高等数学试卷A 试题及答案解析

郑州轻工业学院

2009-2010学年第二学期高等数学试卷A

试卷号：A20100621（1）

一、单项选择题（每题3分，共15分）

1．设函数3

()=f x x x +，则定积分22

()=f x dx -?

（ A ）

(A) 0； (B) 8； (C)

2

()f x dx ?

； (D) 20

2()f x dx ?．

2．设D 是圆域2

21,x y +≤ 函数f 为D

上的连续函数，则D

f dxdy =??( A )

（A ）102()f d πρρρ?； （B ） 1

4()f d πρρρ?；

（C ）1

20

2()f d π

ρρ?

； （D ） 0

4()f d ρ

πρρρ?．

3．微分方程x

xe

y y 2'2=-''的特解y *的形式为 ( A )

（A ）x

e b ax x 2)(+；（B ）x

e

b ax 2)(+；（C ）x xe 2；（D ）x

e c bx ax 22)(++．

4．曲面3

2

2

211x xy xz y z ---=在点(3,1,-2)处的法线方程是( D )

（A ）1831321211x y z +-+==-； （B ）3

1

2

21211x y z --+=

=； （C ）1831321211x y z +-+==； （D ）31

2

21

211

x y z --+=

=-． 5．下列级数中收敛的是 ( D )

（A ）

∑∞

=11

n n

n

n

； （B ）

∑∞

=++1

)2(1

n n n n ； （C ）∑∞

=?123n n

n n ； （D ）2

4

(1)(3)n n n ∞

=-+∑． 二、填空题（每题3分，共15分）

1．微分方程02=-'+''y y y 的特征方程为 220r r +-= ．

2．设L 是曲线2

2

2

x y a +=，则对弧长的曲线积分22

)L

x y ds +=?

（32a π．

3．设()f x 是以2π为周期的函数，且0,0

()1,0x f x x ππ-≤

，若()S x 是()f x 的以2π为

周期傅里叶级数的和函数，则(0)S = 1/2 ，(1)S = 1 ，(3)S π= 1/2 ．

4．设函数sin 0

()x

t F x e dt =

?

，则'()F x =sin cos x e x ．

5．如果幂级数

(1)

n

n n a x ∞

=-∑的收敛半径是1，则该级数在开区间(0,2)内绝对收敛．

三、解答题（每题6分，共36分）

1．计算定积分

2

()f x dx ?

，其中)(x f =???-x x 22 2

11

0≤<≤≤x x ．

原式2

1

2

2

001

()(2)f x dx x dx x dx =

=+-???135

=2326

+-= 2．求微分方程1sin 'x

y y x x

+=的通解．

法一：方程为一阶线性非其次微分方程，利用通解公式

11

sin ()dx dx x x x y e e dx C x -

??

=+?ln ln sin ()x x x e e dx C x

-=+?

11

(sin )(cos )x dx C x C x x

=

+=-+? 法二：先求其次通解 111

'y y dy dx x y x

=-

?=- 两边积分得 ln ||ln ||ln 'y x C =-+，即有 '

C y x

=

… 常数变易法 令()u x y x =，则有 2

'()()

'xu x u x y x

-=，代入微分方程得 2

1'()()()sin ''()sin xu x u x u x x y y u x x x x x

-++==?= 所以 ()cos u x x C =-+，故通解为 cos x C

y x

-+=

3．求曲线2

3

2,,9x t t y t z t t =-==-上的点，使曲线在该点处的切线垂直于平面

2310x y z --+=。

在t 处的切向量为2

(22,1,39)T t t =--u r ，平面的法向量为(2,1,3)n =--r

因为 ||T n u r r ，所以222139

213

t t --==--，解得 2t =，故得所求点为(0,2,10)-。 4．设函数)ln(2

2

2

z y x u ++=，求

,u u u

x y z

??????，及du 。

222222222222=,u x u y u z x x y z y x y z z x y z

???==?++?++?++， ， 所以 222

2()

xdx ydy zdz du x y z ++=

++。

5．交换二次积分

22

sin y

x

dy dx x

π

π

??的积分次序，并计算其值。 2220

00sin sin x y

x x dy dx dx dy x x

π

π

π=?

