【小节训练】2.1 二次函数所描述的关系
【小节训练】2.1 二次函数所描述的关系
一、选择题（共10小题）
1．函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）是二次函数的条件是（）
A．a≠0，b≠0，c≠0 B．a＜0，b≠0，c≠0C．a＞0，b≠0，c≠0D．a≠0
2．下列函数不属于二次函数的是（）
2D．y=2（x+3）2﹣2x2 A．y=（x﹣1）（x+2）B．
y=（x+1）2C．y=1﹣x
3．（2005?台州）函数y=3x2+x﹣4是（）
A．一次函数B．二次函数C．正比例函数D．反比例函数4．（2002?武汉）下列函数中，是二次函数的是（）
A．y=8x2+1 B．y=8x+1 C．D．
5．下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（）
2x2
A．
y=x2B．y=C．y=D．y=a
6．若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（）
A．1B．﹣1 C．±1 D．
7．（2005?南充）二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A．3B．5C．﹣3和5 D．3和﹣5
8．下列函数中，不是二次函数的是（）
A．y=1﹣x2B．y=2（x﹣1）2+4 C．y=（x﹣1）（x+4）D．y=（x﹣2）2﹣x2
9．（2002?杭州）下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
10．下列函数不属于二次函数的是（）
2﹣2x2D．y=1﹣x2
A．y=（x﹣1）（x+2）B．
y=（x+1）2C． y=2（x+3）
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．用一根长为8m的木条，做一个长方形的窗框，若宽为xm，则该窗户的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式为_________．
12．函数y=x m﹣1+3，当m=_________时，它的图象是抛物线．
13．设一圆的半径为r，则圆的面积S=_________，其中自变量是_________．14．已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是_________．
15．若y=（a﹣1）是关于x的二次函数，则a=_________．
16．如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是_________．17．如果函数y=（m2+m）是二次函数，那么m=_________．
18．在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cm（x＜6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的函数关系是_________．
19．当m=_________时，函数y=（m﹣1）是关于x的二次函数．
20．若函数y=（m2+m）是二次函数，则m=_________．
三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）
21．（2011?重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F 的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线P A的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
中考数学中二次函数压轴题分类总结
中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 练习： 1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求 出此时点N 的坐标； 2. 如图，已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作 正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． y x O B N A M E F B y
二次函数常见关系式符号的判定
二次函数常见关系式符号的判定 例1如图1是抛物线的图像，则① 0；② 0；③ 0； ④ 0；⑤ 0；⑥ 0；⑦ 0。 图3 例 2如图2，已知二次函数的图像与轴相交于( ，0 )，( ， 0)两点，且，与轴相交于(O ，-2)，下列结论：① ； ② ；③ ； ④；⑤ 。． 其中正确结论的个数为( ) A ．1个 B .2个 C .3个 D ．4个 练习1、如图3，的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0. 你认为其中错误．．的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 2、函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象如图4，下列结论正确的是：__________ ① 0>abc ; ② c a b +<; ③ 4a +2b +c >0; ④ 2c <3b; ⑤ 2a +b =0; ⑥ a +b >m (am +b ); ⑦042 <-ac b 图5 图4 图6
3、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图5，给出下列结论：①b2－4ac>0；② 2a＋b<0； ③ 4a－2b＋c=0；④a︰b︰c=-1︰2︰3.其中正确的是( ) A．①②B．②③C．③④D．①④ 4、如图6为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当-1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 压轴题训练：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B 和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
初三.二次函数知识点总结
二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结：
2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结：
3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k
总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
《二次函数所描述的关系》教学反思一
本节课的教学目标是：继续经历利用二次函数解决实际最值问题；会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等的函数最值问题；发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。 本节课只有两个例题，第一个例题是有关距离问题，第二个例题是有关利润的问题。原计划本节课用一节课的时间，但是在实际操作过程中，第一个例题就用了一节课的时间，所以本节课要用两个课时来上。首先是复习了函数的应用，问学生经过前面对二次函数学习，给他们留下最深刻的是什么？学生马上能想到二次函数的最值，然后引导学生利用二次函数求只值问题应该注意的事项。1、根据实际问题求出函数解析式，求出自变良取值范围；2、把解析式化成配方式，或者把利用公式来求出函数的顶点坐标。3、检查顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内。 举例有最大值还是最小值，什么时候能取到最大或者最小值？变化例子是否有最大或者最小值，什么时候取到最大或者最小值？这样做一方面巩固了最大值的取法，而且还为距离的最值问题做好铺垫。 例题的教学采取多媒体展示，根据提供的信息化出图形，引导学生观察，求距离可以根据勾股定理列出代数式。代数式是，问题转化为怎样求这个代数式的最小值。学生很自然想到，要使代数式的值最小，也就是被开方数要最小，也就想到转化为配方形式；解法二，利用公式求出。 对于第二个例题，引入的时候先回顾有关列利润的一元二次方程问题，经过市场调查，某种商品的进价为为每件6元，专卖店的每日固定成本为150元.当销售价为每件10元时，日均销售量为100件，单价每将低1元，日均销售量增加40件.要使利润500元，销售价应该定多少？ 这样做就为利润问题列出函数解析式奠定了基础，主要的难点是从表格中提供的信息，总结出单价每增加一元，日均销售良就减少40瓶。根据这一规律，就不难列出y关于x的函数解析式。 引导学生思考，你认为商家要追求最大利润，销售价格是定的越低越好还是越高越好？让学生再次体会数学与生活的的密切联系和数学的应用价值。
初三二次函数基础分类练习题(含答案)
二次函数基础分类练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据 如下表： 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式. 2、 下列函数：① 23y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 2 1 y x x ； ⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是 ，其中a ，b ，c 3、当m 时，函数2 235y m x x （m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m 时，函数2 2 21 m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时，函数2 56 4m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12 -=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2 . 10、已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.
