右角计算α终边′时，改正数与fβ同号。

2、坐标增量闭合差的计算

按附合导线的要求，各边坐标增量代数和的理论值，应等于终、起两点的已知坐标值之差。因此，纵、横坐标增量闭合差可按下式计算

fx＝∑Δx测―（x终―x起） (5.23)

fy＝∑Δy测―（y终―y起） (5.24)

（四）测角交会点

交会法定点也是加密控制点的一种方法，适用于少量控制点的加密。交会定点包括前方交会、侧方交会、后方交会和边长交会等几种，采用测边交会和测角交会时，其交会角应在30°～150°之间，施测技术要求与图根导线一致。这里仅介绍前方交会和后方交会两种方法。

1、前方交会

如图5.8所示，A、B为地面上两已知点，分别在A、B点安置仪器，观测水平角α和β，根据A、B点的已知坐标，则可用下列公式直接用计算器求得未知点P的坐标。

xp＝(xA2ctgβ＋xB2ctgα－yA＋yB)/(ctgα＋ctgβ) (5.25)

yp＝(yA2ctgβ＋yB2ctgα＋xA－xB)/(ctgα＋ctgβ) (5.26)

使用上式时要特别注意已知点的编号应如图5.8所示，为了检核，一般要求布设有三个已知点组成的前方交会。

图5.8

2.后方交会

如图5.9所示，如果已知点距离待定点较远，也可以在待定点P上瞄准三个已知点A、B、C，观测α及β角，根据计算公式计算出待定点P的坐标，这种方法称为后方交会法。

后方交会法选点时不必到达已知点上，也不必在已知点上观测，只需在所求点上安置一次仪器，即可完成外业测角任务，可以随选随测，比较节省时间。但是，后方交会法的计算比前方交会法复杂，可靠性也比前方交会法差一些。

图5.9

采用后方交会法计算待定点P的坐标的公式很多，下面介绍其中的一种。这种计算方法的基本思路是：根据三个已知点的坐标(xA，yA)、(xB，yB)、(xC，yC)及两观测角值α、β，先计算一个已知点至待定点P的坐标方位角，然后根据此坐标方位角，不用边长而求出该已知点至待定点的坐标增量，最后由坐标增量求出待定点P的坐标xP和yP。计算中，设

N1＝(xA－xC)＋(yA－yC)ctgα

N2＝(yA―yC)―(xA―xC)ctgα

N3＝(xB―xC)―(yB―yC)ctgβ

N4＝(yB－yC)＋(xB－xC)ctgβ

则 tgαCP＝(N3―N1)/(N2―N4) (5.27)

ΔxCP＝(N1＋N2tgαCP)/(1＋tg2αCP)＝(N3＋N4tgαCP)/(1＋tg2αCP) (5.28)

ΔyCP＝ΔxCP.tgαCP (5.29)

待定点P的坐标：

XP＝xC＋ΔxCP (5.30)

YP＝yC＋ΔyCP (5.31)

选择后方交会点P时，若P点刚好选在过A、B、C的圆周上，无论P点位于圆周上任何位置，所测得角值都是不变的，因此，P点位置不定，测量上把该圆叫做危险圆。P点若位于危险圆上则无解。因此，选点时应使P点距危险圆周的距离大于该圆半径的1/5。

为了进行检核，须在P点观测第四个方向K，测得ε测角。同时，由P点坐标以及B、K点坐标，按

坐标反算公式求得αPB及αPK。计算出ε算＝αPK－αPB，以及较差Δε＝ε算－ε测，一般规范规定Δε″≤M2ρ″/100002S，式中M为测图比例尺分母，S为检查边边长，以米为单位。

二、高程控制测量

（一）图根水准测量

图根水准测量用于测定测区首级平面控制点和图根点高程。图根水准测量的水准路线形式可根据平面控制点和图根点在测区的分布情况布设，其观测方法及记录计算，参阅第2章相关内容。

（二）图根三角高程测量

当使用水准测量方法测定控制点的高程有困难时，可以采用三角高程测量的方法。

1、三角高程测量的原理

三角高程测量是根据两点间的水平距离和竖直角计算两点间的高差，再计算所求点的高程。

如图5.10所示，已知A点高程HA，欲测定B点高程HB，可在A点安置经纬仪，在B点竖立标志，用望远镜中丝瞄准标志的顶点，测得竖直角α，量取仪器横轴至地面点的高度I（仪器高）和标志高V,再根据AB之水平距离D，即可算出AB两点间的高差：

hAB＝D2tgα＋i－V （5.32）

B点的高程为：

图5.10

HB＝HA＋hAB＝HA＋D2tgα＋i－V （5.33）

2、三角高程测量的实施与计算

三角高程测量一般应进行往返观测，即由A向B观测，再由B向A观测，这样的观测称为对向观测。对向观测可以消除地球曲率和大气折光的影响。

观测时，安置经纬仪于测站上，首先量取仪器高i和标志高v，读数至0.5cm，量取两次结果之差不超过1cm，取其平均值至1cm。然后用经纬仪观测竖直角，完成往测后，再进行返测。

计算时，先计算两点之间的往返高差，符合要求取其平均值，作为两点之间的高差。当用三角高程测量方法测定平面控制点的高程时，要求组成闭合或附合三角高程路线，在闭合差符合要求时，按闭合或附合路线计算各控制点的高程。

小结

1．测量控制网的建立

遵守从整体到局部，先控制后碎部这样的程序开展测量工作，首先进行控制测量建立测量控制网，这样可以避免测量误差累积，保证测图和施工放样的精度均匀，同时，通过控制网的建立，将一个大测区分成若干小测区，各小区的测量工作可同时进行，以提高工作效率。加快工作进度，缩短工期。还可以节省人力、物力、节省经费开支。

2．坐标正算

以知直线的水平距离、坐标方位角和一个端点的坐标，求算直线另一端点的坐标的工作称为坐标正算。

3．坐标反算

已知直线两个端点的坐标，求算直线的水平距离和坐标方位角的工作称为坐标反算。

4．建筑坐标系

由于在建筑施工场地上设计的各建筑物、构筑物常常依照互相平行或者互相垂直的关系排列，若使用一种与建筑物主要轴线平行或垂直的坐标系来描述建筑物或构筑物的位置，无论是建筑设计或施工测量计算都非常方便。这种与建筑物主要轴线平行或垂直的坐标系就称为建筑坐标系。

作者：QQ：908937968