痛点五导数中的综合问题(解析版)

痛点五导数中的综合问题

一、单选题 1．函数()()

1x f x x -=

-的大致图象是（）．

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】由题意可知，()()

1x f x x -=

-的定义域为{}|1x x ≠，令()()

01x f x x -=

=-，得12

x =，排除选

项D ；又()()

()

211x x f x x --'=

-，当()(),01,x ∈-∞+∞时，()0f x <′

，所以()f x 在区间(),0-∞和()1,+∞上单调递减；当 ()0,1x ∈时，()0f x >′，所以()f x 在区间()0,1上单调递增；结合图像可知选项A 正确. 2．已知()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=-，则1f e ??

'= ???

（） A ．12e

B ．2e -

C ．2e --

D ．12e

【答案】B

【解析】()()21ln f x xf x '=-，则()()'

121f x f x '=-

，取1x =，则()()1

1211

f f ''=-，则()11f '=，故()12f x x '=-

，12f e e ??

'=- ???

. 3．已知函数()ln k

f x x x

=+（k ∈R ）若对任意120x x >>，()()1212f x f x x x -<-恒成立，则k 的取值范围是（）

A ．1,4??+∞????

B ．1,4??+∞

???

C ．(0,)+∞

D ．[)0,+∞

【答案】A

【解析】条件等价于对任意120x x >>.()()1122f x x f x x -<-恒成立，设()()ln k

h x f x x x x x

=-=+-（0x >）.则()h x 在(0,)+∞上单调递减，则21()10k

h x x x

--≤在(0,)+∞上恒成立，得2

1124k x x x ??≥-+=--+ ??

?（0x >）恒成立，∴14k ≥（对14k =，()0h x '=仅在12x =时成立），

故k 的取值范围是1

,4??+∞????

4．已知函数()2b

f x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*

12n f n ????∈??+????

N 的前n 项和是（）

A ．1

n +

B ．()121n n -+

C ．()

22n

n +

D ．

()()

12n

n n ++

【答案】C

【解析】()2b f x x ax =+，()

223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =??=?，得31

a b =??=?，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴

===-+++++++，因此，数列()()*12n f n ????∈??+???

?N 的前n 项和1111

112334

n S n n =

-+-++

-++()112222n n n =-=

++.

5．若函数()f x 的定义域是R ，()02f =，()()1f x f x '+<，则不等式的()1x

e f x e >+的解集为（） A ．(),0-∞ B ．()(),11,-∞-+∞

C ．()0,∞+

D ．()(),00,-∞?+∞

【答案】A

【解析】构造函数()()1x

g x e f x e =--，则不等式()1x

e f x e >+可转化为()0g x >，则

()()()''x x x g x e f x e f x e =+?-()()'1x e f x f x =+-????，∵()()'1f x f x +<，

∴()()()''10x

g x e f x f x =+-

g x e f x e =--在R 上单调递减，∵()02f =，

∴()()0

0010g e f e =--=，则()0g x >的解集为(),0-∞，则不等式()1x

e f x e >+的解集为(),0-∞.

6．曲线1C ：2y x 与曲线2C ：ln y x =公切线的条数是（）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】设公切线与2y

x 的切点为()

11,x x ，公切线与ln y x =的切点为()22,ln x x ，2y

x 的导数为

2y x '=；ln y x =的导数为1y x

，则在切点()

211,x x 处的切线方程为()

1112y x x x x -=-，即211

2y x x x =-，则在切点()22,ln x x 处的切线方程为()222

1ln y x x x x -=

-，即

221

ln 1y x x x =+- 12212

121ln x x x x ?

=?∴??=-?，整理得到211ln 1ln 2x x -=+，令2

()ln ,(0,)f x x x x =-∈+∞，则

2121()2x f x x x x -'=-=，2()02f x x '>?>；2()002f x x '

上单调递减，在区间2,2??+∞ ? ???上单调递增，min 211

()ln 21ln 2222f x f ??==+<+ ? ???

