第一章实数理论初步第一节第一次数学危机
第一章 实数理论初步 上帝创造了整数，其他一切都是人造的。 Leopold Kronecker 第一节 第一次数学危机 从某种意义上来讲，现代意义下的作为演绎系统的纯粹数学，
来源于古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派。
不过开始研究工作时他们并非如此。毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派把数描绘成沙滩上的点子或小石子，研究三角形数（图1-1）
，正方形数（图1-2）等。
把代表数的点排成几何图形后，整数的一些性质就会显现出来。比如，相继两个三角形数之和是正方形数（图1-3）。
211（+1）+（+1)(+2）=（+1）22
n n n n n
公元前6世纪和前5世纪的毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派实际上并不把数
图1-1 三角形
数 图1-2 正方形数
图1-3相继两个三角形数之和是正方形数
和几何上的点区分开来。毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派研究多角数，如五边形数（图1-4）、六边形数和其他多边形数。 所以说，整数是在对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。 亚里士多德（Aristotle ）曾说，毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派把数看作是真实物质对象的终极组成部分。数不能离开感觉到的对象而独立存在。 欧德摩斯说毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派创立了纯数学，把它变成一门高尚的艺术。
如果一个数等于它的所有因数之和，他们称之为完全数。例如，
3216++=
14742128++++=
……
若有两数彼此等于另一数的因子之和，他们称这两数是亲和数。220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数。1867年，意大利的16岁中学生帕格尼尼发现亲和数1184和1210。
毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派发现了勾股定理。他们求出了可排成直角三
角形三边的三元数组。若m 是奇数，则m ，2211（-1）,（+1）22
m m 是这样的三元数组。
毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派研究了质数，递进数列，以及他们认为美的一些比和比例关系。例如，若p 和q 是两数，=2p q A +，G pq =，2pq H p q
=+，那么，比例A G G H
=叫完全比例，而比例22
pq
p p q p q q +=+叫作音乐比例。他们把那些图1-4 五边形
能用整数之比表达的比称为可公度比，意思是相比两量可用公共度量单位量尽，而把不能这样表达的比叫作不可公度比。
从现代数学来看，可公度比就是有理数，也就是说有理数为两个整数的比，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，对于当时的实际度量就足够了。因此，对于数的比毕达哥拉斯（Pythagoras）学派只限于考察可公度比。
有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的左端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为
单位长的点的集合来表示整数，正整数在0
的右边，负整数在0的左边。以q为
分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点（图1-5）。
毕达哥拉斯（Pythagoras）学派所说的数仅指整数。他们不把两个整数之比看成是一个分数而是另一类数。因此，当毕达哥拉斯（Pythagoras）学派发现有些比不能用整数之比表示时，他们就感到不安。
大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕苏斯（Hippasus）发现了等腰直角三角形的斜边与一直角边之比不能用整数之比表达（图1-6）。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立，所以被称作了无理数。希帕苏斯（Hippasus）正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚。
图1-5 有理数的几何解释
图1-6 等腰直角三角形的斜边与一直角边之比不能用整数之比表达
这个简单的数学事实的发现使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯学派的信条------宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，而且冲击着当时希腊人持有的信仰------一切量都可以用有理数表示。所以，通常人们就把希帕苏斯（Hippasus）发现的这个矛盾，叫作希帕苏斯（Hippasus）悖论。
出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
约在公元前370年，柏拉图（Plato）的学生欧多克索斯(Eudoxus，约公元前408—前355)解决了关于无理数的问题。他首先引入“量”的概念，将“量”和“数”区别开来。用现代术语来说，他的“量”指的是连续量，而“数”是离散的，仅限于有理数。其次，改变“比”的定义为：“比”是同类量之间的大小关系。从这一定义出发可以推出有关比例的若干命题，而不必考虑这些量是否可公度。这在希腊数学史上是一个大突破。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。
实际上，19世纪的无理数理论是欧多克索斯思想的继承和发展。不过欧多克索斯理论是建立在几何量的基础之上的，因而回避了把无理数作为数来处理。尽管如此欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础。为了防止在处理这些量时出错，他进一步建立了以明确公理为依据的演绎体系，从而大大推进了几何学的发展。从他以后，几何学成了希腊数学的主流。