第章资产组合计算

第5章资产组合计算

资产组合是实务性比较强的内容，通过本章的学习，要求读者掌握协方差与相关系数之间的相互推导，熟悉资产组合基本理论，学会用MATLAB计算投资组合基本参数，如均值与方差、资产组合VaR，重点掌握资产组合有效前沿的计算，能够处理无风险利率以及借贷关系情况下的最优投资组合，会用MATLAB规划工具箱求解投资组合最优化问题。

资产组合基本原理

证券投资组合理论(Portfolio Theory)主要研究如何配置各种不同的金融资产，实现资产组合的最佳投资配置。1952年美国学者马克维茨创立了资产组合理论，该理论在实践中得到广泛运用。

收益率序列与价格序列间的转换

1．将收益率序列转换为价格序列

在处理金融时间序列时，有时需要把收益率序列转换为价格序列。在MATLAB中将收益率序列转换为价格序列的函数是ret2tick。

调用方式

[TickSeries,TickTimes]=ret2tick(RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime,Meth od)

输入参数

RetSeries %收益率序列

StartPrice %(0ptional)起始价格，默认值是1

RetIntervals %(0ptional)收益率序列的时间间隔，默认值是l

StartTime %(optional)价格开始计算的时间，默认值是0

Method %(Optionl)转换方法。Method='Simple'表示简单,)r 1(P p 1t t 1t +++=;Method ＝'Continous'表示连续法，1t r t 1t e P P +=+。 输出参数

TickSeries %价格序列

TickTimes %与价格对应的时间序列 例5-1己知资产收益率以及时间间隔如表所示

表 资产收益率及时间

起始价格为10元，起始时间为2000年12月18日，试求该资产价格时间序列，收益率采用离散方法。

在MATLAB 中执行以下命令：

RetSeries=[,,]';

RetIntervals=[182,91,92]'; StartPrice=10;

StartTime=datenum('18-Dec-2000');

[TickSeries,TickTime]=ret2tick(RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime)

datestr(TickTimes) ans = 18-Dec-2000 18-Jun-2001 17-Sep-2001 18-Dec-2001

这样就把收益率时间序列转换为价格时间序列，结果如表所示。

表 资产各时间的价格

2．将价格序列转换为收益率序列

MATLAB 中将价格序列转换为收益率序列的函数是tick2ret 。 调用方式

[RetSeries,RetIntervals]=tick2ret(TickSeries,TickTimes,Method) 输入参数

TickSeries %价格序列

TimeTimes % 价格序列对应的时间

Method

%(Optionl)计算收益率的，Method='Simple'表示算术收益率;Method ＝'Continous'表示连续法，即为对数计算法。

输出参数

RetSeries %收益率序列 RetIntervals %收益率时间间隔 例5-2已知股票的价格时间序列如表所示。

表 股票各时间对应的价格

求出该股票的收益率时日序列。 在MATLAB 中执行以下命令：

TickSeries=[100;110;115;110];

TickTimes=[0;6;9;12];

[RetSeries,RetIntervals]=tick2ret(TickSeries,TickTime)

协方差矩阵与相关系数矩阵间的转换

MATLAB中的corr2cov函数可以把相关系数矩阵转换为协方差矩阵

调用方式

Covariances=corr2cov(STDs,Correlations)

输入参数

STDs %标准差矩阵

Correlations %相关系数矩阵

输出参数

Covariance % 协方差矩阵

例5-3 已知资产组合中有3个品种，每个品种的资产收益率、标准差和相关系数如表所示。

表的相关数据

Returns=[,,];

STDs=[1,,];

Correlations=[1,,;,1,;,,1];

Covariances=corr2cov(STDs,Correlations)

资产组合收益率与方差

MATLAB中计算资产组合回报与方差的函数是portstats。

调用方式

[PortRisk,PortReturn]=portstats(ExpReturn,ExpCovariance,PortWts)

输入参数

ExpReturn % 期望收益率向量

ExpCovariance % 资产的协方差矩阵

PortWts % 资产权重向量

输出参数

PortRisk % 总资产的标准差

PortReturn % % 总资产的收益

例5-4 某资产组合中有3种资产A、B、C．组合中各资产的预期收益率分别为,,,权重分别为0．4,0．2,0．4，具体数据见程序

ExpReturn=[,,];