，即函数

()f x 与1ln 2y =+的图象，如下图所示

由图可知，函数()f x 与1ln 2y =+有两个交点，则方程2

11ln 1ln 2x x -=+有两个不等正根，即曲线1C ：

x 与曲线2C ：ln y x =公切线的条数有2条。

7．若函数()2

ln f x x x bx =+-在[

)1,+∞是增函数，则b 的最大值是（） A ．3

B ．22

C ．2

D 2

【答案】A 【解析】

()2ln f x x x bx =+-，则()1

2f x x b x

+-，由题意可知()0f x '≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，则12b x x ≤+.对于函数12y x x =+，222

121

20x y x x

-'=-=≥对于任意的[)1,x ∈+∞恒成立，所以，函数12y x x =+

在区间[)1,+∞上单调递增，所以，函数12y x x

=+在x=1处取得最小值，即min 3y =，3b ∴≤.因此，实数b 的最大值为3.

8．已知函数()f x 的定义域为[]1,4-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()'y f x =的图象如图所示.当

01a <<时，函数()()()22

21y f x a f x a a =-+++的零点个数为（）

-1 0 2 3 4 ()f x 1

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【答案】D

【解析】由导函数的图像和原函数的关系得，原函数的大致图像如图：

()()()()()11,02,20,32,40f f f f f -=====，函数()()()()()()22211y f x a f x a a f x a f x a =-+++=--+????????，

令0y =，得()f x a =，或()1f x a =+，当01a <<时，()y f x =与y a =有三个交点，当01a <<时，即112a <+<，()y f x =与1y a =+有四个交点，所以()()()2

21y f

x a f x a

a =-+++的零点有7个.

9．设函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则()2f x 的取值范围是( ) A ．12ln 20,

4+??

???

B ．12ln 2,

4-?

?-∞ ??? C ．12ln 2,4+??+∞ ??? D ．12ln 2,04-??

???

【答案】D

【解析】由题意函数()f x 定义域为()0,∞+，2

22()22a x x a

f x x x x

-+=-+=

.()f x 有两个极值点1x ，

2x ，且12x x <，'()0f x ∴=有两个正实根1x ，2x ，即方程2220x x a -+= 有两个正实根1x ，2x ，且12x x <，

1212480,1,2a a x x x x ∴?=->+==

，102

a ∴<<，且2112x <<.()2

12222222122a x x x x x x ∴==-=-. ()()22222222212122ln 12f x x x x x x x ??

∴=-++-<< ???

设()()22

12122ln 12g t t t t t t t ??

=-++-<<

???

，则()()()()'21

2224ln 2224ln g t t t t t t t t t

=-+-+-?

=-.1

1,240,ln 02

t t t <<∴-<<, ()()'0,g t g t ∴>∴在1,12?? ???

上单调递增，()()112g g t g ??∴<< ???，即()12ln 2

04g t -<<，

即

()212ln 2

x -<<.

10．设曲线()4ln f x x =在点()1,0处的切线上有一动点P ，曲线()2

32ln g x x x =-.上有一点Q ，则线段PQ 长度的最小值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】

()10f =，()4

f x x '=

，∴切线斜率()14k f '==，故曲线()f x 在()1,0处的切线方程为440x y --=.又()26g x x x

'=-，令264x x -=，则1x =或1

3x =-（舍去）.又()13g =，故g （x ）

在()1,3处的切线方程为410x y --=，与直线440x y --=平行，这两条平行线间的距离为d =

，

故线段PQ长度的最小值为317

11．已知关于x的方程为

22 (

3)2

3(3)

e x

e e

=+-则其实根的个数为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】将方程

(3)2

3(3)

e x

e e

=+-变形为

332

(3)

x e

e e x e

,设

=，即

e t e

=+，则22230

e t et

--=，解得

=-或

=，设

()

f x

=，则

2(3)(3)(1)

()

x x

x x x x

f x

e e

----+

'==

所以()

f x在(,1)

-∞-上单调递减，在(1,3)

-上单调递增，在(3,)

+∞上单调递减.又(1)2

f e

-=-，3

(3)

=，且当3

x>时，()0

f x>，所以函数()

f x的大致图像如下,

所以由

=-或

=，即

231

e e

==-有2个根，

233

e e

==有1个根.所以方程

(3)2

3(3)

e x

e e

=+-有3个实数根.