运用口诀判断二次函数的系数关系式.docx
运用口诀判断二次函数的系数关系式 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍儿个口诀来帮助同学们解惑. 1.基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数.“四看”是对二次函数y=ax? + bx+c (aHO)的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图彖直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用. 例1二次函数y = ax2+bx+c(aH0)的图象如图1所示，则下列说法不正确的是( ) (A)b2-4ac>0 (B)a>() (C)c>0 (D)b<0 分析根据“基础四看”，由抛物线开口向上，故a>0；由对称 轴在y轴的右侧，则a、b异号,故bvO：由抛物线与y轴交于 负半轴，故c<0； 由抛物线与x轴有两个交点，故b2-4ac>0. 所以本题答案是C. 分析对于几个函数图象组合的辨别，笔者常用的一种方法是“才盾排除法”. 对A屮的图象分析可得：在抛物线 屮， a>().b>0,c>0 ； 在直线 屮， a>0,b>0,无矛 盾, 可为备选答案. 对B中的图象分析可得：在抛物线 中，a<0,b<0,c<0 ； 在直线 中， a>0.b=0,有矛 盾, 故排除. 对C中的图象分析可得：在抛物线 中，a>0,b<0,c>0 ； 在直线中, a<0,b>0,有矛 盾, 故排除. 对D中的图象分析可得，在抛物线 中， av(),b>0,c<0 ； 在直线中, av(),b<(),有矛 盾，故排除. 所以本题答案是A. 注从上面介绍中可以看到，对于某个二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图象我们可以 对单独的a、b、c与△进行直接判断，同时也可以对a、b、c的简单乘除组合式进行符号
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）
3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有
九年级数学二次函数 基础分类练习题(含答案)
二次函数 基础分类练习题 练习一 二次函数 1、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数 据如下表： 时间t （秒）1234…距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式. 2、下列函数：① ；② ；③ ；④ ； y = ()21y x x x =-+()224y x x x =+-2 1 y x x = +⑤ ，其中是二次函数的是 ，其中 ， ， ()1y x x =-a =b =c =3、当 时，函数（为常数）是关于的二次函数 m ()2 235y m x x =-+-m x 4、当时，函数是关于的二次函数 ____m =()2 221m m y m m x --= +x 5、当时，函数+3x 是关于的二次函数 ____m =()256 4m m y m x -+=-x 6、若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. m 12 -=x y 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. ),0(2 ≠+=a c ax y 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. （1）如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关 系？ （2）请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧 墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
二次函数与方程的关系
淇滨区第一中学教案 九年级班执课教师：执课时间：年月日课题二次函数与方程的关系课时安排第课时 教学课型新授课□实（试）验课□复习课□实践课□其他□ 教学目标1理解一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值。 2. 会用一次函数与二次函数的图象的交点求方程组的解及由方程组的解求交点坐标 教学重点 利用一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值教学难点 抛物线图象与x轴交点的位置来判断方程的根． 课前准备二次函数的解析式中的一般式是: y = a x2+ bx +c (a≠0) 顶点式：y = a(x-h) 2+ k 交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 教学环 节 内容设计意图 教学构架 一、知识梳理二、错题再现三、知识新授四、小结与 预习 一、一元二次函数与一元二次方程的关系 1、从形式上看： 二次函数：y=ax2＋bx＋c (a≠0) 一元二次方程：ax2＋bx＋c=0 (a≠0) 2、从内容上看： 二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解； 一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值 3、相互关系： 二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的 根。 如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二 次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3 （1）二次函数y=a x2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: a、有两个交点, b、有一个交点, c、没有交点. (2)当二次函数y=a x2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横 坐标就是当y=0时自变量x的值, 即 一元二次方程a x2+bx+c=0的根.