ExpCovariance=[,,;,,;,,]

PortWts=[,,;,,];

[PortRisk,PortReturn]=portstats(ExpReturn,ExpCovariance,PortWts)

PortRisk =

PortReturn =

从上述结果可以看到，这两个资产组合的标准差分别为、，资产回报分别,

例5-5假设资产组合中有5种资产，收益分别为，,,,，方差分别为,,,,,资产收益率各不相关，各资产权重分别为,,,,,计算该组合的收益率与方差。

returns=[0,1,,,,];

variances=[,,,,];

ws=[,,,,];

mean=sum(returns.*ws)

variance=sum(variance.*ws.^2)

资产组合VaR(Value At Risk)

一般被称为“风险价值”或“在险价值”，指在一定的置信水平下，某一金融资产(或证券组合）在未来特定的一段时间内的最大可能损失。假定JP摩根公司在2004年置信水平为

95％的日VaR 值为960万美元，具含义指该公司可以以以95％的把握保证，2004年某一特定时点上的金融资产在未来24小时内，由于市场价格变动带来的损失不会越过960万美元，或者说，只有5％的可能损失超过960万美元。与传统风险度量手段不同，VaR 完全是基于统计分析基础上的的风险度量技术，它的产生足JP 摩根公司用来计算市场风险的产物。

例5-6 假设投资者拥有两种资产，资产总价他为10000 000元，资产权重分别为1／4与3／4，这两种资产日波动率的均值分别为,，标准差分别为,，这两种资产之间的相关系数为，时间为10天，给定置信度为99％，求该资产VaR 。

首先求总资产方差，公式如下

其中，21w ,w 分别为资产组合权重，21σσ，为单个资产标准差，ρ为为这两种资产之间的相关系数。

一般地，可将式用向量与矩阵形式表示，记]w ,...,w ,w [w n 21=，表示各资产的权重，

],...,,[n 21σσσ=σ表示各种资产的标准差，资产协方差矩阵记入cov ，则式可以改写为如下形

式：

τσσ=σ))cov(w,(w. （）

记号τ表示向量转置。如果记σ=σ

.w ?，则有 有了资产组合方差，就可以计算出Var 数值。从正态分布表中可以查到对应于置信度99％(01.0=α)的3263.2Z 1=α-，在各种资产都是服从正态分布的假设下，资产Var 值为

σ?δ?δ?μ?=αt Z -t (Var -1总资产 （）

具体来讲，计算Var 的步骤如下。

第1步：输入资产权重向量w 、各资产的标准差sigma 、资产之间的相关系数cov ，注意协方差矩阵一定是对称矩阵，需要计算时间长度t δ。 第2步：权重向量点乘标准差向量。 第3步：计算资产总的标准差σ。

第4步：对于给定置信度α，查正态分布表找到α-1Z

第5步：计算Varmit 算Vat ，σ?δ?δ?μ?=αt Z -t (Var -1总资产 在Command 窗口中执行如下命令：

w=[1/4,3/4];ret=[,];sigma=[,]; corrcoef=[1,;,1];delta=10; pret=delta*dot(w,ret) sig=w.*sigma; tsig=sig*cov*sig'*delta; var=10^7**sqrt(tsig))

10天VaR 值为649 300元。

实际上MATLAB 中有专门计算Var 值的函数，MATLAB 巾的portrisk 函数可以计算资产组合Var 值，注意输入总资产期望收益与标准差，而不是组合中各种种资产的预期收益率与标准差。 调用方式

ValueAtRisk=portrrisk(PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue) 输入参数

PortReturn %总资产的回报 PortRisk % 总资产的标准差 RiskThreshold % 概率阈值，默认值为 PortValue % 资产总的价值 输出参数

ValueAtRisk %概率阈值下的单资产var 值

例5-7已知资产年回报率为，标准差为，资产现在价值为1亿，求1%水平下资产在险价值。

在MATLAB 中执行以下命令： PortReturn=; PortRisk=;