12．已知函数()2

2ln,0

x x x x

f x

x x x

--≤

的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1

y=的对称点在10

kx y

+-=的图象上,则实数k的取值范围是( )

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】直线10

kx y

+-=关于直线1

y=的对称直线为10

kx y

-+-=，则直线10

kx y

-+-=与

()y f x =的函数图像有4个交点，当0x >时，()1ln f x x '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e

>时，()0f x '<，∴()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线10

kx y -+-=的函数图像，如图所示：

设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切，切点为()11,x y ，则111

111ln 2ln 1x k

x x x kx -=??

-=+? ，解得11,1x k ==，设直线1y kx =+与()2

302y x x x =--<相切，切点为()22,x y ，则22222322312x k x x kx ?

--=????--=+??，解得

1,2

x k =-=

，1y kx =+与()y f x =的函数图像有4个交点，∴直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和

()0,∞+上各有2个交点， 1

k ∴

<<。二、填空题 13．函数()f x x x a =

+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实

数a 的值为________. 【答案】6-或2 【解析】因为()f x x x a =

+，所以()2f x x x

，代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率(1)1k f '==.又(1)f a =，所以切点坐标为(1,)a ，所以函数()f x x x a =

+的图象，在1x =处的切

线方程为1y x a =+-.又因为圆22

:2440C x y x y +-+-=，圆心坐标为(1,2)-，半径为3，所以圆心到

切线的距离2d =.因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则2

132+=，

解得实数a 的值是6-或2.

14．已知函数()()1

0x e x

f x x x

-+=>,()285g x x x =---,实数0a b <<,若()10,x ?∈+∞使得对

[]2,x a b ?∈,都有()()12f x g x =成立,则b a -的最大值为__________.

【答案】6

【解析】()285g x x x =---()2

411x =-++，()x e x f x x +=,0x >,又()()1'2

1x e x f x x --=,0x >

故()f x 在0,1单调递减,在1,

单调递增，()()min 12f x f ==，又因为对任意[]2,x a b ∈,存在

()10,x ∈+∞,使得()()12f x g x =，则只需要()22g x ≥,令()2g x =,得2852x x ---=,7x =-或1x =-，

由a b <,可得[],7,1a b ∈--,且a b <，所以()max 6b a -=.

15．设函数()sin cos f x ax x x =++．若函数()f x 的图象上存在不同的两点A 、B ，使得曲线()y f x =在点A 、B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为_____．【答案】[]1,1-

【解析】由()sin cos f x ax x x =++，则()cos sin 24f x a x x a x π?

=+-=--

'， ()22a f x a ≤'∴≤()y f x =的图象上存在不同的两点A 、B ，使得曲线()y f x =在

点A 、B 处的切线互相垂直，则()()min max 1f x f x ''?≤-，即(221a a ≤-，即2

10a

-≤.

解得11a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]1,1-.

16．已知函数()()ln ,02,0,x x

x f x x x e x ?>?

=??+≤?

若函数()()g x f x a =-的零点有2个或3个，则实数a 的取值范

围为_____．【答案】3

11,e e ??

????