二次函数知识点总结题型分类总结
二次函数知识点总结——题型分类总结 一、二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ； ②2 2x y =； ③x x y 422 +=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2 ； ⑦()x y ,4=； ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252 +=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 _________ 。 3、若函数( ) 54722 2 ++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数()1522 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数()35112 -+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。 二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆：如果解析式为顶点式：()k h x a y +-=2 ，则对称轴为： _ , 最值 为： ； 如果解析式为一般式：c bx ax y ++=2 ，则对称轴为： __ ，最值为： ； 如果解析式为交点式：()()21x x x x a y --=, 则对称轴为： ，最值为： 。 1．抛物线m m x x y -++=2 2 42经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线x x y 32+=的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线x ax y 62-=经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线b ax y +=不经过二、四象限，则抛物线c bx ax y ++=2 ( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线()4 1 12- -+=x m x y 的顶点的横坐标是2，则m 的值是 . 7．抛物线322 -+=x x y 的对称轴是 。 8．若二次函数332 -+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数()()x n m x n m y n -++=的图象是抛物线，
二次函数所描述的关系
第1课时 §二次函数所描述的关系 教学目标 1、 经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验 2、 能够表示简单变量之间的二次函数关系 3、 能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题 教学重点和难点 重点：表示简单变量之间的二次函数关系 难点：利用尝试求值的方法解决实际问题 教学过程设计 一、 从学生原有的认知结构提出问题 在初中阶段，我们已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数。这一章，我们将学习另外一种重要的函数——二次函数。 二、 师生共同研究形成概念 1、 橙树的产量 通过实际情境，让学生观察、归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的模型思想。教学时 )100)(5600(x x y +-= 6000010052++-=x x y ☆ 想一想 书本P 35 想一想 想一想是学生自然会想到的问题，教学时应首先鼓励学生用自己的方法解决问题，然后再通过数值统计的方法得到猜想。 2、 银行储蓄 ☆ 做一做 书本P 35 做一做 做一做是为了降低列式的复杂程度，根据学生的具体情况，教学时可以要求学生考虑利息税。
3、 二次函数定义及一般形式 一般地，形如c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，0≠a ）的函数叫做x 的二次函数。 ☆ 注意：1）x 的最高次数为2；2）0≠a ，但b 、c 可以为零。 可以让学生自己举出或写出一些二次函数的例子。 ☆ 巩固练习 1）书本 P 36 随堂练习 1 2）练习册P 17 1 、2 4、 讲解例题 例1 练习册 P18 3 例2 书本 P 36 随堂练习 2。 ☆ 巩固练习 1）练习册P 17 3 — 9 三、 随堂练习 1、 《练习册》 P 18 1 — 5 四、 小结 二次函数定义及一般形式。 五、 作业 书本 P 37 习题 2 六、 教学后记
初三__二次函数基础分类练习题(含答案)解析
1 二次函数练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如 下表： 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① 23y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 2 1y x x ； ⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是 ，其中a ，b ，c 3、当m 时，函数2 235y m x x （m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m 时，函数22 21 m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时，函数256 4m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的 长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
二次函数知识点总结大全一
二次函数知识点总结大全一 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数（R ）。 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 结论：在Y 轴上，上加下减。
3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：在X 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结：
二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴 的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质： 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ? ?? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -．
二次函数中考试题分类汇编
二次函数中考试题分类汇编 一、选择题 1、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结 论有（ ）B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．B （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）B A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为（ ）A 5、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0，使得当x
二次函数所描述的关系案例分析
2012-2013学年第二学期 九年级数学案例分析 1.二次函数所描述的关系 浸潭镇第二初级中学陈硕华 20XX年5月 一、教学目标 (一)知识与技能 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． (二)过程与方法 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题． (三)情感态度与价值观 1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识． 教学重点：二次函数的概念 教学难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程。 二、教学实录 本节课设计了七个教学环节：课前准备、创设问题情境引入新课、想一想、做一做、归纳小结、课堂反馈、布置作业。 第一环节课前准备