RiskThreshold=; PortValue=1;

ValueAtRisk=portvrisk(PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue)

该资产var 等于，即该资产损失亿的可能性为1％。需注意的是金融资产一般并不是正态，而是呈现出肥尾特征，其Var 较正态分布大。

资产组合有效前沿

由于证券市场投资存在巨大风险，一般不主张把投资集中在一种产品上。如果一个投资者投资于深证东泰股份(000506)，2001年8月10日收盘价为14．10元，到了2006年2月21日收盘价为元，跌幅高达％，如果再要回到原来价位需要上涨倍，这样的机会是几乎不可能的，如果投资名踩中这样的陷阱恐怕很难再有翻身的机会。

运用组合理论可以有效地降低投资风险，其核心思想是在目标收益率给定的情况下，要求资产组合风险最小。资产组合理论是由马克维茨(H ．Markowitz) 1952年提出均值方差理论模型

其中，V 是协方差矩阵)(V ij σ=，i r 表示第i 种资产的收益率，i x 表示第i 种资产在总资产中所占的份额。

两种风险资产组台收益期望与方差

假设有两种资产A 、B ，其收益率分别用21R ,R 表示，协方差分别为)(V ij σ=，记资产组合组合为P ，资产组合收益率、方差分别为2P p ,R σ，21x ,x 分别表示投资的权重，则有

该资产组合期望收益率与方差为 这样资产组合收益率均值与方差如图所示。

图51 资产组合收益率均值与方差

MATLAB工具箱中包含了资产均值方差有效前沿函数，这些都是基于MATLAB中的最优化理论工具箱。马克维茨资产组合理论就是寻找一个有效组合。所谓有效组合是指在同样风险水平下具有最高收益，这样不同收益及与最小风险构成有效前沿。

在不允许卖空情况下，求解有效组合目标函数为

这是一个约束条件为线性且含有不等式的二次规划方程，给定一个组合收益率就有个最小方差，组合收益与最小方差构成有效前沿关系，有效前沿如图所示。

5 2 2均值方差有效前沿

MATLAB中计算均值方差有效前沿的函数为frontcon。

调用方式

[PortRisk,PortReturn,PortWts]=frontcon(ExpReturn,ExpCovariance, NumPorts,PortReturn,AssetBounds,Groups,GroupBounds)

输入参数

ExpReturn %资产组合中每项资产预期回报，为一行向量

ExpCovariance %各种资产之间的协方差矩阵，为对称矩阵

NumPorts %(Optional)在资产组合有效前沿上的点的个数，默认值是10个点。

PortReturn %(Optional)有效前沿上每个点的回报

AssetBounds ％(Optional)每种资产权重的上限、下限区间

Groups %(Optional)如果G(i,j)=1表示第i个资产属于第j个群，G(i，j)=0表示第i个资产不属于第j个群

GroupBounds %(Optional)每种种群权重约束区间，默认值规定下限为0，上限为l

输出参数

PortRisk %组合的标准差

PortReturn %组合的回报

PortWts %组合中每个资产的权重

例5-8考虑一个三资产组合，分别为资产1、资产2与资产3，其预期收益率分别为、、，资产协方差矩阵如表所示，求该资产组合有效前沿。 在MATLAB 中执行如下命令 ExpReturn=[,,]; ExpCovariance=[,,;,,;,,]; NumPorts=4;

[PortRisk,PortReturn,PortWts]=frontcon(ExpReturn,ExpCovariance, NumPorts,PortReturn,AssetBounds,Groups,GroupBounds)

带约束条件资产组合有效前沿

投资组合中的问题很少有简单的约束，大多数情况下是多种约束，例如监管当局为了控制风险，对资产组中每种资产的比例加以种种限制，这时就需要考虑多种约束条件下的最优组合问题。