?

?? []2200sin cos 1xdx x ππ==-=? 6．计算

?-+++-L

dy y x dx y x )653()42(，

其中L 为点)0,1(),1,1(),0,0(B A O 所围成的三角形的边界（按逆时针方向）．

24,356,

P x y Q x y =-+=+-4Q P

x y

??-=??， 利用格林公式 原式1

4422

D

dxdy =

=?

=??， 四、（本题满分7分）用拉格朗日乘数法求解下面的问题：隧道截面的上部为半圆，下部为矩形，若隧道截面的周长L 固定，问矩形的边长各为多少时，隧道截面的面积最大？ 法一：设隧道截面的宽为2x ，矩形的高为y ，则隧道截面的面积

2122A xy x π=+，

且 22x y x L π++= ，令21

2(22)2

F xy x x y x L πλπ=++++-， 则

，解得 4

L

x y π==

+ ， 由于实际问题必定存在最大值，因此当隧道截面的宽为24L π+，矩形的高为4

L

π+时，隧道的截面面积最大。

法二：设隧道截面的宽为x ，矩形的高为y ，则隧道截面的面积

218A xy x π=+，且 1

22

x y x L π++=

令

211

(2)

82

F xy x x y x L πλπ=++++-，则

11(1)042

20

1

20

2x

y F y x F x F x y x L λπλπλπ?

=+++=??

=+=???=++-=?

， 解得 2244L L

x y x y ππ=?=

=

++， ， 由于实际问题必定存在最大值，因此当隧道截面的宽为24L π+，矩形的高为4

L

π+时，隧道的截面面积最大。

五、（本题满分10分） 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =以及x 轴围成平面图形D ，求：（1）D 的面积A ； （2）D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积V ．

(1)设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln (0,0x x 处的切线方程为

)(1

ln 00

0x x x x y -+

=， 由该切线过原点知 01ln 0=-x ， 可得e x =0，所以该切线方程为 x e y 1=

， 所求平面图形的面积为 ?-=-=1012

1

)(e dy ey e A y ．

(2)由于1

ln ,y y x x e y x x ey e

=?==

?=，所以 1

1

2

2

00()()y y V e dy ey dy ππ=-?? 21

22

0112362y e e e π

ππ??

??=-=- ?????

六、（本题满分7分） 计算

xdydz ydzdx zdxdy ∑

++??

，其中∑是锥面22

z x y =+ 被平面1z =所截的有限部分曲面的下侧．

,,,

3P Q R

P x Q y R z x y z

???===++=??? 补上平面22

1:11)z x y ∑=+≤（，取上则，由高斯公式

原式1

1

xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑∑=

++-++????

1

11

20

33130z

xy

D D dv zdxdy dz dxdy dxdy z dz πππΩ

∑=-=-==-=???????????

七、（本题满分10分）试求幂级数1n n x n ∞

=∑的收敛域及和函数，并求常数项级数11

2

n n n ∞

=∑的和．

1lim lim 111n n n n a n R a n ρ+→∞→∞===?=+ 1,x =-级数1(1)n n n ∞=-∑收敛，1,x =级数11

n n ∞

=∑发散，故收敛域为[1,1)- 设1()n n x S x n ∞

==∑，两边求导得1

1

1'(),||11n n S x x x x ∞

-===

<-∑，两边积分得 0011()(0)(1)ln(1)11x

x S x S dx d x x x x -=

=--=----??， 即()ln(1),[1,1)S x x x =--∈-，而级数1111112=(),[1,1)222n

n n n S n n ∞∞

===∈-∑∑（），故

1111

=()=ln(1)ln 22

22n

n S n ∞

=--=∑。