活动内容：引导学生复习函数的概念及已经学习过的几种函数： 1.对“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？ 2.函数的定义是怎样下的？ 3.让我们一起来回忆一下这些函数的一般形式。 活动目的：函数是对初中生来说是较抽象的概念，而且学生距离之前学习函数相关内容有较长时间间隔，这里有必要从学生已有的知识经验出发，学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习作好铺垫。 实际教学效果：通过“温故”又可重新唤起学生对变量、自变量、因变量、函数等概念的理解，在回顾以前学习过的具体实例中能更好的帮助学生了解“函数”本质所在，而同学们比较熟悉的一次函数、反比例函数更能让他们回忆学习函数的过程。 第二环节 创设问题情境，引入新课 活动内容：投影片：(§2．1A) 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 变量之间的关系 一次函数 y =k x +b (k ≠0) 反比例函数 正比例函数 y =k x (k ≠0) ).()0.k y k x =≠
中考数学二次函数分类汇编试题
中考数学二次函数分类汇编试题含答案 一、选择题 1、（2007天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ） B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、（2007南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．B （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、（2007广州市）二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）B A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为（ ）A 5、（2007四川资阳）已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下 列结论正确的是( )D A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0，使得当x 二次函数表达式三种形式的联系与区别 二次函数的表达式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式。它们之间各不相同，而又相互联系。 一、一般式：)0(2≠++=a c bx a y x 优点：二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c ，三系数一目了然。 缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴 二、顶点式：)0(4422)2(≠-+=+a a ac a y b a b x 优点：很容易看出顶点坐标和对称轴 缺点：不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 三、交点式：))((2 1x x x x a y --= 优点：很容易看出图像与x 轴的交点坐标（x 1，0）和（x 2 ，0） 缺点：（1）不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 （2）当图像不与x 轴相交时，此式不成立。 四、三种表达式之间的联系 （1）一般式转化为顶点式 利用配方法转化（一提、二配、三整理） a ac a a ac a a c a x a b a x a b a x a b a c bx a y b a b x b a b x a b a b x x x x 44444][[)2222222222)2()2()2()2(-+=+-=+-++=++ =+ =++=++（ （2）顶点式转化为一般式 展开整理即可 c bx a a ac bx a a ac a bx a a ac x a b a a a ac a y x x b b x b a b x b a b x ++=++=-+++=-+++=≠-+=+222222222224444444)4()0(44)2( （3）交点式转化为一般式 展开，利用韦达定理整理可得 二次函数)0(2≠++=a c bx a y x 与x 轴有两交点（x 1，0）和（x 2，0） 则x 1 和x 2为方程02=++c bx a x 的两个根 ] )([)())((212122121221x x x x x x x x x x x x x a x x a x x a y ++-=+--=--= 由韦达定理得： a c a b x x x x =-=+2121 代入得： c bx a a c x a b a x a y x x x x x x x ++=+--=++-=2221212])([] )([ 三种表达式视情况而定； （1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来表示； （2）知道顶点坐标，常用顶点式来表示； （3）如果知道图像与x 轴的交点坐标，常用交点式来表示。 上述三种情况要灵活运用才能更好地理解二次函数的解析式。 一元二次方程知识点一、知识清单梳理 二次函数知识点归纳 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0 §2.1 二次函数所描述的关系教案 授课时间：2011.5.30 备课时间：2011.5.26 教学目标： (一)教学知识点 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． (二)能力训练要求 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用 数学的方法描述变量之间的数量关系． 2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题． (三)情感与价值观要求 1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程， 培养大家的合作意识． 教学重点： 1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． 教学难点： 经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验． 教学过程： 一、创设问题情境，引入新课 提问：1、大家还记得我们学过哪些函数吗? 2、函数的定义是什么? （在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定 了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量．） 归纳学过的函数： 一次函数y=kx+b ．(其中k 、b 是常数，且k ≠0) 正比例函数y ＝kx(k 是不为0的常数)． 反比例函数y= x k (A 是不为0的常数)． 从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱． 二、新课讲解 1、由实际问题探索二次函数关系 投影片： 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量? (2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 请大家互相交流后回答． 学生讨论得出： (1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中 树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量． (2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有(x+100)棵树，平均每棵树就会少结5x 个橙子，则平均每棵树结(600-5x)个橙子． (3)如果果园橙子的总产量为y 个，则 y=(x+100)(600-5x)＝-5x 2 +100x+60000． 提问：判断一下上式中的y 是否是x 的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗? 2、想一想 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多? 我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试． x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y/个 请大家先填表，再猜测． （从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．） 可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大值．x 大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多． 3、做一做 投影片： 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的． 设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)， 利息的公式：利息＝本金×利率×期数(时间)． 一年后的本息和为(100+100x ·1)=100(1+x)． 再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金． y ＝100(1+x)+100(1+x)x ×l =100(1+x)+100(1+x)x二次函数表达式三种形式的联系与区别
二次函数知识点归纳总结
2.1二次函数所描述的关系教案