MATLAB 利用均值-方差理论求解资产组合问题，首先是将约束条件写成矩阵形式，例如

b Ax ≤或者b Ax =形式。下面用一个例了说明。

例5-9某资产组合中有5种资产构成，第i 种资产的预期回报率为)5,4,3,2,1i (r i =,i w 为第

i 种资产在总资产中的权重，考虑i

w 具有如下形式：

上述约束条件写成矩阵形式如下

A=[1,0,0,0,0,;0,1,0,0,0,;0,0,1,0,0,;0,0,0,0,1,

-1,0,0,0,0,0;0,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,0,0;0,0,0,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0;-1,-1,0,0,0,;-1,-1,-1,0,0,;1,1,0,0,0,;1,1,1,0,0,]

注意约束条件35.0w 01≤≤可以分解成两个约束条件：)0w (w 011≤-≤和35.0w 1≤，分别对应于矩阵的第l 行和第6行。下面我们计算约束条件下资产

组合有效前沿。 调用方式

[PortRisk,PortReturn,PortWts]=portopt(ExpReturn,ExpCovariance,NumPorts,Po rtReturn,ConSet) 输入参数

ExpReturn %资产的期望回报率 ExpCovariance %资产的协方差

NumPorts %(Optional)资产组合中投资品种的个数 PortReturn % Optional)要求组合的回报率

ConSet %(Optional)约束条件 输出参数

PortRisk %资产组合的风险 PortReturn %资产组合的回报 PortWts %组合中各种资产的权重

例5-10设有两种资产，其回报率分别为,,协方差矩阵为???

? ??04.00002

.0,约束条件为2121x 3.0,2x 0,1x x ≤≤≤=+，求该资产组合有效前沿。

在MATLAB 中执行如下命令： ret=[,];cov=[,0;0,];

constr=[1,1,1;1,0,;-1,0,0;0,-1,]; portopt(ret,cov,[],[],constr)

图 含约束条件均值方差有效前沿示意图

例5-11各资产的相关系数矩阵、预期回报率和标准差如表所示 试给出有效前沿。

在MATLAB中执行如下命令

Returns=[,,];STDs=[,,];Correlations=[1,,;,1,;,,1];

Covariances=corr2cov(STDs,Correlations)

portopt(Returns,Covariances,20) %绘出组合的有效前沿

% 然后选择权重

rand('state',0);

Weights=rand(1000,3);

Total=sum(Weights,2);

Weights(:,1)=Weights(:,1)./Total;

Weights(:,2)=Weights(:,2)./Total;

Weights(:,3)=Weights(:,3)./Total;

输入资产组合有效前沿，以及相关资产组合，绘出各个资产组合风险与收益，代码如下：[PortRisk,PortReturn]=portstats(Returns,Covariances,,Weights);

hold on

plot(PortRisk,PortReturn,'.r')

title('均值-方差有效前沿以及各个资产组合风险与收益')

xlabel('风险（标准差）')

ylabel('期望收益率')

hold off

这样资产组合有效前沿和各种资产组合风险与收益点如图所示。

均值-方差有效前沿以及各种资产组合风险与收益

考虑无风险资产及借贷情况下的资产配置

资产组合有效前沿上的点很多，如何选择一个有效点呢?投资者需要根据目标函数权衡风险与回报。MATLAB中投资者目标函数如下：

其中，)r(E表示未来回报，A表示投资者风险厌恶系数，一般在2-4之间， 是资产标准差。

投资者决策就是使目标函数最大化，然后对资产进行配置。MATLAB中考虑无风险资产时的资产配置函数是portalloc,其功能是根据风险-收益最优原则配置每项资产，其中包括无风险资产。

调用方式

[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn]

=portalloc(PortRisk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,RiskAversion) 输入参数

PortRisk %有效前沿上每项资产的方差

PortReturn %有效前沿上每项资产的回报

PortWts %有效前沿上每项资产的权重

RisklessRate %无风险利率

BorrowRate %(Optional)借款利率，默认为没有借贷

RiskAversion %(Optional)投资者的风险厌恶系数，大多数投资者的风险厌恶系数在2～4 之间，通常选择3

输出参数

RiskyRisk ％风险资产部分的标准差

RiskyReturn ％风险资产部分的回报

RiskyWts ％风险资产的权重

RiskyFraction ％总资产中风险资产的分数

OverallRisk ％总资产的标准差

Overa11Return ％总资产的回报

例已知一个组合中含有3种资产，每种资产的预期回报与协方差矩阵如表所示。

表各种资产的预期回报、协方差

无风险利率为，借贷利率为，投资者的风险厌恶系数为3，要求考虑无风险资产和借贷情况下的最优资产配置。

在MATLAB中执行如下命令：

ExpReturn=[,,];