【解析】0x >时，ln ()x

f x x

，2

1ln ()x f x x -'=，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 递减，且此时()0f x >，0x ≤时，()(2)x f x x e =+，()(3)x

f x x e '=+，当(3,0)

x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增，当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 递减，且此时()0f x <，所以()f x 极小值31

(3)f e =-=-

，()f x 极大值1()f e e

==，(0)2f =，在0x >且0x →，()f x →-∞， ()f x 的示意图如图所示，所以当它与y a =有2个或3个交点时，311

a e e

-≤≤．

三、解答题

17．已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R 的图象过原点，且在原点处的切线与直线0x ＝垂直．2()x g x ax x xe =++（e 为自然对数的底数）．（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若对任意的()0x ∈+∞，

，总有()()f x g x kx -＜成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）[2,)-+∞. 【解析】（1）依题意，(0)0f =，即0c

，故2()32f x x ax b '=++，由在原点处的切线与直线0x =垂直

可知，(0)0f '=，则0b =，322

2(),()323()3

f x x ax f x x ax x x ∴=+'=+=+

， ①当0a =时，()0f x '≥在x ∈R 上恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递增；

②当0a >时，由()0f x >′解得0x >或23

a x <-，由()0f x <′解得203a

x -<<，此时函数()f x 在2,3a ?

?-∞-

???，(0,)+∞上单调递增，在2,03a ??

- ???

上单调递减； ③当0a <时，由()0f x >′解得23

a x >-或0x <，()0f x '<解得203a

x <<-，

此时函数()f x 在(,0)-∞，2,3a ??-

+∞ ???上单调递增，在20,3a ?

?- ??

?上单调递减；

（2）由（1）可知，3()()x f x g x x x xe -=--，则3x x x xe kx --<对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，

0x ，21x k x e ∴>--在(0,)x ∈+∞上恒成立，设2()1(0)x h x x e x =-->，则()2x h x x e '=-，令

()2x x x e μ=-，则()2x x e μ'=-，由()0x μ'=解得ln 2x =，易知当(0,ln 2)x ∈时，()0x μ'>，()h x '单调

递增，当x (ln 2,)∈+∞时，()0x μ'<，()h x '单调递减，()(ln 2)2ln 220h x h '∴'=-<，()h x ∴在(0,)+∞上单调递减，()(0)2h x h ∴<=-，2k ∴≥-，即实数k 的取值范围为[2,)-+∞．

18．已知函数(),a

f x ax x =-函数()

g x clnx =与直线y x e

2=相切，设函数()()(),h x f x g x =-其中a 、c ∈R ，

e 是自然对数的底数. （1）讨论h (x )的单调性；

（2）h (x )在区间1(,2)2

内有两个极值点. ①求a 的取值范围；

②设函数h (x )的极大值和极小值的差为M ，求实数M 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2）①415a <<②12(0,4ln 2)5

- 【解析】()1设直线2

y x e

与函数()g x clnx =相切与点()00,P x clnx ，函数()g x clnx =在点()00,P x y 处的切线方程为：()000ln c y c x x x x -=

-，02c x e

=，把0x =，0y =代入上式得0x e =，2c =．所以，实数c 的值为2．

所以()2ln a h x ax x x =--，0x >，则()222

22'a ax x a

h x a x x x

-+=+-=，当0a ≤时, 22

(1)2()0a x x

h x x

+-'=<，故函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，无增区间，

当1a ≥时，2

20y ax x a =-+≥，()22

2'ax x a

h x x

-+=，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，无减区间，

当01a <<时，令()22

2'0ax x a h x x -+==，

解得120x x <=<=所以当10x x <<或2x x >时，()0h x '>，当12x x x <<时，()0h x '<，所以函数()h x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)

x x 上单调递减.

综上，当0a ≤时，函数()h x 在(0,)+∞上单调递减；当1a ≥时，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，函数()h x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.

()2①由()1知()2ln a h x ax x x

=--，设函数()()()h x f x g x =-在区间1(,2)2

内有两个极值点1x ，

212()x x x <，令()22222'0a ax x a h x a x x x

-+=+-==，则220ax x a -+=，设()22m x ax x a =-+ 因为121x x =，故只需()0,

20,20,

a m ?>???

