2.1二次函数所描述的关系教案

§2.1 二次函数所描述的关系教案

授课时间：2011.5.30 备课时间：2011.5.26 教学目标：

(一)教学知识点

1．探索并归纳二次函数的定义．

2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． (二)能力训练要求

1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用 数学的方法描述变量之间的数量关系．

2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题． (三)情感与价值观要求

1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．

3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程， 培养大家的合作意识．

教学重点：

1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．

教学难点：

经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验． 教学过程：

一、创设问题情境，引入新课

提问：1、大家还记得我们学过哪些函数吗?

2、函数的定义是什么?

（在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定 了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量．） 归纳学过的函数：

一次函数y=kx+b ．(其中k 、b 是常数，且k ≠0) 正比例函数y ＝kx(k 是不为0的常数)． 反比例函数y=

x

k (A 是不为0的常数)．

从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱． 二、新课讲解

1、由实际问题探索二次函数关系

投影片：

某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．

(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?

(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 请大家互相交流后回答． 学生讨论得出：

(1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中

树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．

(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有(x+100)棵树，平均每棵树就会少结5x 个橙子，则平均每棵树结(600-5x)个橙子．

(3)如果果园橙子的总产量为y 个，则 y=(x+100)(600-5x)＝-5x 2

+100x+60000． 提问：判断一下上式中的y 是否是x 的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗? 2、想一想

在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多? 我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试． x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y/个

请大家先填表，再猜测．

（从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．）

可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大值．x 大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多． 3、做一做 投影片：

银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．

设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)， 利息的公式：利息＝本金×利率×期数(时间)． 一年后的本息和为(100+100x ·1)=100(1+x)．

再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金． y ＝100(1+x)+100(1+x)x ×l =100(1+x)+100(1+x)x

＝100(1+x)(1+x)

=100(1+x)2=100x 2+200x+100．

提问：在这个关系式中，y 是x 的函数吗?是x 的什么函数?请猜想． 4、二次函数的定义

一般地，形如y ＝ax 2

+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数(quadratic function)．

上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此，有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A 与边长a 的关系A ＝a 2，圆面积S 和半径r 的关系S ＝πr 2也都是二次函数的例子． 三、课堂练习

随堂练习(P 39) 四、课时小结

本节课我们学习了如下内容：

1. 经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式． 2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多． 五、课后作业 习题2．1

Ⅵ．活动与探究

若y ＝(m 2

+m)x m2-m

是二次函数，求m 的值．

分析：根据：二次函数的定义，只要满足m 2+m ≠0，且m 2-m=2，y=(m 2+m)x m2-m 就是二次函数． 解：由题意得 m 2+m ≠0，

m 2-m=2．

m ≠0或m ≠-1, 解，得．

m=2或m ≠-1,

故若y ＝(m 2

+m)x

m2-m

是二次函数，则m 的值等于2．

自我检测

【基础练习】 一、填空题：

1. 已知Rt △ABC 中，∠B = 60°，则它的面积y (cm 2)与斜边长x (cm)之间的函数

关系是 ；

2. 有一个长120米，宽110米的矩形操场，现准备把它扩建成周长为500米的矩形

操场. 若长增加x 米，宽增加y 米，扩建后的操场面积为S 平方米，则y 关于x

的函数关系式为 ，S 关于x 的函数关系式为 . 二、选择题：

1. 已知正方形的周长为C cm ，则其面积S （cm 2）关于周长C （cm ）的函数关系式为（ ）；

A. S = 14C

B. S = 14C 2

C. S = 18C 2

D. S = 116

C 2

2. 如果等边三角形的边长为x （cm ），那么，它的面积y （cm 2

）与x 的函数关系式为（ ）.

A. y = 12x 2

B. y =

243x C. y = 14x 2 D. y = 2

2

3x 三、解答题：

1. 用一根长7.2米的木料，做成如图2-1所示的“日”字形窗框，设窗框的宽为x 米，求窗框的面积S （平方米）与x 的函数关系式.

2. 在周长为13 cm 的矩形铁片上剪去一个边长等于矩形宽（x cm ）的等边三角形，设剩下的面积为

y （cm 2），求y 与x 的函数关系式.

【综合练习】

某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每上涨1元，月销售量就减少10千克.设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式；并用尝试的方法确定当销售单价为每千克多少元时，可获得最大月销售利润.

【答案】：

【基础练习】一、1. 2

8

3x

y =

； 2. y = 20 – x (0≤x ≤20)，S = - x 2 + 10x + 15 600 (0

≤x ≤20)；

二、1. D ； 2. B. 三、1. y = x

x

6.32

32

+-，（0

x y

213

4312+???

? ??+-=, (0＜x

≤13))

32(-.

【综合练习】y = - 10x 2 + 140x – 40 000，销售单价为每千克70元时，可获得最大月销售利润.

图2-1