ExpCovariance=[,,;,,;,,];

[PortRisk，PortReturn,PortWts]=portopt(ExpReturn,ExpCovariance);

%由于没有输入位于有效前沿上的点的数目，MATLAB默认有效前沿上选取10个点，每个点代表一种组台，每个组合的标准差保存在PortRisk中，收益率保存在PortReturn中，组合中各资产的权重保存在PortWts中。

下面调用portalloc函数求出考虑无风险资产，以及允许借货时的资产配置，代码如下：RisklessRate=;

BorrowRate=;

[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn]=portalloc(PortR isk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,RiskAversion)

从结果表明，最优组合的标准差为,收益率为，每项资产的权重分别为、、。总资产中风险资产配置的权重为，总资产的回报率为，总资产的标难差为。

如果选取有效前沿上的20个点，得到结果如下：

[PortRisk,PortReturn,PortWts]=portopt(ExpReturn,ExpCovariance,20);

[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn]=portalloc(PortR isk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,3)

从结果中我们可以知道，最优组合的标准差为，组合的收益率为，每项资产的权重分别为、、，总资产中风险资产配置的权重为1．1869，总资产的回报为0．1902，总资的产标准差为0．15297，除了资产配置差别比较大，第一项资产配置进一步减小，其他差别并不大。

线性规划求解资产组台问题

线性规划是研究目标函数和约束条件均为线性的最优化问题，线性规划的标准形式如下 其中，C 是目标函数矩阵，A 是约束条件矩阵，x 是向量。

标准形式线性问题简称LP(Linear Programming)问题，MATLAB 中用lp 函数求解线性规划问题。

MATLAB 中的线性规划形式如下

其中，b ,x ,f 是向量，eq A ,A 是不等式约束和等式约束的矩阵 调用方式

x=limprog(f,A,b)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

其中，b ,A ,f 分别为标准线性规划模型中的参数；参数lb ,ub 分别为变量x 的上界和下界。 例5-13某资产组合中有3种资产，各资产的收益率分别为、,、。要求资产l 与资产3的权重小于资产2的权重，且没有卖空。求解使得上述收益率最大的投资组合

首先确定目标函数为：322x 15.0x 1.0x 2.0m ax ++ 资产约束条件可写为

在MATLAB 中执行如下命令：

f=[,,]';A=[1,-1,1];b=0,Aeq=[1,1,1];beq=1;lb=[0,0,]';ub=[1,1,1]'; x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

最后得出资产1、资产2、资产3的权重分别为、、。

下面我们考虑二次规划求解资产组合，二次规划问题(Quadratic Programming)的标准形式如下

其中，x为权重向量，H为对称矩阵。

约束条什分成两个部分，前一部分约束条件是不等式，后一部分约束条件是等式。在资产组台问题中，H多为协方差矩阵；

在MATLAB中求解此类问题的函数是quadprog。

调用方式

x=quadproq(H,q,A,h)

x=quadprog(H,r,q,A,b,Aeq,beq)

x=qadprog(H,q,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

输入参数

H、q、A等参数等同于模型

例5-14 资产组合中有5种资产，各资产的收益率和协方差矩阵如表所示.

表各资产的收益率与协方差矩阵

要求寻找最优资产组台，使得资产组合收益率为，且该组合为方差最小的资产组合。

在MATLAB中执行如下命令：

H=[,,,,;,,,,;,,,,;,,,,;,,,,];

q=[0,0,0,0,0]';

aeq=[1,1,1,1,1;,,,,];

beq=[1;];

lb=[0,0,0,0,0,0]';ub=[1,1,1,1,1]';

quadprog(H,q,[],[],aeq,beq,lb,ub)

ans =

上述结果表明，最优资产配置是资产1-资产5分别为％、％、％、％.