?>??

，所以，4

15a <<． ②因为121x x =，所以()()121122122ln 2ln a a

M f x f x ax x ax x x x ??=-=-

---- ???

11111

112ln 2ln a a ax x ax x x x ??

---- ???2111222ln a ax x x =--．由21120ax x a -+=，得12121x a x =+，且1112

x <<．1222

21111112211122211122ln 4ln 112x

x x x M x x x x x x ??+-=--=- ?++??

．设2

x t =，114t <<，令()114ln 12t t t t ?-??

=- ?+??， ()222

212(1)'40(1)2(1)t t t t t t ???--=-=< ?++??

， ()t ?在1,14??

???

上单调递减，从而()()114t ?????<< ???，所以，实数M 的取值范围是12(0,4ln 2)5-.

19．已知函数1()f x ax x =+，()1x

e g x x

=-.

（1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当1

a =

时，设(,)P x y 为函数()1ln

((0,))()1x g x y x x f x ?-=∈+∞?-图象上任意一点.直线OP 的斜率为k ，求证：01k <<.

【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析

【解析】（1）∵1()f x ax x =+，∴222

()ax f x a x x

-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '=

，得x =(舍负)

当x ?∈ ??时，()0f x '<，函数

()f x 单调递减，

当x a ??

∈+∞ ? ???

时，()0f x '>，函数

()f x 单调递增. （2）证明：由已知，即证0y x <<.∵2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ?---==?-，∴即证2

0ln 12

x e x x x --<<，

①设21()12

x h x e x x =---，∴()1x h x e x '=--， ∴()1x

h x e ''=-，∵(0,)x ∈+∞，

∴()10x h x e ''=->，∴()h x '

为增函数∴()1(0)0x h x e x h ''=-->=，∴()h x 为增函数

∴21()1(0)02x h x e x x h =--->=，∴21102x e x x --->，即2112

e x x -->，即21112

x e x x -->，

∴2

1ln 012

x e x x -->，即0y >， ②构造函数21()12x x s x e x x e =---，∵21()12

x x

x s x e xe x e '=---，

21()22x x s x xe x e ''=--， ∴21

()202

x x s x xe x e ''=--<，∴()s x '在(0,)+∞上为减函数，

∴()(0)0s x s ''<=，∴()s x 在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s <=，∴2112

x e x x e --<，

∴2112x x

e x e x --<，即2

1ln 12

x e x y x

x --=<成立.由①②可知0y x <<， ∴01k <<成立.

20．已知函数2

1()(1)2,2

f x x e ax ax a R =++

+∈ （Ⅰ）讨论()f x 极值点的个数；

（Ⅱ）若00(2)x x ≠-是()f x 的一个极值点，且2

(2)f e -->，证明：0()1≤f x

【答案】（Ⅰ）当2a e -=-时,()f x 无极值点；当0a ≥时,()f x 有1个极值点；当20e a --<<或2a e -<-,()f x 有2个极值点.（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）由题得,()f x 的定义域为R ,()(2)()x f x x e a '=++

ⅰ.若0a ≥,则0x e a +>,所以当(,2)x ∈-∞-时,()0,()f x f x '<单调递减, 当(2,)x ∈-+∞时,()0,()f x f x '

>单调递增.

所以,2x =-是()f x 唯一的极小值点,无极大值,故此时()f x 有且仅有1个极值点.

ⅱ. 0a <,令12()(2)()02,ln()x

f x x e a x x a '=++=?=-=-

①当2a e -<-时,12x x <,则当12(,),(,)x x x ∈-∞+∞时,()0,()f x f x '

>单调递增, 当12(,)x x x ∈,()0,()f x f x '

<单调递减.

所以,12,x x 分别是()f x 极大值点和极小值点,故此时有两个极值点.

②当2a e -=-时,12x x =是()(2)()x

f x x e a '=++的不变号零点,且()0f x '≥

故此时()f x 在R 上单调递增,无极值点.

③当20e a --<<时,12x x >,则21(,),(,)x x x ∈-∞+∞时,()0,()f x f x '

>单调递增,

当21(,)x x x ∈时,()0,()f x f x '

<单调递减.所以,12,x x 分别是()f x 极小值点和极大值点,此时()f x 有2个极

值点.综上,当2a e -=-时,()f x 无极值点；当0a ≥时,()f x 有1个极值点；当20e a --<<或2a e -<-,()f x 有2个极值点.

（Ⅱ）证明：若0x 是的一个极值点,由（Ⅰ）知,20e a --<<或2a e -<-,且222

(2)2f e a e a e ----=-->?<-,

201

()(ln())[ln ()2ln()2]2f x f a a a a ∴=-=

-+--,令ln()(2,)t a =-∈-+∞,则2a e -=-,所以21()(ln())(22)2t g t g a e t t =-=-+-，故21

()(4)002

t g t t t e t '=-+=?=，所以,当(2,0)

t ∈-时,()0,()'

>g t g t 单调递增；当(0,)t ∈+∞时,()0,()'

最大值点,即 ()(0)1g t g ≤=.从而(ln())1f a -≤,即0()1≤f x .

21．已知函数()()2e 12e x x

f x a a x =+--.

（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个不同零点1x ，2x ，证明：1a >且120x x +<. 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.

【解析】（1）()()()()

22e 12e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+.因为0a <，由()0f x '=得0x =或1ln 2x a ??=- ???

i ）1ln 02a ??

-< ???即12

a <-时，()f x 在1,ln 2a ????-∞- ? ?????单调递减，在1ln ,02a ????- ? ?????单调递增，在()0,∞+单

调递减；

ii ）1ln 02a ??

-= ???即12

a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调递减；

iii ）1ln 02a ??

-> ???即102

a -<<时，()f x 在(),0-∞单调递减，在10,ln 2a ????- ? ?????单调递增，在1ln ,2a ????-+∞ ?

?????单调递减. （2）由（1）知，12

a <-

时，()f x 的极小值为111ln 1ln 10242f a a a ??????

-=--->> ? ? ???????， 1

02a -<<时，()f x 的极小值为()0110f a =->>，12

a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调，故0a <时，()f x 至多有一个零点.当0a ≥时，易知()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增. 要使()f x 有两个零点，则()00f <，即120a a +-<，得1a >.令()()()F x f x f x =--，（0x >），

则()()()F x f x f x '''=+-()()22e 12e 1x x a a =+--()()

22e 12e 1x x

a a --++--

()()()2e e 1e e 2e e 20x x x x x x a ---=+++-++-≥，所以()F x 在0x >时单调递增，()()00F x F >=，

()()f x f x >-.不妨设12x x <，则10x <，20x >，20x -<， ()()()122f x f x f x =>-. 由()f x 在(),0-∞单调递减得，12x x <-，即120x x +<. 22．已知函数()()2

f x e x a x =-++.

（1）当0a =时，求()f x 在点()()

1,1f 处的切线方程；

（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；

（3）证明：当0x >时，不等式()2421

ln ln 212x e e x x x

+--≥++成立.

【答案】（1）()21y e x =-+；（2）[)2ln 22,-+∞；（3）证明见解析

【解析】（1）0a =时，()2

f x e x =-，∴()'2x

f x e x =-，∴()'12f e =-，()11f e =-，

∴切线方程为()21y e x =-+.

（2）由题可知()'20x

f x e x a =-+≥在R 上恒成立，∴2x e x a -≥-恒成立，

设函数()2x

g x e x =-，则()'2x

g x e =-，令()'0g x =得ln 2x =，

当ln 2x <时()'0g x <，当ln 2x >时()'0g x >，∴()g x 在(),ln 2-∞单调递减，在()ln 2,+∞单调递增， ∴()()min ln 222ln 2g x g ==-.∴22ln 2a -≥-，∴a 的取值范围是[)2ln 22,-+∞.

（3）首先证明：当0a =时，()()21f x e x ≥-+.设()()()21h x f x e x =---，则()'22x

h x e x e =--+，

()''2x h x e =-.易得：()'h x 在()0,ln 2单调递减，在()ln 2,+∞单调递增.又()'030h e =->，()'10h =，0ln 21<<，∴()'ln 20h <.所以存在()00,ln 2x ∈使得()0'0h x =.∴当()00,x x ∈时()'0h x >，当

()0,1x x ∈时()'0h x <，当()1,x ∈+∞时()'0h x >.∴()h x 在()00,x ，()1,+∞单调递增，在()0,1x 单调

递减，∵()()010h h ==，∴()0h x ≥在()0,∞+都成立，即0a =时()()()210f x e x x ≥-+>恒成立.

即()2

21x

e x e x -≥-+，变形得：()21

x e e x x x

---≥，

设()1ln k x x x =--，()1'1k x x =-，()'10k =， ∵当()0,1x ∈时，()'0k x <，当()1,x ∈+∞时，()'0k x >，∴()()min 10k x k ==，

∴ln 1x x ≤-，即ln 1x x ≥+，∴()21ln 1x e e x x x

+--≥+，

将x 替换成2x 得2(42)1

ln ln 212x

e e x x x +--≥++.

高三数学培优补差辅导专题讲座-集合、函数与导数单元易错题分析与练习p

集合与函数、导数部分易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{}1|2-=x y x 、{ }1|2-=x y y 、{}1|),(2-=x y y x 的区别是什么？ 4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：()0122>--b x a ？ 6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？ 7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 什么是映射、什么是一一映射？ [问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作个A 到B 上的映射，那么可以作个 A 到 B 上的一一映射. 9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ [问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]() 22x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位） [问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,132图象与()11+=-x f y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =. 10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是：。 12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法） 13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？ [问题]：写出函数)0()(>+=m x m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？ [问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗？例题讲解 1、忽略φ的存在：例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围．【错解】A ?B ?? ?≤-+≤-?5 1212m m ，解得：33≤≤m －【分析】忽略A =φ的情况.

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

导数中的易错题

第20练导数中的易错题一、选择题 1．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是( ) A ．(0，π 3] B ．[π3，π 2) C ．(π2，2π 3 ] D ．[π 3 ，π) 2．(优质试题·福建福州三中月考)已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3 的图象上，则过点A 的曲线C ： y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0 C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0 D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0 3．(优质试题·兰州诊断)在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则以下结论正确的是( ) A ．△OAB 的面积为定值2 B ．△OAB 的面积有最小值3 C ．△OAB 的面积有最大值4 D ．△OAB 的面积的取值范围是[3,4] 4．若函数f (x )＝2x 2 －ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，3 2) C ．[1,2) D ．[3 2 ，2) 5．若函数y ＝x 3 －3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1

C ．2 4或a <1 6．已知函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋x ＋2 (a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[3，2) D ．(3，2) 7．如果函数f (x )＝13x 3－x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤a 2 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．[－ 63，63 ] B ．[－233，23 3] C ．(－∞，－ 63]∪[6 3 ，＋∞) D ．(－∞，－233]∪[23 3 ，＋∞) 8．(优质试题·景德镇质检)已知f (x )＝ax ＋a －2 x ＋2－2a (a >0)，若f (x )≥2ln x 在[1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 二、填空题 9．若函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________________． 10．函数f (x )＝ax －cos x ，x ∈[π4，π3]，若?x 1，x 2∈[π4，π3]，x 1≠x 2，f ?x 2?－f ?x 1? x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝ax 3 ＋x 恰有3个单调区间，则a 的取值范围为________． 12．已知函数f (x )＝e x 1＋ax 2(a >0)，若f (x )为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是 ________.